解析幾何學(xué)是借助坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象之間的 關(guān)系和性質(zhì)的一門(mén)幾何學(xué)分支，亦叫坐標(biāo)幾何.由法國(guó)數(shù)學(xué)家 笛卡爾和費(fèi)馬等人創(chuàng)建.解析幾何的核心思想——數(shù)形結(jié)合幾何問(wèn)題——代數(shù)化——處理代數(shù)問(wèn)題——分析 代數(shù)結(jié)果的幾何意義——解決幾何問(wèn)題
教材分析平面解析幾何簡(jiǎn)介
1.掌握數(shù)軸上向量的坐標(biāo)公式，會(huì)用向量法推導(dǎo) 出數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式； 2.了解并掌握平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)之間的距 離公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及其推導(dǎo)過(guò)程3.能用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題
1-- 學(xué)習(xí)目標(biāo)- - 通過(guò)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式的探索，掌握平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式.體現(xiàn)了邏輯推理的素養(yǎng)通過(guò)對(duì)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過(guò)程的探索，體 會(huì)算法。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理的素養(yǎng)進(jìn)一步體會(huì)“坐標(biāo)法”的基本思想，逐步學(xué)會(huì) 用“坐標(biāo)法”解決有關(guān)問(wèn)題.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算， 直觀(guān)想象的素養(yǎng)重點(diǎn)：掌握平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐 標(biāo)公式.體會(huì)坐標(biāo)法在幾何中的應(yīng)用難點(diǎn)：了解兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的推導(dǎo)方法；
給定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度與正方向的直線(xiàn)是數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.|AB|=|AB|=|x?)-(x?I設(shè)AB中 點(diǎn)M(x), 則 答案：12;4已知數(shù)軸上A(-2),B(10), 求這兩點(diǎn)之間的距離以及它們的中點(diǎn)坐標(biāo)?
本課導(dǎo)入平面直角坐標(biāo)系中的基本公式
新知講解當(dāng) AB 垂直于x軸時(shí)i|AB|=|y?)-(y?I當(dāng) AB 垂直于y軸時(shí)i|AB|=|x?)-(x?I當(dāng)點(diǎn)B 是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)|AB|=√x?2+y?2兩點(diǎn)間距離公式.IA 刷=|AB|= √ (x?-x?)2+(y?-y?)2
兩點(diǎn)之間的距離：5;中點(diǎn)坐標(biāo) i2.求點(diǎn)A(1,-1) 關(guān)于點(diǎn)M(2,3) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B的坐標(biāo)。B(3,7)3.已知點(diǎn)A(-3,2) 與 點(diǎn)B(1,0) 關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
1.已知A(3,0),B(0,-4), 求這兩點(diǎn)之間的距離以及它們的中點(diǎn)坐標(biāo)。
(法二)向量法：設(shè)CA=(-4,2),CB= 計(jì)算出三角形的三邊長(zhǎng)(法三)解三角形法
求這個(gè)三角形AB 邊上中線(xiàn)的長(zhǎng).解：(法一)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x,y), 則1從而可知所求中線(xiàn)長(zhǎng)為ICM|=√(2-5)2+(3-0)2=3√2.
貝 故ICM|=|CM= 究?三?邊?長(zhǎng)與中線(xiàn)的
例1.已知A(1, 2),B (3,4),C(5,0) 是△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，
嘗試與發(fā)現(xiàn)D如圖2-1-3所示□ABCD 中，如果要證明AC2+BD2=2(AB2+AD2), AB你能想到什么辦法? 圖2- 1- 3取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB 所在直線(xiàn)為x軸 ，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則A(0,0),設(shè) B(a,0),C(b,c), 從而由平行四邊形的性質(zhì)可知D(b-a,c).因此|AC|2=b2+c2 |BD|2=(b-2a)2+c2=b2-4ab+4a2+c2 |AC|2+|BD|2=2b2-4ab+4a2+2c2;類(lèi)似地|AB|2=a2, |AD|2=(b-a)2+c2=b2-2ab+a2+c2,從而可以看出AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|ADI2).
