題型一：方案選擇問題
【中考母題學方法】
【典例1】（電話計費）（2023·四川·中考真題）某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．
(1)設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫時間為tmin，根據(jù)上表，分別寫出在不同時間范圍內(nèi)，方式A，方式B的計費金額關(guān)于t的函數(shù)解析式；
(2)若你預計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；
(3)請你根據(jù)月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．
【變式1-1】（租車問題）（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發(fā)展，計劃組織八年級學生到“開心”農(nóng)場開展勞動實踐活動．到達農(nóng)場后分組進行勞動，若每位老師帶38名學生，則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生．勞動實踐結(jié)束后，學校在租車總費用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示
(1)參加本次實踐活動的老師和學生各有多少名？
(2)租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；
(3)學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？
【變式1-2】（購買方案）（2024·河南周口·三模）某家用電器廠生產(chǎn)一種電飯煲和一種電熱水壺，電飯煲每個定價200元，電熱水壺每個定價60元．廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供以下兩種優(yōu)惠方案：
方案一：每買一個電飯煲就贈送一個電熱水壺；
方案二：電飯煲和電熱水壺都按定價的付款．
某廚具店計劃購進80個電飯煲和x個電熱水壺．設(shè)選擇方案一需付款元，選擇方案二需付款元．
(1)分別寫出，關(guān)于x的函數(shù)表達式．
(2)當時．
①請通過計算說明該廚具店選擇上面哪種方案更省錢．
②若兩種優(yōu)惠方案可以同時使用（使用方案一優(yōu)惠過的商品不能再使用方案二優(yōu)惠，使用方案二優(yōu)惠過的商品不能再使用方案一優(yōu)惠），請你設(shè)計出更省錢的購買方案，并計算出該方案所需費用．
【中考模擬即學即練】
1．（2024·河南周口·三模）春和景明，草長鶯飛的四月和五月，全家最適合周末去附近的公園里踏青或爬山，并且進行野餐，某便民商店計劃在春天踏春之際購進，兩種不同型號的野餐墊共個，已知購進型號的野餐墊個和型號的野餐墊個需要元，購進型號的野餐墊個和型號的野餐墊個需要元．
(1)求該商店購進每個型號和型號的野餐墊的價格；
(2)該商店在調(diào)查后根據(jù)實際需求，現(xiàn)在決定購進型號的野餐墊不超過型號野餐墊數(shù)量的，為使購進野餐墊的總費用最低，應(yīng)購進型號野餐墊和型號的野餐墊各多少個?購進野餐墊的總費用最低為多少元?
2．（2024·山西忻州·三模）“傳承紅色基因，賡續(xù)紅色血脈”．某中學八年級510名師生一起乘坐客車去參觀八路軍太行紀念館，下面是王老師和小強、小國同學有關(guān)租車問題的對話．
根據(jù)以上對話，解答下列問題：
(1)分別求每輛A型客車和B型客車坐滿后的載客人數(shù)；
(2)因司機緊缺，客運公司只能給八年級師生安排10輛客車，要使八年級每位師生都有座位，八年級應(yīng)租用A，B兩種客車各多少輛才能使租金最少？
3．（2024·山東青島·模擬預測）自 2022年新課程標準頒布以來，某校高度重視新課標的學習和落實，開展了信息技術(shù)與教學深度融合的“精準化教學”．該校計劃購買 A，B兩種型號的教學設(shè)備，已知A型設(shè)備價格比 B型設(shè)備價格每臺高，用20000元購買B型設(shè)備的數(shù)量比用33000元購買A型設(shè)備的數(shù)量少5 臺．
(1)求 A，B型設(shè)備每臺的價格分別是多少元．
(2)該校計劃購買兩種設(shè)備共60臺，要求A型設(shè)備的數(shù)量不少于B型設(shè)備數(shù)量的 ．設(shè)購買a臺A型設(shè)備，購買總費用為元，求關(guān)于a的函數(shù)表達式，并設(shè)計出購買總費用最低的購買方案．
4．（2024·湖南長沙·模擬預測）為響應(yīng)國家關(guān)于推動各級各類生產(chǎn)設(shè)備、服務(wù)設(shè)備更新和技術(shù)改造的號召，某公司計劃將辦公電腦全部更新為國產(chǎn)某品牌，市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，品牌的電腦單價比品牌電腦的單價少1000元，通過預算得知，用萬元購買品牌電腦比購買品牌電腦多10臺．
(1)試求，兩種品牌電腦的單價分別是多少元；
(2)該公司計劃購買，兩種品牌的電腦一共40臺，且購買品牌電腦的數(shù)量不少于品牌電腦的，試求出該公司費用最少的購買方案．
題型二：費用最少、利潤最大問題
【中考母題學方法】
