命題人:趙敏 審題人:程麗軍
一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.
1.已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2.若復(fù)數(shù)滿足（其中i是虛數(shù)單位，），則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.若向量，，且，則（ ）
A.-8B.2C.-2D.8
4.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，則該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（ ）
A. B. C. D.
5.函數(shù)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（ ）
A. B.
C. D.
6.冰箱空調(diào)等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化.當(dāng)氟化物排放量維持在某種水平時(shí)，臭氧量滿足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，t是時(shí)間，以年為單位.若按照關(guān)系式推算，經(jīng)過(guò)年臭氧量還保留初始量的四分之一，則的值約為（ ）
A.584年B.574年C.554年D.564年
7.已知數(shù)列滿足，對(duì)，都有，為數(shù)列的前n項(xiàng)乘積，若，則（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：
9.已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.變量x，y之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B.
C.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，y約為2.6D.由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過(guò)點(diǎn)
10.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，的面積為，則的周長(zhǎng)可能為（ ）
A.8B. C.9D.
11.在圓錐中，為高，為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，圓錐底面上點(diǎn)M在以為直徑的圓上（不含A?O兩點(diǎn)），點(diǎn)H在上，且，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，則（ ）
A.三棱錐的外接球體積為定值
B.直線與直線不可能垂直
C.直線與平面所成的角可能為60°
D.
三、填空題：
12.已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)________.
13.圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)F重合，A為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)________.
14.對(duì)于任意的，函數(shù)滿足，函數(shù)滿足.若，，則_________.
四、解答題：
15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.
（1）求角B的大??；
（2）若，求的值.
16.某工廠生產(chǎn)一種零件，該零件的質(zhì)量分為三種等級(jí)：一等品、二等品和次品.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該工廠生產(chǎn)一等品、二等品和次品的概率分別為0.7，0.2和0.1.現(xiàn)對(duì)一批剛生產(chǎn)出來(lái)的零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)方式分為兩種：自動(dòng)檢測(cè)和人工抽檢，自動(dòng)檢測(cè)能將一等品全部正確識(shí)別，但有5%的概率將二等品誤判為次品，有15%的概率將二等品誤判為一等品，也有10%的概率將次品誤判為二等品.
（1）求在自動(dòng)檢測(cè)下，一個(gè)被判斷為次品的零件實(shí)際上就是次品的概率
（2）假設(shè)零件先經(jīng)過(guò)自動(dòng)檢測(cè)，若判斷為一等品，則進(jìn)行人工抽檢；若判斷為二等品或次品，
則直接淘汰.求人工抽檢一個(gè)零件，該零件恰好是一等品的概率.
17.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，E為中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）點(diǎn)Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.
18.已知點(diǎn)為圓：上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線H.
（1）求曲線H的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M的直線與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且M為線段的中點(diǎn).
（i）證明：直線與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
（ii）求的取值范圍.
19.給出以下三個(gè)材料：
①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記作，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作，；
②若，定義；
③若函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式.
例如在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式為
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式；
（2）用在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式前三項(xiàng)計(jì)算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后4位；
（3）現(xiàn)已知，試求的值.
參考答案
1. 【答案】B 2. 【答案】B 3. 【答案】D 4. 【答案】C 5. 【答案】A
6. 【答案】C 7. 【答案】A 8. 【答案】D
9. 【答案】ACD 10. 【答案】AB 11. 【答案】AD
12. 【答案】2 13. 【答案】/0.8 14. 【答案】2
15. 【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）由及正弦定理得，.
因?yàn)?，所以，則，即.
因?yàn)?，所?（5分）
（2）方法一：由和正弦定理，得，即.
，即，則得.
方法二：根據(jù)余弦定理得，
則.
，則角A是銳角，故，
則.（13分）
16. 【答案】（1）（2）
【分析】（1）先由互斥事件和的概率與條件概率計(jì)算，再由條件概率計(jì)算即可；
（2）根據(jù)條件概率公式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)事件A表示“零件是次品”，B表示“自動(dòng)檢測(cè)判斷零件為次品”，事件，分別表示零件是一等品、二等品，
則
，
則.
所以在自動(dòng)檢測(cè)下，一個(gè)被判斷為次品的零件實(shí)際上就是次品的概率為.（7分）
（2）設(shè)事件C表示“零件需要進(jìn)行人工抽檢”，D表示“人工抽檢的零件為一等品”
，，
所以工抽檢一個(gè)零件，該零件恰好是一等品的概率為.
17. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）.
【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、線面角的向量求法、已知線面角求其他量、面面角的向量求法
【分析】（1）應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直；
（2）先應(yīng)用空間向量法計(jì)算線面角得出參數(shù)，再計(jì)算二面角即可.
【詳解】（1）由題意：，，∴，同理，
又，∴，∴.
而，即
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，∴，
又，且面，面，PC?AC?C，∴PD?平面.（6分）
（2）以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
∴，，，
設(shè)，有，
取面的一個(gè)法向量，
則，，
故.
令是平面的一個(gè)法向量，則，
即
令，有，則，
故平面與平面夾角的余弦值為.（15分）
18. 【答案】（1）
（2）（i）證明見(jiàn)解析，（ii）
【知識(shí)點(diǎn)】利用雙曲線定義求方程、討論雙曲線與直線的位置關(guān)系、求雙曲線中的最值問(wèn)題
【分析】（1）由雙曲線的定義進(jìn)行求解；
（2）（i）設(shè)，，，求出，由直線與曲線H方程進(jìn)行求解；
（ii）由，則利用基本不等式求解.
【詳解】（1）M為的垂直平分線上一點(diǎn)，則，
則
∴點(diǎn)M的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，
故點(diǎn)M的軌跡方程為：.
（2）（i）設(shè)，，，雙曲線的漸近線方程為：，
如圖所示：
則①，②，
①+②得，，
①-②得，，
則，得
由題可知，則，，
得，即，
∴直線的方程為，即，
又∵點(diǎn)M在曲線H上，則，得，
將方程聯(lián)立，得，
得，
由，可知方程有且僅有一個(gè)解，
得直線與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
（ii）由（i）聯(lián)立，可得，同理可得，，
則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故的取值范圍為.
19. 1.（1）
（2）0.9553
（3）
【分析】（1）利用階泰勒展開(kāi)式的定義，可求，
（2）由（1）可求；
（3）由（1）可得，進(jìn)而可得，結(jié)合已知可得結(jié)論.
【詳解】（1），，，…，
所以，，，…，
由
所以
（2）由（1）可得
?1-0.045?0.0003375?0.9553.
（3）因?yàn)?br>①，
對(duì)，
兩邊求導(dǎo)可得：，
所以，
所以②，
比較①②中的系數(shù)，可得：
所以.

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