第23章達(dá)標(biāo)測試卷 一、選擇題(每題3分，共30分) 1．若2x－7y＝0，則eq \f(x,y)等于(　　) A.eq \f(7,2) B．－eq \f(2,7) C.eq \f(2,7) D．－eq \f(7,2) 2．在平面直角坐標(biāo)系中，作點(diǎn)A(3，4)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A′，再將點(diǎn)A′向左平移6個(gè)單位長度，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　) A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4) 3．在比例尺為1:150 000的某城市地圖上，若量得A、B兩所學(xué)校的距離是4.2厘米，則A、B兩所學(xué)校的實(shí)際距離是(　　) A．630米 B．6 300米 C．8 400米 D．4 200米 4．已知△ABC∽△DEF，相似比為3:1，且△ABC的面積與△DEF的面積和為20，則△DEF的面積為(　　) A．5 B．2 C．15 D．18 5．如圖，將平行四邊形AEFG變換到平行四邊形ABCD，其中E，G分別是AB，AD的中點(diǎn)，下列敘述不正確的是(　　) A．這種變換是位似變換 B．對應(yīng)邊擴(kuò)大到原來的2倍 C．各對應(yīng)角度數(shù)不變 D．面積擴(kuò)大到原來的2倍 (第5題)　 　　 (第6題)　 　　 (第7題) 6．如圖，在△ABC中，AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，已知BC＝2a，則DG＋EH＋FI的長是(　　) A．a(chǎn) B．4a C．3a D．2a 7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A(6，3)、B(6，0)．以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為eq \f(1,3)，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　) A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 8．如圖，在△ABC中，AB＝7 cm，AC＝4 cm，點(diǎn)D從B點(diǎn)以每秒2 cm的速度向點(diǎn)A移動，點(diǎn)E從A點(diǎn)以每秒1 cm的速度向點(diǎn)C移動，若D、E同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止且停止時(shí)△ADE與△ABC相似，則經(jīng)過的時(shí)間是(　　) A.eq \f(28,15) s B.eq \f(7,3) s C.eq \f(28,15) s或eq \f(49,18) s D.eq \f(7,3) s或eq \f(49,18) s (第8題)　　　　 (第9題) 9．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，若AB＝4，BC＝2，則線段EF的長為(　　) A．2 eq \r(5) B. eq \r(5) C.eq \f(4,5) eq \r(5) D.eq \f(2,5) eq \r(5) 10．如圖①，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，則點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，三角形的布洛卡點(diǎn)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle，1780－1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡(Brocard，1845－1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名． 問題：如圖②，在等腰三角形DEF中，DF＝EF，F(xiàn)G是△DEF的中線，若點(diǎn)Q為△DEF的布洛卡點(diǎn)，F(xiàn)Q＝9，eq \f(FG,DE)＝eq \r(2)，則DQ＋EQ＝(　　) A．10 B.eq \f(9＋9\r(2),2) C．6＋6eq \r(3) D．7eq \r(2) 二、填空題(每題3分，共18分) 11．平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A(－1，2)先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的點(diǎn)A1的坐標(biāo)為________． 12．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC∽△DEF，需要添加的一個(gè)條件是____________．(寫出一種情況即可) 13．如圖，有一組平行橫格線，其相鄰橫格線間的距離都相等，已知點(diǎn)A、B、C、D、O都在橫格線上，且線段AD，BC交于點(diǎn)O，則AB:CD等于________． (第13題)　　　 (第14題)　　　 (第15題)　　　 (第16題) 14．如圖，點(diǎn)D，E是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，已知F，G，H分別是DE，BE，BC的中點(diǎn)，連結(jié)FH，F(xiàn)G，GH，若BD＝8，CE＝6，∠FGH＝90°，則FH＝________． 15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC和正方形ADEF的邊OA、AD均在x軸上，OA＝2，AD＝3，則正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐標(biāo)是________________________． 16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有________個(gè)． 三、解答題(17題6分，21題10分，22題12分，其余每題8分，共52分) 17．已知eq \f(a,b)＝eq \f(2,9)，求eq \f(2a－3b,a＋b)的值． 18.如圖，在△ABC中，BA＝BC，過C點(diǎn)作CE⊥BC交∠ABC的平分線BE于點(diǎn)E，連結(jié)AE，D是BE上的一點(diǎn)，且∠BAD＝∠CAE.