【典例2】（一次函數(shù)與二元一次方程組結(jié)合）（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地購進甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進價和售價如表所示：
該超市購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元．
(1)求的值；
(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共150千克進行銷售，其中甲種水果的數(shù)量不少于50千克，且不大于120千克．實際銷售時，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價5元銷售．求超市當天銷售完這兩種水果獲得的利潤（元）與購進甲種水果的數(shù)量（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍），并求出在獲得最大利潤時，超市的進貨方案以及最大利潤．
【變式2-1】（一次函數(shù)與二元一次方程組、不等式綜合）（2024·四川達州·中考真題）為拓寬銷售渠道，助力鄉(xiāng)村振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶將、兩個品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件品種柑橘禮盒比品種柑橘禮盒的售價少元．且出售件品種柑橘禮盒和件品種柑橘禮盒的總價共元．
(1)求、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為多少元？
(2)已知加工、兩種柑橘禮盒每件的成本分別為50元、元、該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃在某農(nóng)產(chǎn)品展銷活動中售出、兩種柑橘禮盒共1000盒，且品種柑橘禮盒售出的數(shù)量不超過品種柑橘禮盒數(shù)量的倍．總成本不超過元．要使農(nóng)戶收益最大，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)怎樣安排、兩種柑橘禮盒的銷售方案，并求出農(nóng)戶在這次農(nóng)產(chǎn)品展銷活動中的最大收益為多少元？
【變式2-2】（一次函數(shù)與分式方程結(jié)合）（2024·四川眉山·中考真題）眉山是“三蘇”故里，文化底蘊深厚．近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，促進了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用元購進的款文創(chuàng)產(chǎn)品和用元購進的款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同．每件款文創(chuàng)產(chǎn)品進價比款文創(chuàng)產(chǎn)品進價多元．
(1)求，兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價各是多少元？
(2)已知，文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為元，款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為元，根據(jù)市場需求，商店計劃再用不超過元的總費用購進這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共件進行銷售，問：怎樣進貨才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？
【變式2-3】（一次函數(shù)與分式方程、不等式結(jié)合）（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）一段高速公路需要修復，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．
(1)求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；
(2)為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？
【中考模擬即學即練】
1．（2024·四川德陽·中考真題）羅江糯米咸鵝蛋是德陽市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，至今有200多年歷史，采用羅江當?shù)亓窒吗B(yǎng)殖的鵝產(chǎn)的散養(yǎng)鵝蛋，經(jīng)過傳統(tǒng)秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．為了迎接端午節(jié)，進一步提升糯米咸鵝蛋的銷量，德陽某超市將購進的糯米咸鵝蛋和肉粽進行組合銷售，有A、B兩種組合方式，其中A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個肉粽．A、B兩種組合的進價和售價如下表：
(1)求每枚糯米咸鵝蛋和每個肉粽的進價分別為多少？
(2)根據(jù)市場需求，超市準備的B種組合數(shù)量是A種組合數(shù)量的3倍少5件，且兩種組合的總件數(shù)不超過95件，假設(shè)準備的兩種組合全部售出，為使利潤最大，該超市應(yīng)準備多少件A種組合？最大利潤為多少？