結(jié)論：平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于它的四條邊的平方和
思考：能否 借助解三角 形的知識(shí)來(lái) 解決此問(wèn)題?
典例講解 例2:已知ABCD 是一個(gè)長(zhǎng)方形，AB=4,AD=1, 判斷線(xiàn)段CD 上是否存在點(diǎn)P, 使得AP⊥BP. 如果存在，指出滿(mǎn)足條件的P有多少介；如果不存在，說(shuō)明理由.
解：以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB 所 在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系
A(-2,0),B(2,0),C(2,1),D(-2,1).設(shè)P(t,1)是線(xiàn)段CD上的一點(diǎn)，則-2≤t≤2 個(gè)y而且 PA=(-2-t,-1),PB=(2-t,-1).因?yàn)锳P ⊥BP的充要條件是PA⊥PB, A O B又因?yàn)樯鲜龇匠痰慕鉃閠=√3
即PA PB=0, 這也等價(jià)于(-2-t)(2-t)+1=0.
所以滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)存在，而且有
歸納總結(jié)坐標(biāo)法的基本步驟1.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量； 2.進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；3.將代數(shù)結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系.
跟蹤練習(xí) 1.已知A(3,1),B(-2,2), 在 y軸上的點(diǎn)P滿(mǎn)足PA⊥PB,求P的坐標(biāo)。參考答案：P(0,4) 或(0,- 1)
課堂小結(jié)1.解析幾何的基本思想和研究方法2.平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式 3.坐標(biāo)法解決問(wèn)題的一般方法與基本步驟1.坐標(biāo)法(幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化)數(shù)學(xué)思想方法 2.數(shù)形結(jié)合3.轉(zhuǎn)化與化歸核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀(guān)想象
:: ∴D(1,7).∴|CD|=√(1-1)2+(7-5)2=2.2.已知平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,2),B( 5,7), 對(duì) 角線(xiàn)交點(diǎn)為E(-3-,4), 兩頂點(diǎn)C,D 的坐標(biāo)為(-10,6) (-11.1。)-
B.4 C 口解析 —
1.已知A(3,1),B( 2,4),C(1,5), 且 點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D, 則|CD|=
由題意知B為AD的中點(diǎn)，設(shè)D(x,y),
取BC 邊所在直線(xiàn)為x軸，邊BC 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示。設(shè)B(—a,0),C(a,0),A(m,n) (其中a>0),則|AB|2+|ACl2=(m+a)2+n2+(m—a)2+n2=2(m2+a2+n2),|AO|2+|0C|2=m2+n2+a2,∴|AB|2+|ACl2=2(|AO|2+|OCl2).
3.已知AO 是△ABC 中BC 邊的中線(xiàn)，證明： |ABl2+|AClP=2(|AO l2+|0Cl2).證明
IA.3 析- B.4√2 0. 5√2 D.7√2f(x)=√ (x+2)2+16+√ (x+1)2+9,可理解為點(diǎn)(x,0) 到A(一2,4)的距離與到B(一1,3)的距離之和的最小值 ，A(一2,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(一2,—4),連接A'B,則A'BI= √ 1+49=5 √2, 此為f(x)的最小值.
4.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如： √(x—a)2+(y-b) 2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y) 與點(diǎn)N(a,b) 的距離，結(jié)合上述觀(guān)點(diǎn)，可得f(x)= Wx2+4x+20+√x2+2x+10 的最小值為
必做：P70習(xí)題2-1A第3、4、5題；P70 習(xí)題2-1B第3題選做：P70練習(xí)C組 1 , 2 題
數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微， 數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊 飛。---華羅庚

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2.1 坐標(biāo)法

版本： 人教B版 (2019)

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