求證：△ABD∽△ACE. 19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是O(0，0)，A(4，2)，B(2，4)，P(4，4)，以點(diǎn)P為位似中心，畫△DEF與△ABO位似，且相似比為1:2，請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出符合條件的△DEF. 20．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知折痕AE＝5 eq \r(5) cm，且eq \f(EC,FC)＝eq \f(3,4). (1)求證：△AFB∽△FEC； (2)求矩形ABCD的周長． 21．有一塊銳角三角形卡紙余料ABC，它的邊BC＝120 cm，高AD＝80 cm，為使卡紙余料得到充分利用，現(xiàn)把它裁剪成一個(gè)鄰邊之比為2:5的矩形紙片EFGH和正方形紙片PMNQ，裁剪時(shí)，矩形紙片的較長邊在BC上，正方形紙片一邊在矩形紙片的較長邊EH上，其余頂點(diǎn)分別在AB，AC上，具體裁剪方式如圖所示，AD交PQ于K，交EH于R. (1)求矩形紙片較長邊EH的長； (2)裁剪正方形紙片時(shí)，小聰同學(xué)是按以下方法進(jìn)行裁剪的：先沿著剩余料△AEH中與邊EH平行的中位線剪一刀，再沿過該中位線兩端點(diǎn)向邊EH所作的垂線剪兩刀，請你通過計(jì)算，判斷小聰?shù)募舴ㄊ欠裾_． 22．如圖，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點(diǎn)，eq \f(AD,AB)＝eq \f(A′D′,A′B′). (1)當(dāng)eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(AB,A′B′)時(shí)，求證△ABC∽△A′B′C′. 證明的途徑可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭瘢?　 (2)當(dāng)eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′)時(shí)，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由． 答案 一、1．A　2．D　3．B　4．B　5．D 6．C　點(diǎn)撥：∵AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，∴DG∥EH∥FI∥BC， ∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DG,BC)，即DG＝eq \f(1,4)BC； 同理可得EH＝eq \f(1,2)BC，F(xiàn)I＝eq \f(3,4)BC； ∴DG＋EH＋FI＝eq \f(1,4)BC＋eq \f(1,2)BC＋eq \f(3,4)BC＝eq \f(3,2)BC＝3a.故選C. 7．A 8．C　點(diǎn)撥：設(shè)經(jīng)過t s△ADE與△ABC相似． ∵點(diǎn)D從B點(diǎn)以每秒2 cm的速度向點(diǎn)A移動，點(diǎn)E從A點(diǎn)以每秒1 cm的速度向點(diǎn)C移動，D、E同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，∴BD＝2t cm，AE＝t cm. ∵AB＝7 cm，∴AD＝AB－BD＝(7－2t)cm. 分兩種情況： ①當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，即eq \f(7－2t,7)＝eq \f(t,4)，解得t＝eq \f(28,15)； ②當(dāng)△AED∽△ABC時(shí)，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AD,AC)，即eq \f(t,7)＝eq \f(7－2t,4)，解得t＝eq \f(49,18). 綜上所述，經(jīng)過eq \f(28,15) s或eq \f(49,18) s時(shí)，△ADE與△ABC相似．故選C. 9．B　點(diǎn)撥：設(shè)EF交AC于O， ∵將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∴AC⊥EF，AO＝CO. 在矩形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，∴∠FCO＝∠EAO. 又∵∠FOC＝∠EOA，∴△FOC≌△EOA，∴FO＝EO. 在Rt△ACD中，AC＝eq \r(22＋42)＝2 eq \r(5)， ∴CO＝eq \r(5).∵∠FOC＝∠D＝90°，∠FCO＝∠ACD， ∴△FOC∽△ADC， ∴eq \f(FO,AD)＝eq \f(CO,CD)，即eq \f(FO,2)＝eq \f(\r(5),4)， ∴FO＝eq \f(\r(5),2). ∴EF＝2FO＝2×eq \f(\r(5),2)＝eq \r(5).故選B. 10．A　點(diǎn)撥：∵DF＝EF，F(xiàn)G是△DEF的中線， ∴DG＝GE，F(xiàn)G⊥DE，∠FDE＝∠FED. ∵eq \f(FG,DE)＝eq \r(2)，∴設(shè)DE＝x，則FG＝eq \r(2)x，DG＝eq \f(1,2)x， ∴EF＝DF＝eq \r(FG2＋DG2)＝eq \r(2x2＋\f(1,4)x2)＝eq \f(3,2)x. ∵點(diǎn)Q為△DEF的布洛卡點(diǎn)， ∴∠QDF＝∠QED＝∠QFE，且∠FDE＝∠FED， ∴∠QDE＝∠QEF，∴△DQE∽△EQF， ∴eq \f(DQ,QE)＝eq \f(QE,QF)＝eq \f(DE,EF)＝eq \f(2,3)，∴QE＝6，DQ＝4， ∴DQ＋EQ＝10.故選A. 二、11．(－3，3) 12．∠A＝∠D(答案不唯一) 13．2:3 14．5　點(diǎn)撥：∵F，G分別是DE，BE的中點(diǎn)，∴FG＝eq \f(1,2)BD＝4. ∵G，H分別是BE，BC的中點(diǎn)， ∴GH＝eq \f(1,2)CE＝3， 由勾股定理，得FH＝eq \r(FG2＋GH2)＝eq \r(42＋32)＝5. 15．(－4，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(6,5)))　點(diǎn)撥：如圖，連結(jié)FC并延長交x軸于點(diǎn)M，由題意可得△MOC∽△MAF，則eq \f(CO,AF)＝eq \f(MO,MA)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(MO,MO＋2)＝eq \f(2,3)，解得MO＝4，故M點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4，0)．