第23章達標測試卷 一、選擇題(每題3分，共30分) 1．下列四條線段中，不是成比例線段的為(　　) A．a(chǎn)＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a(chǎn)＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(6)，d＝eq \r(3) D．a(chǎn)＝2，b＝eq \r(5)，c＝eq \r(15)，d＝2 eq \r(3) 2．下列各組圖形中有可能不相似的是(　　) A．各有一個角是45°的兩個等腰三角形 B．各有一個角是60°的兩個等腰三角形 C．各有一個角是105°的兩個等腰三角形 D．兩個等腰直角三角形 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點，DE∶EC＝3∶2，連結AE交BD于點F，則△DEF與△BAF的面積之比為(　　) A．2∶5 B．3∶5 C．9∶25 D．4∶25 4．如圖，△ABO是△A′B′O經(jīng)過位似變換得到的，若點P′(m，n)在△A′B′O內，則點P′經(jīng)過位似變換后的對應點P的坐標為(　　) A．(2m，n) B．(m，n) C．(m，2n) D．(2m，2n) 5．下列說法：①位似圖形都相似；②位似圖形都是平移后再放大(或縮小)得到的；③兩個相似多邊形的面積比為4：9，則周長的比為16：81.其中正確的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．0個 6．如圖，某校數(shù)學興趣小組為測量學校旗桿AC的高度，在點F處豎立一根長1.5 m的標桿DF，量出DF的影長EF為1 m，再量出同一時刻旗桿AC的影長BC為6 m，則旗桿AC的高為(　　) A．6 m B．7 m C．8.5 m D．9 m 7．如圖，點A，B，C，D的坐標分別是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是(　　) A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2) 8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E是AD的中點，CF⊥BE于點F，則CF等于(　　) A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25 9．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點，DE：EC＝2：3，連結AE，BE，BD，且AE，BD交于點F，則S△DEF：S△EBF：S△ABF＝(　　) A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25 10．如圖，點A在線段BD上，在BD的同側作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE，AE分別交于點P，M，連結AP.對于下列結論：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正確的是(　　) A．①②③ B．① C．①② D．②③ 二、填空題(每題3分，共30分) 11．如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點O.若eq \f(BO,OC)＝eq \f(2,3)，AD＝10，則AO＝________． 12．假期，爸爸帶小明去A地旅游，小明想知道A地與他所居住的城市的距離，他在比例尺為1∶500 000的地圖上測得所居住的城市距A地32 cm，則小明所居住的城市與A地的實際距離為________． 13．已知eq \f(a,5)＝eq \f(b,7)＝eq \f(c,8)，且3a－2b＋c＝9，則2a＋4b－3c的值為________． 14．如圖，已知點C是線段AB的黃金分割點，且BC>AC.若S1表示以BC為邊的正方形的面積，S2表示長為AD(AD＝AB)、寬為AC的矩形的面積，則S1與S2的大小關系為____________． 15．如圖，△ABC中，D，E分別是AB和AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，DF平分CE于點G，CF＝1，則BC＝________，△ADE與△ABC的周長之比為________，△CFG與△BFD的面積之比為________． 16．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為1∶eq \r(3)，點A的坐標為(0，1)，則點E的坐標是________． 17．如圖，將邊長為1的正三角形OAP沿x軸正方向連續(xù)翻轉2 021次，點P依次落在點P1，P2，P3，…，P2 021的位置，則點P2 021的橫坐標為________． 18．如圖，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺豎直，瞄準小尺的兩端E，F(xiàn)，不斷調整站立的位置，使在點D處恰好能看到鐵塔的頂部B和底部A，設小明的手臂長l＝45 cm，小尺長a＝15 cm，點D到鐵塔底部A的距離AD＝42 m，則鐵塔的高度是________m. 19．如圖，已知點P是邊長為4的正方形ABCD內一點，且PB＝3，BF⊥BP，垂足為點B，若在射線BF上找一點M，使以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，則BM的長為________． 20．如圖，正三角形ABC的邊長為2，以BC邊上的高AB1為邊作正三角形AB1C1，△ABC與△AB1C1公共部分的面積記為S1，再以正三角形AB1C1的邊B1C1上的高AB2為邊作正三角形AB2C2，△AB1C1與△AB2C2公共部分的面積記為S2……以此類推，則Sn＝____________.(用含n的式子表示，n為正整數(shù)) 三、解答題(21題6分，22，25題每題12分，23，24題每題8分，26題14分，共60分) 21．如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，試求出x及∠α的大小． 22．