1. 在等差數(shù)列中，若和是方程的兩實數(shù)根，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，結合等差數(shù)列的性質，即可求得答案.
【詳解】由題意知在等差數(shù)列中，和是方程的兩實數(shù)根，
則，故，
故選：D
2. 已知是以為公比的等比數(shù)列，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的性質求解即可.
【詳解】因為，，
則，
解得：.
故選：B.
3. 在曲線的圖像上取一點及附近一點，則等于（（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平均變化率的定義計算即可.
【詳解】由已知得．
故選：C.
4. 已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，若，，構成公比為的等比數(shù)列，則的值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比中項等知識求得正確答案.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，
因為，，構成公比為的等比數(shù)列，
所以，，
所以，所以，
所以，所以.
故選：B
5. 已知為等比數(shù)列的前項和，若，，則（ ）
A. 96B. 162C. 243D. 486
【答案】D
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的前項和公式求出，再由等比數(shù)列的性質求解即可得出答案.
【詳解】設等比數(shù)列的首項和公比分別為，
當時，等比數(shù)列為常數(shù)列，則，所以無解；
當時，，兩式相處可得：，
又因為，則，
所以.
故選：D.
6. 一個小球從的高處下落，其位移（單位：）與時間（單位：）之間的關系為，則時小球的瞬時速度（單位：）為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的物理含義，即可求得答案.
【詳解】由題意知位移（單位：）與時間（單位：）之間的關系為，
故，故時小球的瞬時速度為（），
故選：A
7. 已知數(shù)列滿足，，令，則數(shù)列的前2024項和（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】變形已知遞推式，可得為等差數(shù)列，求出，代入可知通項公式，由裂項相消可求.
【詳解】，，，
，又，
是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
，，
令，
，
故選：
8. 已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質，結合數(shù)列的增減性得到關于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】因為數(shù)列是遞增數(shù)列，且，
所以，解得，
則的取值范圍是．
故選：D．
二、多選題（每小題5分，共計20分．正確答案全部選到得5分，正確答案選擇不全得2分，選了錯誤答案得0分）
9. 已知是數(shù)列的前項和，，則下列結論正確的是（ ）
A. 數(shù)列是等比數(shù)列B. 數(shù)列是等差數(shù)列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用求解出當時，，故數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項公式和前項和公式，判斷出答案.
【詳解】當時，，所以，
當時，，所以，所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，
.
故選：ACD.
10. 函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導函數(shù)，下列不等式正確的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合函數(shù)的圖象判斷求解.
【詳解】對于A選項，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)圖象在處的切線的斜率大于在處的切線的斜率，
所以，故A正確；
對于B，C選項，，
由導數(shù)的幾何意義可知，故B錯誤，C正確；
對于D選項，由函數(shù)圖象可知，函數(shù)是單調遞增的，所以函數(shù)圖象上任意一點處的導數(shù)值都大于零，故D錯誤.
故選：AC.
11. 已知數(shù)列前項和為，則（ ）
A. B. 時，的最大值為17
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根據(jù)前項和求出數(shù)列的通項公式，從而再利用通項公式和求和公式即可分別求解．
【詳解】數(shù)列的前項和為，
當時，，
當時，
，
又也滿足上式，，A正確；
令，，B錯誤；
，C正確；
，D正確．
故選：ACD．
12. 下列命題正確有（ ）
A. 若等差數(shù)列的前項的和為，則，，也成等差數(shù)列
B. 若為等比數(shù)列，且，則
C. 若等差數(shù)列的前項和為，已知，且，，則可知數(shù)列前項的和最大
D. 若 ，則數(shù)列的前2020項和為4040
【答案】CD
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的性質判斷AC；由等比數(shù)列的性質判斷B；分奇偶項求和后即可判斷D.
【詳解】對于A，因為為等差數(shù)列的前項的和，所以，，成等差數(shù)列，故錯誤；
對于B，因為為等比數(shù)列，且，
又因為，所以，
所以，故錯誤；
對于C，因為為等差數(shù)列的前項的和，且，，
所以，所以，
，所以，
所以，
即等差數(shù)列的前項均為正，從第7項起為負，所以前6項的和最大，故正確；
對于D，因為 ，，
所以
=+
=
=
=
=，故正確.
