全等三角形五種常見模型 模型一　平移模型 1.如圖①,A,B,C,D在同一條直線上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求證:△AFC≌△DEB.如果將△DEB沿著AD方向平行移動,如圖②③,其余條件不變,結(jié)論是否成立?如果成立,請予以證明;如果不成立,請說明理由. 模型二　對稱模型 2.如圖,已知AB=AC,AE=AF,∠BAE=∠CAF,BF與CE相交于點O.求證:BF=CE. 3.如圖,在四邊形ACBD中,點P在對角線AB上,連接PC、PD.已知∠1=∠2,∠3=∠4. (1)求證:△BDP≌△BCP;(2)求證:AD=AC. 模型三　旋轉(zhuǎn)模型 4.如圖,已知AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,連接DC,BE. (1)求證:△BAE≌△DAC; (2)若∠CAD=143°,∠D=15°,求∠E的度數(shù). 5.如圖,∠BAE=∠CAF=90°,EC、BF相交于點M,AE=AB,AC=AF. (1)求證:EC=BF;(2)求證:EC⊥BF; (3)若將條件∠BAE=∠CAF=90°改為∠BAE=∠CAF=m°,則(1)(2)中的結(jié)論還成立嗎?結(jié)論(1)　　　　,結(jié)論(2)　　　　(只回答不寫過程).? 模型四　一線三等角模型 6.(1)如圖1,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D,E.求證:DE=BD+CE; (2)如圖2,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC.請寫出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系,并說明理由. 圖1 　圖2 模型五　中點模型 7.(1)如圖1,AD是△ABC的中線,延長AD至點E,使ED=AD,連接BE,寫出圖中全等的兩個三角形:　　　　　　　　;? (2)如圖2,EP是△DEF的中線,若EF=5,DE=3,設(shè)EP=x,則x的取值范圍是　　　　;? (3)在△ABC中,D為BC的中點,M為AC的中點,連接BM交AD于F,若∠AFM=∠MAF,求證:BF=AC. 圖1　 圖2　 圖3 答案全解全析 1.解析　∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD. ∵DE∥AF,∴∠A=∠D. 在△AFC和△DEB中,AF=DE,∠A=∠D,AC=DB, ∴△AFC≌△DEB(SAS). 在題圖②③中結(jié)論依然成立. 證明:在題圖②中,∵DE∥AF,∴∠A=∠D. 在△AFC和△DEB中,AC=DB,∠A=∠D,AF=DE, ∴△AFC≌△DEB(SAS). 在題圖③中,∵AB=CD, ∴AB-BC=CD-BC,即AC=BD, ∵AF∥DE,∴∠A=∠D. 在△AFC和△DEB中,AF=DE,∠A=∠D,AC=DB, ∴△AFC≌△DEB(SAS). 2.證明　∵∠BAE=∠CAF, ∴∠BAE+∠EAF=∠CAF+∠EAF, 即∠BAF=∠CAE, 在△ABF和△ACE中,AB=AC,∠BAF=∠CAE,AF=AE, ∴△ABF≌△ACE(SAS),∴BF=CE. 3.證明　(1)∵∠1=∠2,∠1+∠DPB=180°,∠2+∠CPB=180°, ∴∠DPB=∠CPB, 在△BDP和△BCP中,∠DPB=∠CPB,PB=PB,∠3=∠4, ∴△BDP≌△BCP(ASA). (2)∵△BDP≌△BCP,∴DP=CP, 在△ADP和△ACP中,AP=AP,∠1=∠2,DP=CP, ∴△ADP≌△ACP(SAS),∴AD=AC. 4.解析　(1)證明:∵∠DAB=∠CAE, ∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE, 在△BAE和△DAC中,AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC, ∴△BAE≌△DAC(SAS). (2)∵△BAE≌△DAC,∴∠E=∠C, ∵∠CAD=143°,∠D=15°, ∴∠C=180°-(∠CAD+∠D)=22°,∴∠E=22°. 5.解析　(1)證明:∵∠BAE=∠CAF=90°, ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠CAE=∠BAF, 在△EAC與△BAF中,AE=AB,∠EAC=∠BAF,AC=AF, ∴△EAC≌△BAF,∴EC=BF. (2)如圖,設(shè)AC交BF于O. ∵△EAC≌△BAF,∴∠AFO=∠OCM, ∵∠AOF=∠COM, ∴∠OMC=∠OAF=90°,∴EC⊥BF. (3)(1)中的結(jié)論成立,(2)中的結(jié)論不成立. 提示:同法可證△EAC≌△BAF,可得EC=BF, 易得∠CMO=∠FAO=m°, ∴(1)中的結(jié)論成立,(2)中的結(jié)論不成立. 6.解析　(1)證明:∵BD⊥直線m,CE⊥直線m, ∴∠BDA=∠CEA=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°, ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°, ∴∠CAE=∠ABD, 在△ADB和△CEA中,∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA, ∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. (2)DE=BD+CE.理由如下: ∵∠BDA=∠BAC, ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE, ∴∠DBA=∠CAE, 在△ADB和△CEA中,∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA, ∴△ADB≌△CEA(AAS),∴BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. 7.解析　(1)△ADC≌△EDB. 提示:在△ADC和△EDB中,DA=DE,∠ADC=∠EDB,DC=DB, ∴△ADC≌△EDB(SAS), 故答案為△ADC≌△EDB. (2)如圖,延長EP至點Q,使PQ=PE,連接FQ, 在△PED與△PQF中,PE=PQ,∠DPE=∠FPQ,PD=PF, ∴△PED≌△PQF(SAS), ∴FQ=DE=3, 在△EFQ中,EF-FQ

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