2022-2023學年江西省南昌市第十中學高二上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將復數(shù)化簡為，再求模長即可.【詳解】由已知可得，則，所以得模為.故選：.2．若直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為（    ）A．30° B．120°C．60° D．150°【答案】B【分析】由直線的方向向量求出斜率，進而求出傾斜角.【詳解】因為直線的方向向量為：，所以直線斜率,則傾斜角為120°.故選：B.3．直線與直線平行，那么的值是（　?。?/span>A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行的等價條件列方程組，解方程組即可求解.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得：，故選：B.4．已知，設(shè)的夾角為，則在上的投影向量是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】列出投影向量公式，即可計算求解.【詳解】在上的投影向量故選：C5．過點，且斜率為負數(shù)的直線l與函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，若M是線段AB上的一個三等分點，則直線l的斜率為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，由三等分點得，結(jié)合韋達定理即可求解.【詳解】由于直線過點，且斜率為負數(shù)，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立與可得，設(shè),則，由于M是線段AB上的一個三等分點，所以，進而可得所以，故選：A  6．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去，利用和 聯(lián)立，即可求得的范圍.【詳解】聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)方程的兩根為，因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則滿足，解得，又由，解得,所以的取值范圍是.故選：D.7．如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點的坐標為（ ）A．(1，1，1) B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：設(shè)交于點，連結(jié)，因為正方形與矩形所在的平面互相垂直，，點在上，且平面，所以，又，所以是平行四邊形，所以是的中點，因為，所以，故選C．【解析】空間直角坐標系中點的坐標． 8．已知，是雙曲線：的左，右焦點，過點傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，.若，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)，據(jù)雙曲線的定義可用表示，作，構(gòu)造直角三角形可計算得，并用勾股定理列出了，進而可求.【詳解】設(shè)，則，從而，進而.過作，則.如圖：在中，，；在中，，即，所以.故選：A【點睛】（1）焦點三角形為條件求圓錐曲線的離心率，常利用圓錐曲線的定義；（2）求圓錐曲線的離心率，常利用有關(guān)三角形建立關(guān)于的齊次等式，再化為的等式可求；（3）此題的關(guān)鍵是作得直角三角形，即可求出邊長，又可用來建立的齊次等式. 二、多選題9．已知向量，下列等式中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)條件可得出，然后可看出選項A的等式的左邊是向量，右邊是實數(shù)，顯然該等式不成立；進行數(shù)量積的運算即可判斷選項B，C都正確；根據(jù)和即可判斷選項D正確．【詳解】，∴，A：，∴該等式錯誤；B：，，∴該等式正確；C：，∴該等式正確；D：，，∴，∴該等式正確．故選：BCD．10．若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（    ）  A．的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．D．是函數(shù)圖象的一個對稱中心【答案】ACD【分析】根據(jù)圖象求得的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性、對稱性求得正確答案.【詳解】由圖可知，，由于，所以，所以，所以的最小正周期為，A選項正確.，所以B選項錯誤.，所以C選項正確.，所以D選項正確.故選：ACD11．如圖，正方體的棱長為1，是的中點，則（    ）A．直線平面 B．C．三棱錐的體積為 D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一驗證即可；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正確；，，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，又，所以，故D正確；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即，又直線平面，所以直線平面，故A正確；，故C錯誤；故選：ABD【點睛】本題考查空間向量法在立體幾何中的應用，屬于中檔題.12．已知O為坐標原點，過拋物線C：焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，若，則（    ）A．直線AB的斜率為 B．C． D．為鈍角【答案】CD【分析】由，以及拋物線方程求得,，再由斜率公式判斷A；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，，即可求出判斷B；由拋物線的定義求出，即可判斷C；由，求得為鈍角，可判斷D．【詳解】對于A，易得，，由， 則的橫坐標為，代入拋物線可得，即，，則直線的斜率為，故A錯誤；對于B：由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，，則，則，代入拋物線得，解得，則，，故，故B錯誤；對于C,，故C正確；，，，則為鈍角，故D正確．故選：CD．   三、填空題13．已知向量，，若，則     .【答案】27【分析】根據(jù)向量平行得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】，則，即，故，故.故答案為：.14．如果直線l：與橢圓C：總有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是      .