所以說法正確有CD.
故選：CD.
三、填空題（每小題5分，共計20分）
13. 數(shù)列為等差數(shù)列，它的前n項和為，若，則λ的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征求解.
【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，
所以，
又，
，解得.
故答案為：.
14. 數(shù)列滿足：，則的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出數(shù)列的前面幾項，判斷數(shù)列的周期性，根據(jù)數(shù)列的周期性，即可求得答案.
【詳解】由題意知數(shù)列滿足：，
故，，
，依次類推，
故數(shù)列為周期數(shù)列，周期為4，
故，
故答案為：
15. 已知數(shù)列的遞推公式為，則數(shù)列的前n項和=___________
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，即可求出，再由分組求和法求解即可.
【詳解】當時，，
則，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，
數(shù)列的前n項和.
故答案為：
16. 2015年7月31日，國際奧委會正式確定2022年冬奧會的舉辦權為北京——張家口.小明為了去現(xiàn)場觀看2022年的冬奧會，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某銀行存入元的一年期定期存款，若該銀行的年利率為，且年利率保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉為新一年的定期.那么到2022年1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則小明一共約可取回___________元.
（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算可求得答案.
【詳解】解：由題意可知，可取出錢的總數(shù)為：
，
故答案為：6560.
四、解答題（共計70分）
17. （1）已知f(x)在處的導數(shù)，求 的值；
（2）已知曲線，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積．
【答案】（1）1；（2）2
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)的極限運算直接求解；
（2）先求導求出切線方程，求出與坐標軸的交點坐標即可求得面積.
【詳解】（1）
（2），，則曲線在點處的切線斜率為1，
故切線方程為，即，
易知直線與x軸交點為，與y軸交點為,
故曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為.
18. 已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，，，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設的公比為，根據(jù)等差中項的性質可得，再由等比數(shù)列的性質代入求解可得，即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）先求出，再由裂項相消法求解即可.
小問1詳解】
設的公比為，因為，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
所以，又因為，
解得：.所以.
【小問2詳解】
因為，所以，
所以令，
所以
.
19. 已知數(shù)列滿足，．
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）將變形為，根據(jù)等差數(shù)列定義，即可證明結論；
（2）由（1）可求出的通項公式，即可得的表達式，利用錯位相減法求和，即得答案.
【小問1詳解】
證明：由題意知數(shù)列滿足，，
故，，故數(shù)列為首項是1，公差為1的等差數(shù)列；
【小問2詳解】
由（1）得，
故，
所以 ，
則，
兩式相減得：，
，
故.
20. 為保護我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過78噸，該礦區(qū)計劃從2018年開始出口，當年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少．
（1）以2018年為第一年，設第n年出口量為噸，試求的表達式；
（2）國家計劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2018年最多出口多少噸？()
【答案】（1）
（2）噸.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用每年的出口量構成等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的通項公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得等比數(shù)列的前10項的和，結合，即可求解.
【小問1詳解】
由題意，每年的出口量構成等比數(shù)列，且首項，公比，
所以的表達式為.
【小問2詳解】
由題意，10年的出口總量為，
因為國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過噸，所以，即，
可得，所以，
所以2018年最多出口噸.
21. 已知橢圓的離心率，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4．若直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若線段中點的縱坐標 ，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出、、的值，即可求出橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理及中點公式求出直線斜率，即可求解．
【小問1詳解】
由題意可知，得，解得．
所以橢圓的方程為．
【小問2詳解】
由題意可知直線斜率存在，
設，設，，，，
聯(lián)立方程組，
消得，
因為，
設中點坐標為,，
所以，所以，
所以或，
當，中點坐標為,直線方程為：，即．
當，中點坐標為,直線方程為：，即.
22. 如圖，四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，過直線的平面與棱分別交于點．
（1）證明：；
（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明平面,根據(jù)線面平行的性質定理，即可證明結論；
（2）建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意知四邊形為平行四邊形，故，
平面,平面,故平面,
又平面平面,平面，
故；
【小問2詳解】
由題意知平面，，
以A為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
由于，，，則,
故，，
,
設平面的法向量為，則，
即，令，則；
設平面的法向量為，則，
即，令，則，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為.

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