2．（2024·四川廣安·中考真題）某小區(qū)物管中心計劃采購，兩種花卉用于美化環(huán)境．已知購買2株種花卉和3株種花卉共需要21元；購買4株種花卉和5株種花卉共需要37元．
(1)求，兩種花卉的單價．
(2)該物管中心計劃采購，兩種花卉共計10000株，其中采購種花卉的株數(shù)不超過種花卉株數(shù)的4倍，當，兩種花卉分別采購多少株時，總費用最少？并求出最少總費用．
3．（2024·云南·中考真題）、兩種型號的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜歡．
某超市銷售、兩種型號的吉祥物，有關(guān)信息見下表：
若顧客在該超市購買8個種型號吉祥物和7個種型號吉祥物，則一共需要670元；購買4個種型號吉祥物和5個種型號吉祥物，則一共需要410元．
(1)求、的值；
(2)若某公司計劃從該超市購買、兩種型號的吉祥物共90個，且購買種型號吉祥物的數(shù)量（單位：個）不少于種型號吉祥物數(shù)量的，又不超過種型號吉祥物數(shù)量的2倍．設(shè)該超市銷售這90個吉祥物獲得的總利潤為元，求的最大值．
注：該超市銷售每個吉祥物獲得的利潤等于每個吉祥物的銷售價格與每個吉祥物的成本的差．
4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）為了響應(yīng)國家提倡的“節(jié)能環(huán)?！碧栒?，某共享電動車公司準備投入資金購買、兩種電動車．若購買種電動車輛、種電動車輛，需投入資金萬元；若購買種電動車輛、種電動車輛，需投入資金萬元．已知這兩種電動車的單價不變．
(1)求、兩種電動車的單價分別是多少元？
(2)為適應(yīng)共享電動車出行市場需求，該公司計劃購買、兩種電動車輛，其中種電動車的數(shù)量不多于種電動車數(shù)量的一半．當購買種電動車多少輛時，所需的總費用最少，最少費用是多少元？
(3)該公司將購買的、兩種電動車投放到出行市場后，發(fā)現(xiàn)消費者支付費用元與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系如圖．其中種電動車支付費用對應(yīng)的函數(shù)為；種電動車支付費用是之內(nèi)，起步價元，對應(yīng)的函數(shù)為．請根據(jù)函數(shù)圖象信息解決下列問題．

①小劉每天早上需要騎行種電動車或種電動車去公司上班．已知兩種電動車的平均行駛速度均為3（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計），小劉家到公司的距離為，那么小劉選擇______種電動車更省錢（填寫或）．
②直接寫出兩種電動車支付費用相差元時，的值______．
5．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）為了增強學生的體質(zhì)，某學校倡導學生在大課間開展踢毽子活動，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元．
(1)購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？
(2)若購買甲乙兩種品牌毽子共花費1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？
(3)若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，學校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？
6．（2024·四川廣元·中考真題）近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，大放異彩．某服裝店直接從工廠購進長、短兩款傳統(tǒng)服飾進行銷售，進貨價和銷售價如下表：
(1)該服裝店第一次用4300元購進長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進的件數(shù)；
(2)第一次購進的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進長、短兩款服裝共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于16800元．服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
7．（2024·江蘇宿遷·中考真題）某商店購進A、B兩種紀念品，已知紀念品A的單價比紀念品B的單價高10元．用600元購進紀念品A的數(shù)量和用400元購進紀念品B的數(shù)量相同．
(1)求紀念品A、B的單價分別是多少元？
(2)商店計劃購買紀念品A、B共400件，且紀念品A的數(shù)量不少于紀念品B數(shù)量的2倍，若總費用不超過11000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？
8．（2024·江蘇南通·中考真題）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．
相關(guān)信息如下：
信息一
信息二
(1)求A、B兩種型號智能機器人的單價；
(2)現(xiàn)該企業(yè)準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多?
