2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專題27幾何探究以二次函數(shù)性質(zhì)為背景
（動(dòng)點(diǎn)、平移、旋轉(zhuǎn)、折疊）
1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：
(1)若關(guān)于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；
(2)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r，s，點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．
①求函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸；
②函數(shù)的圖像是否經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖像頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，點(diǎn)B，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)C，D，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)k的值為，m的值為3，n的值為2
(2)①函數(shù)y2的圖像的對(duì)稱軸為；②函數(shù)的圖像過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，，理由見(jiàn)解析
(3)能構(gòu)成正方形，此時(shí)
【分析】（1）根據(jù)題意得到即可解答；
（2）①求出的對(duì)稱軸，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；
（3）由題意可知，得到A、B的坐標(biāo)，表示出，根據(jù)且，得到，分和兩種情況求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可知：，
∴．
答：k的值為，m的值為3，n的值為2．
（2）解：①∵點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，
∴對(duì)稱軸為，
∴，
∴，
∴對(duì)稱軸為．
答：函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為．
②，令，解得，
∴過(guò)定點(diǎn)，．
答：函數(shù)y2的圖像過(guò)定點(diǎn)，．
（3）解：由題意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，則，
要使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，
則為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴；

②若，則A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，
綜上，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想解決問(wèn)題．
2．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)分別在線段上，連接與交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．
①的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)線段的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對(duì)稱軸上時(shí)，的面積為 ．
【答案】(1)，；
(2)①的大小不變，理由見(jiàn)解析；②線段的長(zhǎng)度存在最大值為；
(3)
【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標(biāo)，把化為頂點(diǎn)式即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①在上取點(diǎn)，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結(jié)論；②由，得當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)最大，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大，進(jìn)而解直角三角形即可求解；
（3）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證四邊形是菱形，得，進(jìn)而證明得，再證，得即，結(jié)合三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴頂點(diǎn)為，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不變，理由如下：
在上取點(diǎn)，使得，連接，

∵，
∴拋物線對(duì)稱軸為，即，
∵將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等邊三角形，，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等邊三角形，
∴，即的大小不變；
②，∵，
∴當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)最大，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大，
∵是等邊三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即線段的長(zhǎng)度存在最大值為；
（3）解：設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，
∴四邊形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中點(diǎn)為點(diǎn)，是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，題目綜合性較強(qiáng)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．
【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，．求證：．
【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點(diǎn)P在邊上，則的最小值為_(kāi)______．

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見(jiàn)解析
拓展提升：證明見(jiàn)解析
嘗試應(yīng)用：
【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作于點(diǎn)E，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則，證明，，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；
拓展提升：延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，證明四邊形是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，，則，得到，即可得到結(jié)論；
嘗試應(yīng)用：由四邊形是矩形，，得到，，設(shè)，，由勾股定理得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：
作于點(diǎn)E，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則，

∵四邊形為平行四邊形，若，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
；
拓展提升：延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，

∵為的一條中線，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵．
∴由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，，
∴，
∴，
∴；
嘗試應(yīng)用：∵四邊形是矩形，，
∴，，
設(shè)，則，
∴
，
∵，
∴拋物線開(kāi)口向上，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值是
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度沿邊向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以的速度沿折線向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交折線于點(diǎn)，連接，，，，得到四邊形．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）（），四邊形的面積為（）

(1)的長(zhǎng)為_(kāi)_________，的長(zhǎng)為_(kāi)________．（用含x的代數(shù)式表示）
(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．
(3)當(dāng)四邊形是軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)正方形中心對(duì)稱的性質(zhì)得出，可得四邊形是平行四邊形，證明即可；
（2）分，兩種情況分別畫(huà)出圖形，根據(jù)正方形的面積，以及平行四邊形的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)（2）的圖形，分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵點(diǎn)是正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴，則四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴
故答案為：；．
（2）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，

由（1）可得，
同理可得，
∵，，
則
；
當(dāng)時(shí)，如圖所示，

則，，
，
∴；
綜上所述，；
（3）依題意，①如圖，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，此時(shí)，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
解得：，