【答案】【分析】根據(jù)直線所過的定點與橢圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】直線l：過定點，因為直線l：與橢圓C：總有公共點，所以點在橢圓內(nèi)部或橢圓上，則有，故答案為：15．已知，，則       .【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式可將已知等式化簡為，根據(jù)可求得；根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】由二倍角公式可知：，又        ，即本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系求解三角函數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠利用公式，結(jié)合角的范圍來對已知等式進行化簡.16．如圖，，分別是雙曲線C：的左?右焦點，以為直徑的圓與C交于點B，弦與C交于A點，連接，若，則C的離心率為           .【答案】【分析】根據(jù)以為直徑的圓與C交于點B，得到，再由，設(shè)，，，然后利用雙曲線的定義和勾股定理求解.【詳解】因為以為直徑的圓與C交于點B，所以，.設(shè)，則，.因為A，B是C上的點，所以，則，.在中，，即，則，所以C的離心率為.故答案為： 四、解答題17．已知平行六面體，，，，，設(shè)，，；（1）試用、、表示；（2）求的長度.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）用向量的線性運算求；（2）把（1）等式平方，由數(shù)量積的運算求模．【詳解】解：（1） （2），，所以．的長度為．18．在中，的外接圓半徑.(1)若，求及邊長；(2)求的取值范圍.【答案】(1)，(2) 【分析】(1)根據(jù)同角基本關(guān)系結(jié)合題意可得，在中，利用，即可求出的值；再根據(jù)正弦定理，即可求出的值;（2）結(jié)合正弦定理，和平面向量數(shù)量積公式以及輔助角公式，利用正弦三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出取值范圍.【詳解】（1）解：因為，且所以，又，且所以；由正弦定理可知所以.（2）解：∵，由正弦定理可得 ∴ ，              ∵，∴，∴，所以的取值范圍為．19．平面直角坐標系中，直線，設(shè)圓經(jīng)過，，圓心在上.(1)求圓的標準方程；(2)設(shè)圓上存在點P，滿足過點P向圓作兩條切線PA，PB，切點為，四邊形的面積為10，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用代入法，通過解方程組進行求解即可；（2）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式、圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓的標準方程為，因為圓經(jīng)過，，圓心在上，所以有，即圓的標準方程；（2）四邊形的面積10，而四邊形是由兩個全等的直角三角形組成， 的面積為5，即，又，， ，動點P的軌跡為以為圓心，以5為半徑的圓，即點P在圓 又點P在圓 上，圓E與圓有公共點．，即，解得 ．實數(shù)m的取值范圍為20．在直三棱柱中，，延長到，使，連結(jié)，得到多面體. (1)證明：平面；(2)若，，求多面體的體積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用線面平行和面面平行的判定可證得平面平面，由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）將多面體拆分為直三棱柱與四棱錐，根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式分別求解即可.【詳解】（1）連接， ，即，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.（2）多面體為直三棱柱與四棱錐構(gòu)成的組合體；作，垂足為， 平面平面，平面平面，平面，平面，即為四棱錐的高；，，，，又，；，，為等比三角形，，又，；多面體的體積.21．已知橢圓C：的離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標原點，F為橢圓C的右焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為.求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)離心率以及短軸長，結(jié)合的關(guān)系即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由兩點斜率公式，結(jié)合韋達定理即可化簡求解.【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以橢圓方程為（2）由于，當直線無斜率時，此時直線方程為，此時關(guān)于軸對稱，顯然滿足，當直線有些率時，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，則，，,，將代入可得，所以，綜上可知：22．已知雙曲線C經(jīng)過點，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)點A為雙曲線C的左頂點，過點作直線交雙曲線C于M、N兩點，試問，直線AM與直線AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值. 【分析】（1）根據(jù)漸近線可設(shè)雙曲線方程為，代入經(jīng)過的點即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得到韋達定理，由斜率公式得斜率之和的表達式，將韋達定理代入化簡即可求解.【詳解】（1）由漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，將點代入雙曲線方程中可得，故雙曲線方程為（2）由題意可知：直線有斜率，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，設(shè),則，由于,則，所以將代入可得，由于點在直線上，所以，此時，只需要，即可，因此,故直線AM與直線AN的斜率之和為定值.  【點睛】圓錐曲線中的范圍或最值或定值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，充分利用弦長公式以及斜率公式，以及向量的共線坐標公式，即可讓表達式得以化簡，往往可得定值，若求最值，則需要利用函數(shù)的單調(diào)性或者基本不等式即可求解最值. 

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