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1、解決問題的多樣性。
在3瓶鈣片中找到少了3片的那瓶鈣片，至少要稱量1次。
2、運用優(yōu)化策略解決問題。
在找次品時，盡可能將待測物品平均分成3份，如果不能平均分成3份，則使多的一份與少的一份個數(shù)相差1，這樣找出次品需要稱的次數(shù)最少。
從3瓶鈣片中找出少了幾片的那瓶鈣片，至少稱量1次。
【易錯一】有2187個零件，其中有一個較重的次品，用天平稱，保證找到這個次品的最少次數(shù)是
A．1084B．7C．3
【分析】根據(jù)找次品的方法，一般把零件分成3份，盡量平均分，不平均時可以讓第三份少一些，然后進行稱量，這樣可以盡量少的次數(shù)找到次品。
【解答】解：把2187平均分成3份，每份729個，取其中的兩份用天平稱，如果平衡，剩下的一份里就有次品，如果不平衡，重的一方就有次品。把含有次品的一份，再分成3份，每份243個，重復上面的步驟，確定含有次品的一份。
同上，把含有次品的一份分成3份，每份1個，重復以上步驟，確定次品。
所以要稱7次。
故選：。
【點評】本題主要考查找次品，關(guān)鍵根據(jù)物品的個數(shù)，對物品進行分份。
【易錯二】有30盒餅干，其中的29盒質(zhì)量相同，另外一盒少了幾塊。用天平秤。至少稱 次可以保證找出這盒餅干。
【分析】要達到次數(shù)最少，需要將要識別的物品的數(shù)目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數(shù)目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據(jù)此答題即可。
【解答】解：第一次：把30盒餅干平均分成三份每份10盒，把任意分別放在天平秤兩邊，若天平秤平衡，那么在沒稱的10份中，若不平衡，則在較輕的10份中；
第二次：把比較輕的10盒餅干平均分成，3，三份，把兩個三份的分別放入天平秤兩邊，如平衡則在沒稱的4份中，如不平衡，則在輕的3份中；
第三次：如在輕的3份中，再把這3份分成，1，三份，任取兩個放在天平上稱，如平衡，則沒稱的是少裝的餅干，如不平衡，則輕的一份是少裝的餅干，如少裝的餅干在4份中，則把分成兩份，放在天平上稱，找出少裝的一份；
第四次：把這兩個放在天平秤兩邊，可找出少裝的餅干。
所以至少稱4次可以保證找出這盒餅干。
故答案為：4。
【點評】解答此題的關(guān)鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
【易錯三】太陽小賣店進來15包糖果，有1包的重量不足，你能用天平稱找出這包重量不足的糖果嗎？至少要稱量幾次？寫出過程．
【分析】因天平是一個等臂杠桿，所以如果左右兩盤質(zhì)量不一樣，則天平會不平衡，利用此特點進行分組稱量：把質(zhì)量不足的那一袋看做是次品：
（1）把15袋分成兩組：7袋為1組，進行第一次稱量，如果左右相等，那么說明剩下的1袋就是次品，考慮最差情況，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中，
（2）由此再把7袋分成2組：3袋為1組，如此經(jīng)過3次即可找出次品．
【解答】解：（1）把15袋分成兩組：7袋為1組，進行第一次稱量，如果左右相等，那么說明剩下的1袋就是次品，考慮最差情況，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中；
（2）由此再把較輕的一端的7袋分成2組：3袋為1組，如果左右相等，那么說明剩下的1袋就是次品，考慮最差情況，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中；
（3）由此再把較輕的一端的3袋分成2組：1袋為1組，如果左右相等，那么說明剩下的1袋就是次品，如果左右不相等，那么次品就是較輕的那一袋；
答：至少稱3次就能保證找出這袋糖來，稱量過程如圖所示：
【易錯四】學校食堂買回來8袋鹽，其中7袋質(zhì)量相同，另有一袋的質(zhì)量不足，輕一些。如果用天平來稱，至少要稱幾次才能保證找到這袋質(zhì)量不足的鹽？