題型三：反比例函數(shù)面積問題
【中考母題學方法】
【典例3】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點A在雙曲線上，連接AO并延長，交雙曲線于點B，點C為x軸上一點，且，連接，若的面積是6，則k的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式3-1】（2024·廣西賀州·三模）如圖，在直角坐標系中，與x軸相切于點B，為的直徑，點C在函數(shù)的圖象上，D為y軸上一點，則的面積為 ．

【變式3-2】（2024·山東濱州·模擬預測）如圖，垂直于x軸的直線l分別交反比例函數(shù)的圖象、的圖象于點A、B，若的面積為5，則 ．

【變式3-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數(shù)的值為 ．
【變式3-4】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，過點作軸交軸于點，點為線段上的一點，且．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點交線段于點，則四邊形的面積是 ．
【變式3-5】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應(yīng)點為），交函數(shù)的圖象于點，過點作軸于點，則下列結(jié)論：
①；
②的面積等于四邊形的面積；
③的最小值是；
④．
其中正確的結(jié)論有 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
【中考模擬即學即練】
1．（2024·安徽安慶·三模）已知反比例與的圖像如圖所示，為x軸正半軸上一動點，過點作軸，分別交反比例函數(shù)與的圖像于點，，點，（點在點的上方）在軸上，且，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在直角坐標系中，與x軸相切于點B，為的直徑，點C在函數(shù)的圖象上，D為y軸上一點，若的面積為1，則 ．
3．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，反比例函數(shù)在第三象限的圖象是，在第四象限的圖象是，點A、C在上，過A點作軸交于B點，過C點作軸于D點，點P為x軸上任意一點，連接，若，則 ．
4．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，過原點的線段的兩端點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為．若的面積為1，則的值為 ．
5.（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，點，分別在函數(shù)圖像的兩支上（在第一象限），連結(jié)交軸于點．點，在函數(shù)圖像上，軸，軸，連結(jié)，．若，的面積為12，四邊形的面積為15，則的值為 ．
6.（2024·安徽合肥·三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，將直角向右平移到位置，A的對應(yīng)點是C，O的對應(yīng)點是E，函數(shù)的圖象經(jīng)過與的交點，連接并延長交軸于點，若的面積為3，則的值是 ．
7．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊分別在軸、軸上，點的坐標為，雙曲線分別與邊交于點，則陰影部分的面積是 ．
8．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，等邊和菱形的邊、都在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C．已知的面積為，則k的值為 ．
9．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，的邊軸，邊軸，且點在反比例函數(shù)（k為大于0的常數(shù)，）的圖象上．若的面積是2，則k的值是 ．
10．（2024·湖南婁底·模擬預測）如圖，點C、E在坐標軸上，矩形分別交某反比例函數(shù)于點F、G，，，的面積為9，則該反比例函數(shù)解析式為 ．
11．（2024·福建莆田·模擬預測）如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)和的圖象在第一象限內(nèi)分別交于點A，B．過點A作軸于點C，過點B作，交的延長線于點D．若的面積為，則 ．
12．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，平行四邊形中，，，它的邊在軸的負半軸上，對角線在軸的正半軸上．反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點．

(1)求反比例函數(shù)的表達式；
(2)過點的直線與反比例函數(shù)在第三象限的圖像相交于點，連接BD，直接寫出面積的取值范圍．
13．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，已知點A在正比例函數(shù)的圖象上，過點A作軸于點B，以為邊作正方形，點D在反比例函數(shù)的圖象上．
(1)當點A的橫坐標為2時，求反比例函數(shù)的表達式；
(2)若正方形的面積為m，試用含m的代數(shù)式表示k的值．
題型四：特殊三角形存在性問題
【中考母題學方法】
【典例4】（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，一次函數(shù)的圖象過點A與反比例函數(shù)交于另一點．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；當時，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；
