與三角形的高、角平分線有關(guān)的模型 模型一　求過同一頂點的角平分線與高線的夾角 1.如圖,AD是△ABC的高線,AE是角平分線,若∠BAC∶∠B∶∠C=6∶3∶1,求∠DAE的度數(shù). 2.已知:△ABC中,AE平分∠BAC交BC于E,AD⊥BC于D. (1)如圖①,若∠C=70°,∠B=30°,則∠DAE=　　　　;? (2)如圖②所示,F是AE上的任意一點,過F作FG⊥BC于G,且∠B=40°,∠C=80°,求∠EFG的度數(shù); (3)在(2)的條件下,若F點在AE的延長線上(如圖③),其他條件不變,則∠EFG的大小發(fā)生改變嗎?說明理由. 模型二　求兩內(nèi)角平分線的夾角 3.如圖,在△ABC中,∠A=84°,點O是∠ABC、∠ACB的平分線的交點,點P是∠BOC、∠OCB的平分線的交點,若∠P=100°,求∠ACB的度數(shù). 4.如圖,△ABC中,點P是∠ABC、∠ACB的平分線的交點. (1)若∠A=80°,求∠BPC的度數(shù); (2)有位同學(xué)在解答(1)后得出∠BPC=90°+12∠A的規(guī)律,你認為正確嗎?請給出理由. 模型三　求一內(nèi)角平分線與不相鄰?fù)饨瞧椒志€的夾角 5.如圖1,在△ABC中,BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD,BA1,CA1相交于點A1. (1)若∠A1=30°,求∠A的度數(shù); (2)求證:∠A1=12∠A; (3)如圖2,繼續(xù)作∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2,得∠A2;作∠A2BC和∠A2CD的平分線交于點A3,得∠A3,……,依次得到∠A2 023,若∠A=α,則∠A2 023=　　　　.? 圖1　 圖2 6.如圖,已知BE是△ABC的角平分線,CP是△ABC的外角∠ACD的平分線,延長BE,BA分別交CP于點F,P. (1)求證:∠BFC=12∠BAC; (2)小智同學(xué)探究后提出等式:∠BAC=∠ABC+∠P,請通過推理演算判斷“小智發(fā)現(xiàn)”是否正確; (3)若2∠BEC-∠P=180°,求∠ACB的度數(shù). 模型四　求兩外角平分線的夾角 7.如圖,在△ABC中,∠B=46°,△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E,則∠AEC=　　　　.? 8.如圖,點O為△ABC的兩個內(nèi)角∠ABC、∠ACB的平分線的交點,點P為△ABC的兩個外角∠DBC、∠ECB的平分線的交點,探究∠O與∠P的數(shù)量關(guān)系. 答案全解全析 1.解析　∵∠BAC∶∠B∶∠C=6∶3∶1, ∴設(shè)∠BAC=6α,∠B=3α,∠C=α, ∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴6α+3α+α=180°, ∴α=18°,∴∠BAC=108°,∠B=54°,∠C=18°, ∵AD是△ABC的高線,∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=180°-90°-54°=36°, ∵AE是△ABC的角平分線, ∴∠BAE=12∠BAC=12×108°=54°, ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-36°=18°. 2.解析　(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°, ∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=80°,AE平分∠BAC, ∴∠BAE=12∠BAC=40°, ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°. 故答案為20°. (2)∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG, ∴∠EFG=∠DAE, ∵∠B=40°,∠C=80°, ∴∠BAC=180°-40°-80°=60°, ∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=30°, ∵AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠B=50°, ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°, ∴∠EFG=20°. (3)∠EFG的大小不變.理由如下: ∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠DAE, 由(2)知∠DAE=20°,∴∠EFG=20°. 3.解析　∵點P是∠BOC、∠OCB的平分線的交點, ∴∠BCP=∠PCO,∠BOP=∠COP, 設(shè)∠BCP=∠PCO=x,∠BOP=∠COP=y, ∵∠P=100°,∴x+y=80°,∴2x+2y=160°, ∴∠OBC=180°-160°=20°, ∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=40°, ∵∠A=84°,∴∠ACB=180°-40°-84°=56°. 4.解析　(1)∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的平分線, ∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=12×(180°-80°)=50°, ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-50°=130°. (2)正確.理由如下: ∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的平分線, ∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°?12∠A=90°+12∠A. 5.解析　(1)∵BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD, ∴∠ABC=2∠A1BC,∠ACD=2∠A1CD, 在△ABC中,∠ACD=∠A+∠ABC, 在△A1BC中,∠A1CD=∠A1+∠A1BC, ∴∠A+∠ABC=2(∠A1+∠A1BC), 整理得∠A=2∠A1,∵∠A1=30°,∴∠A=60°. (2)證明:由(1)可知∠A=2∠A1,∴∠A1=12∠A. (3)由(2)得∠A2=12∠A1=122∠A,∠A3=123∠A,……,∠An=12n∠A, ∵∠A=α,∴∠A2 023=α22 023,故答案為α22 023. 6.解析　(1)證明:∵CP是∠ACD的平分線, ∴∠PCD=12∠ACD, ∵BF是∠ABC的平分線,∴∠FBC=12∠ABC, ∴∠BFC=∠PCD-∠FBC=12(∠ACD-∠ABC)=12∠BAC. (2)由(1)知∠BFC=12∠BAC,∴∠BAC=2∠BFC=2×12∠ABC+∠P=∠ABC+2∠P,∴“小智發(fā)現(xiàn)”是錯誤的. (3)∵∠BEC=∠ABE+∠BAC=12∠ABC+∠BAC,∠BAC=∠ACP+∠P, ∴∠BEC=12∠ABC+∠ACP+∠P=12∠ABC+∠PCD+∠P, ∵∠PCD=∠FBC+∠BFC=12∠ABC+∠BFC, ∴∠BEC=12∠ABC+12∠ABC+12∠BAC+∠P=∠ABC+12∠BAC+∠P, ∵2∠BEC-∠P=180°,∴∠BEC=90°+12∠P, ∴90°+12∠P=∠ABC+12∠BAC+∠P, ∴180°+∠P=2∠ABC+∠BAC+2∠P, ∴180°=∠ABC+∠P+180°-∠ACB, ∴∠ACB=∠ABC+∠P=∠PCD=∠ACP, ∴∠ACB=60°. 7.答案　67° 解析　∵∠B=46°, ∴∠BAC+∠BCA=180°-46°=134°, ∴∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC+180°-∠BCA=360°-134°=226°, ∵AE和CE分別平分∠DAC和∠FCA, ∴∠EAC=12∠DAC,∠ECA=12∠FCA, ∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠FCA)=113°, ∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-113°=67°. 故答案為67°. 8.解析　在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴∠DBC+∠ECB=360°-(180°-∠A)=180°+∠A, ∵點O為∠ABC、∠ACB的平分線的交點, ∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB, ∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=90°-12∠A, ∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A, ∵點P為∠DBC、∠ECB的平分線的交點, ∴∠PBC=12∠DBC,∠PCB=12∠ECB, ∴∠PBC+∠PCB=12(∠DBC+∠ECB)=90°+12∠A, ∴∠P=180°-90°+12∠A=90°-12∠A, ∴∠O+∠P=180°.

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