1.識記并理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理。2.理解并掌握線段垂直平分線的逆定理。3.能利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理解決相關(guān)幾何問題。4.通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、測量、猜想、證明等探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷探索線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理的過程，培養(yǎng)他們的觀察能力和推理能力。5.通過生動有趣的探究活動和實(shí)踐應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的興趣和熱情，讓他們感受到數(shù)學(xué)的魅力和樂趣。
等腰三角形是以________所在的角平分線為對稱軸的軸對稱圖形。等腰三角形的角平分線與底邊上的_______、_______重合（三線合一）。如圖， 人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CＤ所在的直線l對稱， 問線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？
一、線段垂直平分線的概念
提出猜想線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？猜想：AD=A′D， l⊥AA′.如何證明此猜想？可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡化。如圖, 已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l對稱， 如果沿直線l折疊， 則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合， AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線l既平分線段AA′， 又垂直線段AA′．
思考：類比直線l與線段AA’,具有此等位置關(guān)系的直線和線段有怎樣的名稱？垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線。由上可知： 線段是軸對稱圖形， 線段的垂直平分線是它的對稱軸.
二、線段垂直平分線的性質(zhì)定理
如圖， 在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P， 連接PA， PB， 線段PA， PB之間有什么關(guān)系？在直線l上任取點(diǎn)P1、P2，連接P1A， P1B和P2A， P2B，思考P1、P2到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離有什么關(guān)系？作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對折）， 由于l是線段AB的垂直平分線， 因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合. 從而線段PA與線段PB重合， 于是PA=PB，P1A= P1B，P2A= P2B.
由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。幾何語言： ∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上 ∴PA=PB
三、線段垂直平分線的判定定理
思考：如果已知一點(diǎn)P到線段AB兩端的距離PA與PB相等， 那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時， ∵PA=PB，∴點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。
思考：如果已知一點(diǎn)P到線段AB兩端的距離PA與PB相等， 那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時， ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形過頂點(diǎn)P作PC⊥AB， 垂足為點(diǎn)C， 因此直線PC是線段AB的垂直平分線， 此時點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上。
由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。幾何語言： ∵PC⊥AB， 且AC=BC ∴直線PC是線段AB的垂直平分線或 ∵PA=PB ∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上
例 已知： 如圖， 在△ABC中， AB， BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O， 連接OA， OB， OC.求證： 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.證明 ∵ 點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∴ OA=OB.同理 OB=OC. ∴ OA=OC.∴ 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.
1.如圖,在△ABC 中，DE是AC的垂直平分線,若∠B=70°，∠BAD:∠BAC=1:3,則∠C的度數(shù)是( )A.22° B.40° C.44° D.45°
【知識技能類作業(yè)】必做題：
2.如圖,相關(guān)部門要在公路l旁修建一座移動信號發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M,N的距離必須相等,則發(fā)射塔應(yīng)該建在（ ）A.A處 B.B處 C.C處 D.D處
3.已知點(diǎn)C，D是線段AB的垂直平分線MN上的點(diǎn)，MN交AB于點(diǎn)P，則一定有( )A．PC＝PD B．AC＝ADC．BC＝BD D．DA＝DB
4.如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是(　　)A．AB＝AD B．CA平分∠BCD C．AB＝BD D．BE＝DE5.如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，且BC＝BD＋AD，則點(diǎn)D在線段______的垂直平分線上．
【知識技能類作業(yè)】選做題：
6.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度數(shù)．解：∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB.∵∠B＝25°， ∴∠EAB＝∠B＝25°. ∵∠C＝90°， ∴∠CAB＝65°. ∴∠CAE＝65°－25°＝40°.
線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理
1.線段垂直平分線的概念：垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線。2.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。3.線段垂直平分線的判定定理:到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。
1.到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形(　　)A.三條角平分線的交點(diǎn)B. 三條高的交點(diǎn)C.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)D.三條中線的交點(diǎn)
2. 如圖,已知D,E為△ABC中BC邊上的兩點(diǎn)，且AB=AC,AD=AE,BD=3,則CE=(　　)A.1 　B.2 C.3　 D.無法確定3.如圖所示的風(fēng)箏，其中EH=FH，ED=FD，說不用測量就知道DH是EF的垂直平分線，其中蘊(yùn)含的道理是____________________________.
與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
4.已知C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，AC＝BC，AD＝BD，點(diǎn)P在直線CD上．若AP＝5，則BP的長為(　　)A．2.5 B．5 C．10 D．25
5.如圖所示，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延長線上的一點(diǎn)，BE與CE相等嗎？請說明理由．解：連接BC. ∵AB＝AC， ∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上．又BD＝CD， ∴點(diǎn)D也在線段BC的垂直平分線上．由兩點(diǎn)確定一條直線可得，AD是線段BC的垂直平分線．又E是AD延長線上的一點(diǎn)， ∴BE＝CE

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2.4 線段的垂直平分線

版本： 湘教版（2024）

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