北師大版（2024）八年級(jí)上冊(cè)3 勾股定理的應(yīng)用教案

這是一份北師大版（2024）八年級(jí)上冊(cè)3 勾股定理的應(yīng)用教案，共6頁(yè)。
1.能正確運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用意識(shí).
2.能熟練運(yùn)用勾股定理求最短距離.
3.通過(guò)問題情境的設(shè)立,幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又應(yīng)用于生活,積累利用勾股定理的知識(shí)解決生活中實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)和方法.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
利用勾股定理解決立體圖形上的最短距離問題.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形,在實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形并解決問題.
課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
回顧引入
1.勾股定理的內(nèi)容是什么?
2.勾股定理逆定理的內(nèi)容是什么?
3.我們學(xué)過(guò)哪些關(guān)于“最短”的知識(shí)?
設(shè)計(jì)意圖:教師通過(guò)回顧已學(xué)的相關(guān)知識(shí),引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.
探究新知
問題情境:螞蟻和食物分別在圓柱體上相對(duì)的頂點(diǎn)處,求螞蟻怎樣走最近.
問題1:如圖,螞蟻從圓柱下底面邊緣的點(diǎn)A沿圓柱的側(cè)面爬到上底面的邊緣B處,
(1)如何爬路徑最短?
(2)若已知圓柱的高為12 cm,底面周長(zhǎng)為18 cm,求最短路徑.
師生合作探究:(1)自己做一個(gè)圓柱,嘗試從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線,你覺得哪條路線最短呢?
(2)如圖所示,將圓柱側(cè)面剪開展成一個(gè)長(zhǎng)方形,從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線是什么?你畫對(duì)了嗎?
(3)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),想吃到點(diǎn)B處的食物,它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?
解:圓柱的側(cè)面展開是一個(gè)長(zhǎng)方形,點(diǎn)B位于長(zhǎng)方形長(zhǎng)的中點(diǎn)位置.
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,線段AB就是從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線.
在Rt△ABC中,∠C是直角,BC=18÷2=9(cm),AC=12 cm,
根據(jù)勾股定理,得AB2=AC2+BC2=122+92=225(cm2).所以AB=15 cm.
所以,螞蟻爬行的最短路程是15 cm.
小結(jié):立體圖形中求兩點(diǎn)間的最短距離,一般把立體圖形展開成平面圖形,連接兩點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.
問題2:如圖,點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是棱長(zhǎng)為10 cm的正方體盒子上相對(duì)的兩點(diǎn),一只螞蟻在盒子表面由A處向B處爬行,如何爬路徑最短?
教師分析:正方體有幾個(gè)面組成?正方體怎么展開?至少需要展開幾個(gè)面?
解:如圖所示,沿著線段AB爬行的距離最短.
問題3:如圖,螞蟻從長(zhǎng)、寬、高分別為4 cm、2 cm和1 cm的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A沿表面爬到頂點(diǎn)B處,
如何爬路徑最短?你能求出這個(gè)最短路徑嗎?
教師分析:長(zhǎng)方體有幾個(gè)面組成?長(zhǎng)方體怎么展開?至少需要展開幾個(gè)面?
解:因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一,故分情況分別計(jì)算,進(jìn)行比較,再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線.
①展開前面和上面,由勾股定理,得AB12=42+(1+2)2=25;
②展開前面和右面,由勾股定理,得AB22=12+(4+2)2=37;
③展開左面和上面,由勾股定理,得AB32=22+(1+4)2=29.
因?yàn)?7>29>25,所以AB1最短,最短路徑AB1為5 cm.
學(xué)生自主完成教材第13頁(yè)做一做,教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng).
設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)在圓柱體的基礎(chǔ)上依次增加難度,先是變?yōu)檎襟w,再變?yōu)殚L(zhǎng)方體,引導(dǎo)學(xué)生由淺入深,由圓柱體側(cè)面展開一個(gè)面上的最短距離.到正方體再到長(zhǎng)方體展開兩個(gè)面才能找到最短距離;引導(dǎo)學(xué)生理解長(zhǎng)方體有六種展開方式的原因(源于長(zhǎng),寬,高的組合),通過(guò)勾股定理計(jì)算比較得出最短距離.本環(huán)節(jié)很好地滲透了分類討論思想.
典例精講
例 如圖是一個(gè)滑梯示意圖,若將滑道AC水平放置,則剛好與AB一樣長(zhǎng),已知滑梯的高度CE=3 m, CD=1 m,試求滑道AC的長(zhǎng).
解:設(shè)滑道AC的長(zhǎng)度為x m,則AB的長(zhǎng)度為x m, AE的長(zhǎng)度為(x-1) m.
在Rt△ACE中,∠AEC= 90°,由勾股定理,得AE2+CE2=AC2,
即(x-1)2+32=x2,解得x=5.
故滑道AC的長(zhǎng)度為5 m.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)例題講解,及時(shí)鞏固所學(xué).
鞏固訓(xùn)練
1.如圖,一圓柱高8 cm,底面半徑為6π cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食,要爬行的最短路程是 10 cm .
2.如圖所示,一只螞蟻在長(zhǎng)方體(長(zhǎng)10 cm,寬5 cm,高20 cm)的底面上的點(diǎn)A處,螞蟻想吃到與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)C'處的食物,需要爬行的最短路程是多少?
解:①展開前面和右面,得到長(zhǎng)方形ACC'A',如圖1.在長(zhǎng)方形ACC'A'中, AC=15 cm, CC'=20 cm,則AC'2= AC2+CC'2=152+202=625;
②展開前面和上面,得到長(zhǎng)方形ABC'D',如圖2.在長(zhǎng)方形ABC'D'中, AB=10 cm, BC'=25 cm,則AC'2=AB2+BC'2=102+252=725;
③展開左面和上面,得到長(zhǎng)方形AB'C'D,如圖3.在長(zhǎng)方形AB'C'D中,AB'=30 cm,B'C'=5 cm,則AC'2=AB'2+B'C'2=302+52=925;
因?yàn)?25>725>625 ,所以最短AC'=25 cm,所以螞蟻需要爬行的最短路程是25 cm.
圖1 圖2 圖3
設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用知識(shí)解決問題的過(guò)程,給學(xué)生獲得成功體驗(yàn)的空間.
課堂小結(jié)
1.本節(jié)課我們學(xué)到了哪些內(nèi)容?
2.如何解決最短路徑問題?我們應(yīng)注意什么?
設(shè)計(jì)意圖:以提問的形式讓學(xué)生復(fù)述本節(jié)課所學(xué)知識(shí),加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,培養(yǎng)分析問題,解決問題的能力.
課堂8分鐘.
1.教材第14頁(yè)隨堂練習(xí),習(xí)題1.4第1,2,3,4題.
2.七彩作業(yè).
1.3 勾股定理的應(yīng)用
1.勾股定理
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊,那么a2+b2=c2.
2.勾股定理的應(yīng)用
(1)最短路徑問題:把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,構(gòu)造出直角三角形,利用勾股定理來(lái)解決最短路徑問題.
(2)利用勾股定理逆定理來(lái)判斷實(shí)際問題中是否垂直.
教學(xué)反思