在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示，每個小正方形的邊長為1，以原點O為位似中心，在第一象限內，對△ABC進行位似變換，得到△DEF(點A，B，C分別對應點D，E，F(xiàn))，且△ABC與△DEF的相似比為2：1. (1)畫出△DEF； (2)線段AC的中點變換后對應的點的坐標為________； (3)求△DEF的周長． 23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E. (1)求證：△BDE∽△CAD； (2)若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長． 24．周末，小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D，豎起標桿DE，使得點E與點C，A共線． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，測量示意圖如圖所示． 請根據(jù)相關測量信息，求河寬AB. 25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，點P從點A沿AC向點C以2 cm/s的速度移動，到點C就停止移動，點Q從點C沿CB向點B以1 cm/s的速度移動，到點B就停止移動． (1)若點P，Q同時出發(fā)，則經(jīng)過幾秒S△PCQ＝2 cm2? (2)若點Q從點C出發(fā)2 s后點P出發(fā)，則點P移動幾秒時△PCQ與△ACB相似？ 26．如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連結DE. 將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α. (1)當α＝0°和α＝180°時，求eq \f(AE,BD)的值． (2)試判斷當0°≤α＜360°時，eq \f(AE,BD)的大小有無變化？請僅就圖②的情況給出證明． (3)當△EDC旋轉至A，D，E三點共線時，求線段BD的長． 答案 一、1.B　2.A　3.C　4.D　5.A 6．D　點撥：易證△DEF∽△ABC，所以eq \f(DF,AC)＝eq \f(EF,BC)，即eq \f(1.5,AC)＝eq \f(1,6)，解得AC＝9 m．故選D. 7．B 8．B　點撥：由∠A＝∠ABC＝90°，CF⊥BE，易證△ABE∽△FCB. ∴eq \f(AB,BE)＝eq \f(CF,BC).由AE＝eq \f(1,2)×3＝1.5， AB＝2，得BE＝2.5， ∴eq \f(2,2.5)＝eq \f(CF,3). ∴CF＝2.4. 9．D 10．A　點撥：由題意可得AC＝eq \r(2)AB，AD＝eq \r(2)AE，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(AD,AE).∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故結論①正確；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴eq \f(MP,MA)＝eq \f(ME,MD)，即MP·MD＝MA·ME，故結論②正確． ∵eq \f(MP,MA)＝eq \f(ME,MD)， ∴eq \f(MP,ME)＝eq \f(MA,MD)，又∠PMA＝∠EMD， ∴△PMA∽△EMD， ∴∠APM＝∠MED＝90°. ∵∠CAE＝180°－∠BAC－∠EAD＝90°＝∠APC，∠ACP＝∠MCA， ∴△CAP∽△CMA， ∴eq \f(AC,CM)＝eq \f(CP,AC)，即AC2＝CP·CM. ∵AC＝eq \r(2)CB，∴2CB2＝CP·CM，故結論③正確．綜上，正確的結論是①②③，故選A. 二、11.4 12．160 km　點撥：設小明所居住的城市與A地的實際距離為x km，根據(jù)題意可列比例式為eq \f(1,500 000)＝eq \f(32,x×105)，解得x＝160. 13．14　點撥：由eq \f(a,5)＝eq \f(b,7)＝eq \f(c,8)，可設a＝5k，b＝7k，c＝8k.∵3a－2b＋c＝9， ∴3×5k－2×7k＋8k＝9，∴k＝1. ∴2a＋4b－3c＝10k＋28k－24k＝14k＝14. 14．S1＝S2　點撥：∵點C是線段AB的黃金分割點，且BC>AC， ∴BC2＝AC·AB. 又∵S1＝BC2，S2＝AC·AD＝AC·AB，∴S1＝S2. 15．2；12；16　 16．(eq \r(3)，eq \r(3)) 17．2 020 18．14　點撥：作CH⊥AB于H，交EF于P，如圖，則CH＝DA＝42 m，由題意知，CP＝45 cm＝0.45 m，EF＝15 cm＝0.15 m. ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CBA， ∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(CP,CH)，即eq \f(0.15,AB)＝eq \f(0.45,42)， ∴AB＝14 m， 即鐵塔的高度為14 m. 19.eq \f(16,3)或3　點撥：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.當△MBC∽△ABP時，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝eq \f(16,3)；當△CBM∽△ABP時，BM ∶BP＝CB ∶AB，得BM＝4×3÷4＝3. 20.eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n)　點撥：在正三角形ABC中，AB1⊥BC， ∴BB1＝eq \f(1,2)BC＝1. 在Rt△ABB1中，AB1＝eq \r(AB2－BB21)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)， 根據(jù)題意可得△AB2B1∽△AB1B，記△AB1B的面積為S， ∴eq \f(S1,S)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2).∴S1＝eq \f(3,4)S. 同理可得S2＝eq \f(3,4)S1，S3＝eq \f(3,4)S2，S4＝eq \f(3,4)S3，…. 