當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，則，
∴，
解得：（舍去）；
②如圖所示，當(dāng)時(shí)，四邊形是軸對(duì)稱圖形，

，解得，
當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，則，即，解得：（舍去），
綜上所述，當(dāng)四邊形是軸對(duì)稱圖形時(shí)，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)____，______；
(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的邊上的動(dòng)點(diǎn)，，記的最小值為m．
①求m的值；
②設(shè)的面積為S，若，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．
【答案】(1)，2，，
(2)
(3)，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求得、，從而可得，，由，可得，求得，在中，根據(jù)正切的定義求值即可；
（2）過(guò)點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)E， 由，即，再由，可得，證明，可得，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，可得，再進(jìn)行求解即可；
（3）①作，且使，連接．根據(jù)證明，可得，即Q，F(xiàn)，H共線時(shí)，的值最?。饔邳c(diǎn)G，設(shè)，則，根據(jù)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作軸，交于點(diǎn)T，求出解析式，設(shè)，，利用三角形面積公式表示出S，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍，結(jié)合①中結(jié)論即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
∴，解得：，
∴拋物線解析式為：，
∵拋物線與x軸交于A、兩點(diǎn)，
∴時(shí)，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案為：，2，，；
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作軸，交y軸于點(diǎn)E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵軸，軸，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，，
∴，解得：（舍），，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為．

（3）解：①如圖2，作，且使，連接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F(xiàn)，H共線時(shí)，的值最?。饔邳c(diǎn)G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如圖3，作軸，交于點(diǎn)T，待定系數(shù)法可求解析式為，
設(shè)，，
則，
∴，
∴，
∴，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、銳角三角函數(shù)、最值問(wèn)題、二次函數(shù)最值、用分割法求三角形面積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知．點(diǎn)E位于第二象限且在直線上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；
(2)求證：；
(3)直線EA交x軸于點(diǎn)．將經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線向左平移2個(gè)單位，得到拋物線．
①若直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，求t的值；
②若拋物線的頂點(diǎn)P在直線上，求t的值；
③將拋物線再向下平移，個(gè)單位，得到拋物線．若點(diǎn)D在拋物線上，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)詳見(jiàn)解析
(3)①；②；③
【分析】（1）由得到，又由，即可得到結(jié)論；
（2）由，得到，又有，，利用即可證明；
（3）①求出直線的解析式和拋物線的解析式，聯(lián)立得，由即可得到t的值；
②拋物線向左平移2個(gè)單位得到拋物線，則拋物線的頂點(diǎn)，將頂點(diǎn)代入得到，解得,根據(jù)即可得到t的值；
③過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為N，先證明，則，設(shè),由得到,則,求得,得到，由拋物線再向下平移個(gè)單位，得到拋物線,把代入拋物線,得到,解得,由，得,即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形
（2）如圖，

∵，，
，
，
∵，
；
（3）①設(shè)直線的解析式為，
，
∴，
，
將代入拋物線得，
，
解得，
，
直線與拋物線有唯一交點(diǎn)
∴聯(lián)立解析式組成方程組解得
②∵拋物線向左平移2個(gè)單位得到，
∴拋物線，
拋物線的頂點(diǎn)，
將頂點(diǎn)代入，
，解得,
∵，
；
③過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為N,

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的解析式為，
∴設(shè),
∴，
軸,
∴,
∴，
,
,
,
∴，，
,
拋物線再向下平移個(gè)單位，得到拋物線，
∴拋物線,
代入拋物線,
,
解得,
由，得,
∴，
．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)和幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握二次函數(shù)的平移和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，，，垂足分別為，，，．求證：；
【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點(diǎn)．
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求直線的解析式；
【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，，連接．拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）①；②直線的解析式為；（3）或
【分析】[建立模型]（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；
[類比遷移] （2）①過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同（1）的方法，證明，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，求得，，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
②由，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得直線的解析式為；
[拓展延伸]（3）根據(jù)解析式求得，；①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，證明，根據(jù)得出，設(shè)，則，求得點(diǎn)，進(jìn)而求得直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，同①的方法即可求解．
【詳解】[建立模型]（1）證明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[類比遷移]（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，設(shè)直線的解析式為，
將代入得：
解得：
∴直線的解析式為，
（3）∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴，；
①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），；
②當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