(2)在y軸上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式4-1】（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點B，C在x軸上，D在y軸上，，的長是方程的兩個根（）．請解答下列問題：
(1)求點B的坐標；
(2)若，直線分別交x軸、y軸、于點E，F(xiàn)，M，且M是的中點，直線交延長線于點N，求的值；
(3)在（2）的條件下，點P在y軸上，在直線EF上是否存在點Q，使是腰長為5的等腰三角形？若存在，請直接寫出等腰三角形的個數(shù)和其中兩個點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式4-2】（2024·浙江·模擬預測）如圖，直線與軸相交于點，與軸相交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點．過點作軸的垂線，垂足為，連接、，并延長，與直線相交于點．在第一象限找點，使以為頂點的四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)，經(jīng)過點．
(1)求的面積．
(2)在反比例函數(shù)的圖象上找點，使是直角三角形，求出符合要求的點的坐標．
(3)如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一點，軸于點，軸于點，分別交反比例函數(shù)的圖象于兩點，求的面積．
【中考模擬即學即練】
1．（2024·吉林松原·模擬預測）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，其中點A的坐標為
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)若點P在x軸上，且是直角三角形，求點P的坐標．
2．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），已知點A的縱坐標是1．
(1)求反比例函數(shù)的表達式；
(2)如圖，將直線向上平移2個單位長度后得到新的直線，點M在直線上，設(shè)點M的橫坐標為．連接，．
①求的面積；
②當是直角三角形時，求點M的坐標．
3．（2024·湖南·模擬預測）如圖，反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點與點．
(1)試求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的函數(shù)表達式及點的坐標．
(2)請直接寫出的解集．
(3)現(xiàn)把的圖象繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到了．試問在函數(shù)圖象上是否存在一動點，使是以為底邊的等腰三角形？如果有，請求出這個點的坐標；如果沒有，請說明理由．
題型五：特殊四邊形存在性問題
【中考母題學方法】
【典例5】（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與，軸分別相交于點A，B，與反比例函數(shù)的圖象相交于點C，已知，點C的橫坐標為2．
(1)求，的值；
(2)平行于軸的動直線與和反比例函數(shù)的圖象分別交于點D，E，若以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D的坐標．
【變式5】（2023·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標系中，給出如下定義：為圖形上任意一點，如果點到直線的距離等于圖形上任意兩點距離的最大值時，那么點稱為直線的“伴隨點”．
例如：如圖1，已知點，，在線段上，則點是直線：軸的“伴隨點”．

(1)如圖2，已知點，，是線段上一點，直線過，兩點，當點是直線的“伴隨點”時，求點的坐標；
(2)如圖3，軸上方有一等邊三角形，軸，頂點A在軸上且在上方，，點是上一點，且點是直線：軸的“伴隨點”．當點到軸的距離最小時，求等邊三角形的邊長；
(3)如圖4，以，，為頂點的正方形上始終存在點，使得點是直線：的“伴隨點”．請直接寫出的取值范圍．
【中考模擬即學即練】
1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，四邊形為正方形，點在軸上，點在軸上，且，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點．
(1)求點的坐標和反比例函數(shù)的解析式；
(2)若點為直線上的一動點（不與點重合），在軸上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
2.（2023·廣東廣州·中考真題）已知點在函數(shù)的圖象上．
(1)若，求n的值；
(2)拋物線與x軸交于兩點M，N（M在N的左邊），與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．
①m為何值時，點E到達最高處；
②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個交點為F，當時，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由．
題型六：最值問題
【中考母題學方法】
【典例6】（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點．將點沿軸正方向平移個單位長度得到點為軸正半軸上的點，點的橫坐標大于點的橫坐標，連接的中點在反比例函數(shù)的圖象上．

(1)求的值；
(2)當為何值時，的值最大?最大值是多少?