【分析】要達到次數(shù)最少，需要將要識別的物品的數(shù)目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數(shù)目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據(jù)此答題即可。
【詳解】將8袋鹽分成3份（3，3，2），第一次稱重，在天平兩邊各放3袋，手里留2袋。
（1）如果天平平衡，則次品在手里，然后再稱一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的3袋中，將這3袋中的2袋在清空的天平兩邊各放1袋，手里留1袋。如果天平不平衡，則找到次品在升起的天平托盤中，如果天平平衡，則次品在手中。
所以至少要稱2次才能保證找到這袋質(zhì)量不足的鹽。
答：至少要稱2次才能保證找到這袋質(zhì)量不足的鹽。
【點睛】解答此題的關(guān)鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
【易錯五】用天平找次品，稱了三次，至少可以從多少個零件中找出次品？最多可以從多少個零件中找出次品？寫出你的方案。
【分析】根據(jù)找次品的方法進行解答即可。
【詳解】①用天平稱次品，稱了三次，至少可以從10個零件中找出次品。（次品的質(zhì)量較輕）
把10個零件平均分成兩份，每份5個，稱這兩份哪份輕；（第一次）
然后把輕的那5個隨機拿出4個，平均分成兩份，稱這兩份，如果一樣重則次品是剩下的那份，如果不一樣次品在較輕的那邊；（第二次）
接著稱次品所在那份的兩個，輕的那個是次品。（第三次）。
②用天平稱次品，稱了三次，最多可以從27個零件中找出次品。（次品的質(zhì)量較輕）
把27個零件平均分成3份，每份9個，取其中的兩份稱，輕一點的那份有次品。（第一次）
再把9個平均分成3份，每份3個，取其中的兩份稱，輕一點的那份有次品。（第二次）
把3個取其中兩個稱，輕一點那個是次品。（第三次）
答：至少可以從10個零件中找出次品，最多可以從27個零件中找出次品。
【點睛】本題考查找次品，解答本題的關(guān)鍵是掌握找次品的方法。
【易錯六】倉庫里有16箱同一規(guī)格的零件。李師傅只記得從其中某一箱中用去3個，但現(xiàn)在無法憑眼睛看出哪一箱是用過的，若要數(shù)，由于零件較小，很難數(shù)清。李師傅只好找來一架無砝碼的天平稱，最少要稱幾次？
【分析】找次品的最優(yōu)策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應該使多的一份與少的一份只相差1。
【詳解】將16箱分成（5、5、6），先稱（5、5），只考慮最不利的情況，平衡，次品在6箱中；再將6箱分成（2、2、2），稱（2、2），無論平衡不平衡，都可確定次品在其中2箱；再稱1次即可確定次品，共3次。
答：最少要稱3次。
【點睛】關(guān)鍵是掌握找次品的最優(yōu)策略。
一、選擇題
1．24個外表相同的零件中混入了一個次品（次品輕一些），如果用天平找出這個次品，最好的方法是先把這些零件平均分成（ ）份，然后再稱。
A．2B．3C．4D．6
2．10瓶果汁，其中1瓶壞了，但不知道比另外9瓶輕還是重，請問用無砝碼的天平至少稱（ ）次能判斷這瓶果汁的輕重。
A．1B．2C．3D．4
3．有4顆外表一模一樣的玻璃珠，其中有1顆玻璃珠是次品（質(zhì)量輕一些）。根據(jù)下面小華找次品的過程，可以知道（ ）號玻璃珠是次品。
A．④B．③C．②D．①
4．某公司生產(chǎn)的8個產(chǎn)品中有1個產(chǎn)品為較輕的次品，稱一次就可以將次品確定在更小的范圍內(nèi)的分法是（ ）。
A．B．
C．D．
5．王阿姨買了5袋瓜子，其中4袋質(zhì)量相同，是合格的，另有一袋質(zhì)量較輕，是不合格的。她至少用天平稱（ ）次能保證找出不合格的。
A．1B．2C．3D．4
6．有20盒餅千，其中19盒質(zhì)量相同，另有一盒少了幾塊。用天平秤，至少稱（ ）次就能保證找出這個餅干。
A．2B．3C．4D．5
7．有?盒乒乓球，其中有一盒里有一個次品，已知次品偏重一些，如果借助天平，那么保證找出這盒次品至少要稱（ ）次。
A．?B．?C．?