同理可得，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），，
綜上所述，的橫坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，將直線沿直線翻折，交x軸于點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形．
①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為時(shí)，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①，，；②
【分析】（1）先求出，再求出拋物線對(duì)稱軸，根據(jù)題意可知C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)此求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；
（2）先求出，如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，利用勾股定理建立方程組，解得或（舍去），則，求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，解得或，則；
（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標(biāo)之差結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
∵過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D，
∴C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，
當(dāng)，即，解得或，
∴；
如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或
∴；

（3）解：①當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，，
∴，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線恰好經(jīng)過(guò)；
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，
由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過(guò)，
∴點(diǎn)時(shí)拋物線與正方形的一個(gè)交點(diǎn)，
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，
∴拋物線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
綜上所述，正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

②如圖3-1所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、D，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如圖3-2所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴，
解得（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)D下方）

如圖3-3所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，
∴不符合題意；

綜上所述，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得直線的解析式為，設(shè)，則，利用對(duì)稱性質(zhì)求得，推出，，利用矩形周長(zhǎng)公式列一元二次方程計(jì)算即可求解；
（3）先求得直線的解析式為，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設(shè)，則，由點(diǎn)M在直線上，列式計(jì)算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵點(diǎn)和，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，且，則，
∴，
∵解析式的對(duì)稱軸為，
∴，
∴，
依題意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，則，
解得或，
∴，
同理，直線的解析式為，
∵四邊形是正方形，
∴，，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，
∴，
∴，，
設(shè)，
∴，，
則，
∵點(diǎn)M在直線上，
∴，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，，
即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形是正方形，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，，
點(diǎn)O向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，
則點(diǎn)E向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)N，
∴，即．
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．
10.（四川省資陽(yáng)市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法即可得；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線的解析式求解即可得；
（3）先根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短求解即可得．
【詳解】
解：（1）由題意，將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為；
（2）對(duì)于二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，解得或，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，解得，
，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，解得，
，
則平移后的二次函數(shù)的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
，
軸，
，
，
由兩點(diǎn)之間線段最短得：的最小值為，
由垂線段最短得：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
即，解得，
則，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確求出平移后的拋物線的解析式是解題關(guān)鍵．
11.（2021·山西中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，．
（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線，的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交線段于點(diǎn)．
①試探究：在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）①存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②．
【分析】
（1）分別令和時(shí)即可求解，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行求解直線，的函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由題意易得，，，當(dāng)時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可根據(jù)菱形的性質(zhì)分當(dāng)時(shí)，是菱形，當(dāng)時(shí)，是菱形，然后分別求解即可；②由題意可作圖，則由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，由（1）可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得，設(shè)點(diǎn)，然后可求得直線l的解析式為，則可求得點(diǎn)，所以就有，最后根據(jù)面積公式及兩點(diǎn)距離公式可進(jìn)行求解．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，，
∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得：，
解得：，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：．
同理可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）①存在．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，
∵點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
∴，，，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
當(dāng)時(shí)，是菱形，如圖所示：
∴，
解得，（舍去），
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，是菱形，如圖所示：
∴，
解，得，（舍去），
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述，存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，且點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②由題意可得如圖所示：
由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，由（1）可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)，，
∴，
設(shè)點(diǎn)，
∵，
∴設(shè)直線l的解析式為，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
∴直線l的解析式為，