連結(jié)OE交AB于點(diǎn)N，易得△OAN∽△EFN，則eq \f(OA,EF)＝eq \f(AN,FN)＝eq \f(2,3)，解得AN＝eq \f(6,5)，故N點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(6,5))). 綜上所述，正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐標(biāo)是(－4，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(6,5))). 16．3　點(diǎn)撥：設(shè)AP的長為x，則BP的長為8－x.若AB邊上存在點(diǎn)P，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：①若△PAD∽△PBC，則AP:BP＝AD:BC，即x:(8－x)＝3:4，解得x＝eq \f(24,7)，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝eq \f(24,7)是原方程的解；②若△PAD∽△CBP，則AP:BC＝AD:BP，即x:4＝3:(8－x)，解得x＝2或x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2和x＝6都是原方程的解．故滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)． 三、17．解：∵eq \f(a,b)＝eq \f(2,9)，∴設(shè)eq \f(a,2)＝eq \f(b,9)＝k，∴a＝2k，b＝9k， ∴eq \f(2a－3b,a＋b)＝eq \f(4k－27k,2k＋9k)＝eq \f(－23k,11k)＝－eq \f(23,11). 18．證明：∵BA＝BC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC， ∴∠CBE＋∠ACB＝90°. 又∵CE⊥BC， ∴∠ACE＋∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝∠ACE， ∴∠ABE＝∠ACE. ∵∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE. 19．解：如圖． 20．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝∠AFE＝90°， ∴∠CFE＋∠BFA＝90°， ∠BFA＋∠BAF＝90°， ∴∠BAF＝∠CFE，∴△AFB∽△FEC. (2)解：∵eq \f(EC,FC)＝eq \f(3,4)， ∴設(shè)EC＝3t cm，F(xiàn)C＝4t cm， 則EF＝DE＝5t cm， ∴AB＝CD＝8t cm. 又由(1)可得△AFB∽△FEC， ∴eq \f(AB,FC)＝eq \f(BF,CE)，即eq \f(8t,4t)＝eq \f(BF,3t)， ∴BF＝6t cm， ∴AF＝10t cm. 在Rt△AEF中，由勾股定理得(10t)2＋(5t)2＝(5 eq \r(5))2， ∴t＝1(負(fù)值已舍去)， ∴矩形ABCD的周長＝2(AB＋BF＋FC)＝2(8t＋6t＋4t)＝2×18＝36(cm)． 21．解：(1)設(shè)EF＝2x cm，EH＝5x cm. ∵四邊形EFGH是矩形， ∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC， ∴eq \f(EH,BC)＝eq \f(AR,AD)，即eq \f(5x,120)＝eq \f(80－2x,80)， 解得x＝15， ∴EH＝15×5＝75(cm)，∴矩形紙片較長邊EH的長為75 cm. (2)小聰?shù)募舴ú徽_． 理由如下：設(shè)正方形的邊長為a cm， AR＝AD－RD＝80－2×15＝50(cm)，AK＝(50－a)cm， 由題意，知△APQ∽△AEH，∴eq \f(PQ,EH)＝eq \f(AK,AR)，即eq \f(a,75)＝eq \f(50－a,50)，解得a＝30， 與邊EH平行的中位線＝eq \f(1,2)×75＝37.5(cm)． ∵37.5≠30，∴小聰?shù)募舴ú徽_． 22．解：(1)eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(AD,A′D′)； ∠A＝∠A′ (2)△ABC∽△A′B′C′.理由如下：如圖，過點(diǎn)D，D′分別作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于點(diǎn)E，D′E′交A′C′于點(diǎn)E′. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AC). 同理，eq \f(A′D′,A′B′)＝eq \f(D′E′,B′C′)＝eq \f(A′E′,A′C′). ∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(A′D′,A′B′)，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(D′E′,B′C′). ∴eq \f(DE,D′E′)＝eq \f(BC,B′C′).同理，eq \f(AE,AC)＝eq \f(A′E′,A′C′). ∴eq \f(AC－AE,AC)＝eq \f(A′C′－A′E′,A′C′)， 即eq \f(EC,AC)＝eq \f(E′C′,A′C′).∴eq \f(EC,E′C′)＝eq \f(AC,A′C′). ∵eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′)， ∴eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(DE,D′E′)＝eq \f(EC,E′C′). ∴△DCE∽△D′C′E′. ∴∠CED＝∠C′E′D′. ∵DE∥BC， ∴∠CED＋∠ACB＝180°， 同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°. ∴∠ACB＝∠A′C′B′. ∵eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(CB,C′B′)，∴△ABC∽△A′B′C′.

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