又∵S＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)， ∴S1＝eq \f(3,4)S＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,4)， S2＝eq \f(3,4)S1＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)，S3＝eq \f(3,4)S2＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)，S4＝eq \f(3,4)S3＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(4)，…，Sn＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n). 三、21.解：因為四邊形ABCD∽四邊形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，則∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°. 因為四邊形ABCD∽四邊形EFGH， 所以x∶7＝12∶6，解得x＝14. 22．解：(1)△DEF如圖所示． (2)(2，1.5) (3)△DEF的周長是DE＋EF＋DF＝1＋eq \r(2)＋eq \r(5). 23．(1)證明：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠ADC＝90°， ∴△BDE∽△CAD. (2)解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，BD＝eq \f(1,2)BC＝5. 在Rt△ADB中，AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(132－52)＝12， 又易知eq \f(1,2)·AD·BD＝eq \f(1,2)·AB·DE， ∴DE＝eq \f(60,13). 24．解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠ABC＝∠ADE＝90°. ∵∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， ∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE). ∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m， ∴eq \f(AB,AB＋8.5)＝eq \f(1,1.5)， 解得AB＝17 m. 故河寬AB為17 m. 25．解：(1)設經(jīng)過t s S△PCQ＝2 cm2，則AP＝2t cm，CQ＝t cm，所以PC＝(8－2t)cm， 由題意得eq \f(1,2)×(8－2t)t＝2， 整理得t2－4t＋2＝0， 解得t＝2±eq \r(2)， 所以點P，Q同時出發(fā)，經(jīng)過(2＋eq \r(2))s或(2－eq \r(2))s S△PCQ＝2 cm2. (2)設點P移動a s時△PCQ與△ACB相似，則AP＝2a cm，CQ＝(2＋a)cm， 所以PC＝(8－2a)cm， 當△PCQ∽△ACB時，eq \f(CP,CA)＝eq \f(CQ,CB)，即eq \f(8－2a,8)＝eq \f(2＋a,6)， 解得a＝eq \f(8,5). 當△PCQ∽△BCA時，eq \f(CP,CB)＝eq \f(CQ,CA)，即eq \f(8－2a,6)＝eq \f(2＋a,8)， 解得a＝eq \f(26,11). 綜上所述，點P移動eq \f(8,5) s或eq \f(26,11) s時△PCQ與△ACB相似． 26．解：(1)當α＝0°時， ∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4. ∵點D，E分別是邊BC，AC的中點， ∴BD＝4，AE＝EC＝eq \f(1,2)AC. ∵∠B＝90°， ∴AC＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5)， ∴AE＝CE＝2eq \r(5)， ∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(2\r(5),4)＝eq \f(\r(5),2). 當α＝180°時，如圖①，易得AC＝4 eq \r(5)，CE＝2 eq \r(5)，CD＝4， ∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(AC＋CE,BC＋CD)＝eq \f(4 \r(5)＋2 \r(5),8＋4)＝eq \f(\r(5),2). (2)無變化． 證明：在題圖①中， ∵DE是△ABC的中位線， ∴DE∥AB， ∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)，∠EDC＝∠ABC＝90°. 如題圖②， ∵△EDC在旋轉過程中形狀大小不變， ∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)仍然成立． 又∵∠ACE＝∠BCD＝α， ∴△ACE∽△BCD，∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(AC,BC). 在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(42＋82)＝4 eq \r(5). ∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(4 \r(5),8)＝eq \f(\r(5),2)， ∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2)， ∴eq \f(AE,BD)的大小不變． (3)當△EDC在BC上方，且A，D，E三點共線時，四邊形ABCD為矩形，如圖②，∴BD＝AC＝4 eq \r(5)；當△EDC在BC下方，且A，E，D三點共線時，△ADC為直角三角形，如圖③，由勾股定理可得AD＝eq \r(AC2－CD2)＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2)，∴BD＝eq \f(12 \r(5),5). 綜上，BD的長為4 eq \r(5)或eq \f(12 \r(5),5).

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