【變式6-1】（2023·西藏·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，且點A的坐標為，點B的坐標為．

(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；
(2)點A關(guān)于原點O的對稱點為，在x軸上找一點P，使最小，求出點的坐標．
【變式6-2】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，，與軸，軸分別交于，兩點．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
(2)若點在軸上，當?shù)闹荛L最小時，請直接寫出點的坐標；
(3)將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，當時，求的值．
【變式6-3】（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達式和直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
【中考模擬即學即練】
1．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點，平行于軸的直線交反比例函數(shù)的圖像于點，交AB于點，連接BM．
(1)求的值和反比例函數(shù)的表達式；
(2)當時，求的面積．
(3)直線沿軸方向平移，當為何值時，的面積最大？最大面積是多少？
2．（2024·湖南長沙·模擬預測）若定義縱坐標與橫坐標平方的差為常數(shù)的點為“晨點”
(1)當這個常數(shù)為時，下列函數(shù)存在“晨點”的請劃“”，不存在的請劃“”．
①（ ）
②（ ）
③（ ）
(2)若二次函數(shù)有且只有一個“晨點”，且點關(guān)于該二次函數(shù)的“晨點”的對稱點恰好也是“晨點”，求這個二次函數(shù)的解析式；
(3)已知，，其中，“晨點”在軸上，直線和直線上的另一個“晨點”分別為，，若四邊形能組成平行四邊形，且有四邊形面積不超過，則四邊形周長是否存在最大值，如果存在，請求出最大值，如果不存在請說明理由．
求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計算出每個分段函數(shù)的取值，再進行比較．
【提示】一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達式→確定函數(shù)增減性→根據(jù)自變量的取值范圍確定最值．
計費方式
月使用費/元
主叫限定時間/min
主叫超時費/（元/min）
被叫
A
免費
B
108
免費
甲型客車
乙型客車
載客量/（人/輛）
45
30
租金/（元/輛）
400
280
王老師：“客運公司有A，B兩種型號的客車可供租用，A型客車每輛租金1000元，B型客車每輛租金800元．”
小強：“七年級540人，租用6輛A型客車和4輛B型客車恰好坐滿．”
小國：“九年級525人，租用5輛A型客車和5輛B型客車恰好坐滿．”
水果種類
進價（元/千克）
售價（元/千克）
甲
22
乙
25
價格
A
B
進價（元/件）
94
146
售價（元/件）
120
188
成本（單位：元/個）
銷售價格（單位：元/個）
型號
35
a
型號
42
價格/類別
短款
長款
進貨價（元/件）
80
90
銷售價（元/件）
100
120
A型機器人臺數(shù)
B型機器人臺數(shù)
總費用（單位：萬元）
1
3
260
3
2
360
【類型一：三角形面積與k的關(guān)系】
S△ABC=12|k|
S△ABC=12|k|
S△BCD=12|k|
S△DBC=12|k|
S△ABC=|k|
S△ABC=|k|
S△ABC=2|k|
S△ABC=2|k|
S△BDE=S△BFE
【類型二：四邊形面積與k的關(guān)系】
S=|k|
S=|k|
S=|k|
S△ABC=2|k|
S△ABC=2|k|
S=|k1?k2|
S=|k1?k2|
S=|k1?k2|
S=|k1?k2|
【類型三：重疊部分面積與k的關(guān)系】
S△ABC=S四BEDC
S△ABF=S四EFCD
S四BCHG=S四HDEF
【類型四：反比例函數(shù)與圖形中點與k的關(guān)系】
D為AB中點，
S△ABC=32k
S△ACD=S△BCD=34k
點E為平行四邊形ADBC的對角線的交點
S?ACBD=3k
點E為矩形ADBC的對角線的交點
S矩=2k
【類型五：反比例函數(shù)中的特殊線段的關(guān)系】
BC⊥x軸，BA⊥y軸
DF=EG,DE∥AC
AC=BD
DE∥BC

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