∴聯(lián)立直線l與直線AC的解析式得：，
解得：，
∴，
∴點(diǎn)，
∵點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，
∴點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方才有可能，
∴，
∴，
解得：（不符合題意，舍去），
∴，
∴由兩點(diǎn)距離公式可得．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12.（2021·湖南中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”．例如……都是“雁點(diǎn)”．
（1）求函數(shù)圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；
（2）若拋物線上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)時(shí)．
①求c的取值范圍；
②求的度數(shù)；
（3）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物線上一點(diǎn)，連接，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為或或
【分析】
（1）根據(jù)“雁點(diǎn)”的定義可得y=x，再聯(lián)立求出 “雁點(diǎn)”坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)和y=x可得，再利用根的判別式得到，再求出a的取值范圍；將點(diǎn)c代入解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，令y=0，求出M的坐標(biāo)，過(guò)E點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為H點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)EH=MH得出為等腰直角三角形，∠EMN的度數(shù)即可求解；
（3）存在，根據(jù)圖1，圖2，圖3進(jìn)行分類討論，設(shè)C（m，m），P（x，y），根據(jù)三角形全等得出邊相等的關(guān)系，再逐步求解，代入解析式得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）聯(lián)立，
解得或
即：函數(shù)上的雁點(diǎn)坐標(biāo)為和．
（2）① 聯(lián)立
得
∵ 這樣的雁點(diǎn)E只有一個(gè)，即該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴
∵
∵
∴
② 將代入，得
解得，∴
對(duì)于，令
有
解得
∴
過(guò)E點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為H點(diǎn)，
EH=，MH=
∴
∴ 為等腰直角三角形，
（3）存在，理由如下：
如圖所示：過(guò)P作直線l垂直于x軸于點(diǎn)k，過(guò)C作CH⊥PK于點(diǎn)H
設(shè)C（m，m），P（x，y）
∵ △CPB為等腰三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，
∴∠KPB=∠HCP，
∵∠H=∠PKB=90°，
∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，
即
∴
當(dāng)時(shí)，
∴
如圖2所示，同理可得：△KCP≌△JPB
∴ KP=JB，KC=JP
設(shè)P（x，y），C（m，m）
∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即
解得
令
解得
∴或
如圖3所示，
∵△RCP≌△TPB
∴RC=TP，RP=TB
設(shè)P（x，y），C（m，m）
即
解得
令
解得
∴ 此時(shí)P與第②種情況重合
綜上所述，符合題意P的坐標(biāo)為或或
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圖形與坐標(biāo)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，理解題意和正確作圖逐步求解是解題的關(guān)鍵．
13.（2021·湖北中考真題）如圖1，已知，中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度在線段上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，分別與射線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與的重疊部分面積為，y與x的函數(shù)關(guān)系由和兩段不同的圖象組成．
（1）填空：①當(dāng)時(shí)，______；
②______；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．
【答案】（1）①10；②；（2）；（3）．
【分析】
（1）①先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)時(shí)，即可得；
②先根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間求出的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可得；
（2）先求出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值，再分和兩種情況，解直角三角形求出的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式即可得；
（3）分和兩種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得．
【詳解】
解：（1）①，
是等腰直角三角形，
，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，，
解得或（不符題意，舍去），
故答案為：10；
②由題意得：當(dāng)時(shí)，，
則，
故答案為：；
（2）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖所示：
，
，
，
在中，，
，
則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，，
則；
②當(dāng)時(shí)，
如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
則，
，
，
綜上，；
（3）①當(dāng)時(shí)，，
令，解得或（舍去），
在內(nèi)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，，
此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為36，
即在內(nèi)，都有，
綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），正確分兩種情況討論，并通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．
14.（2021·湖南中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；
（3）判斷的形狀，試說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且的半徑為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（4）
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；
（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)求出AB解析式即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知為等腰三角形，再根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，求出三條線段的長(zhǎng)，利用勾股定理驗(yàn)證即可；
（4）根據(jù)題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，在上取點(diǎn)，使，可證明，根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得，即，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)一步計(jì)算即可．
【詳解】
解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)
∴，二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：
將，代入得：
解這個(gè)方程組得
∵二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為
（2）∵點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，
∴，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有：
解之得：
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為
（3）是等腰直角三角形，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易知其坐標(biāo)為
∵的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，
∴，
且滿足
∴是等腰直角三角形
（4）如圖，以為圓心，為半徑作圓，則點(diǎn)在圓周上，依題意知：
動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
在上取點(diǎn)，使，
連接，則在和中，
滿足：，，
∴，
∴，
從而得：
∴
顯然當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由于，
且為等腰直角三角形，
則有，，
∴動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為：
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值轉(zhuǎn)換為線段長(zhǎng)度的最小值是解題的關(guān)鍵．

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