8．土筍凍是福建泉州的特色小吃，是一種由特有產(chǎn)品加工而成的凍品。李阿姨有28包土筍凍，其中27包質(zhì)量相同，另有1包輕一些。如果用天平稱，至少稱（ ）次才能保證找出這包土筍凍。
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
9．福建茶葉聞名遐邇，人們對茶情有獨鐘。鐘老板包好10袋茶葉準備送給顧客，可是其中有9袋每袋重50g，另1袋不足50g。如果用天平稱，至少稱( )次可以找出這袋茶葉。
10．有13瓶同樣的口香糖，其中12瓶的質(zhì)量相同，另有一瓶少了幾顆。如果用天平稱，至少稱( )次就能保證找出較輕的這瓶來。
11．有81個機器零件，其中80個質(zhì)量合格，另有一個稍重，不合格。如果用天平稱，至少稱( )次能保證找出這個不合格的零件來。
12．有28個比賽用乒乓球，其中一個乒乓球質(zhì)量較輕，不符合標準。如果用無砝碼的天平稱量，要保證找出較輕的那一個，至少要稱( )次。
13．15瓶飲料中，有1瓶略重一些，假如用天平稱至少稱( )次能保證找出這瓶略重的飲料。
14．質(zhì)檢員要用盡可能少的次數(shù)找出次品（輕一些），表中有3種物品，請將剩余兩種待測物品進行分組，并用最少的次數(shù)找出次品。
15．閩侯橄欖是福建珍果，營養(yǎng)豐富。林奶奶有5袋包裝一樣的橄欖，其中4袋質(zhì)量都是1kg，另1袋質(zhì)量不是1kg，但不知道比1kg重還是輕。如果用天平稱，至少稱( )次就可以保證找出這袋橄欖。
16．已知一堆物品中有1個次品（比正品輕），如果至少稱3次就能保證找出這個次品，這堆物品最少有( )個，最多有( )個。
三、判斷題
17．8瓶鈣片中，有一瓶輕一些。用天平稱至少要稱2次才能保證找出次品。( )
18．81瓶口香糖中混有1瓶略輕的口香糖，用天平稱，至少稱5次一定可以找到那瓶略輕的口香糖。( )
19．在檢測13個手機芯片時發(fā)現(xiàn)有1個不合格（質(zhì)量稍輕），用天平找次品的方法，我們至少稱3次保證能找到這塊芯片。( )
20．有7瓶鈣片，其中有一瓶少了5片，用天平至少稱2次能保證把它找出來。( )
四、解答題
21．有11個零件，其中有一個是次品，比正品重，用天平至少稱幾次就一定能找出這個次品？請寫出你稱的過程。
22．我國是世界上最早發(fā)現(xiàn)和利用茶樹的國家，中國是茶的故鄉(xiāng)。某茶廠對茶葉進行抽檢，在抽檢的15盒茶葉中，其中有14盒質(zhì)量相同，另有一盒質(zhì)量較輕一些為不合格產(chǎn)品，如果用天平稱，至少稱幾次能保證將這盒不合格產(chǎn)品找出來？
23．質(zhì)檢部門對某企業(yè)的產(chǎn)品進行質(zhì)量抽檢，在抽檢的9盒產(chǎn)品中有1盒不合格（質(zhì)量稍輕一些），如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？
24．在9枚一模一樣的金幣中，有一枚比真金幣輕的假金幣。如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這枚假金幣？
25．一箱藥品有15盒，其中14盒的質(zhì)量相同，有一盒的質(zhì)量不足輕一點，如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出那盒質(zhì)量不足的？
26．福建物產(chǎn)豐富，有很多地方盛產(chǎn)水果，才溪臍橙產(chǎn)自著名革命老區(qū)上杭縣才溪鎮(zhèn)，被評為“福建省名牌農(nóng)產(chǎn)品”。王伯伯準備了12箱臍橙寄往外地，其中11箱質(zhì)量相同，另外有1箱質(zhì)量稍輕一些，至少稱幾次能保證找出這箱輕一些的臍橙？（請你試著用圖表示稱的過程）
27．在100個玻璃球中，有一個比其他的99個重，其他99個同樣重。現(xiàn)有一架等臂天平，最少稱多少次，就一定能把這個超重的球找出來？
28．一箱桔子有13袋，其中12袋質(zhì)量相同，另外一袋質(zhì)量輕一些，用天平至少稱幾次能保證找出這袋桔子來？請用圖示法表示過程。
29．有12袋餅干，其中只有一袋里有獎品，它比其他11袋都要略重一些，至少稱幾次才能保證找到這袋有獎品的餅干？怎么稱？
30．有5袋鹽，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重還是輕。你如何用天平稱出來？
31．一箱橙子有25袋，其中有24袋質(zhì)量相同，另外有1袋質(zhì)量不足，輕一些，如果用天平稱至少稱幾次能保證找出這袋橙子來？
32．有29瓶同樣的純凈水，向其中一瓶中加入一些鹽，如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出加鹽的純凈水？
參考答案
1．B
【分析】如果分成兩份，每份的數(shù)量多，相對來就需要稱的次數(shù)多；如果分成四份，最少要稱4次，才能找出次品。所以最好是分成3份，這樣能用最少的次數(shù)找出次品所在的位置。具體做法是先把24個零件分成（8，8，8），把兩個8個一組的放在天平上稱，可找出有次品的一組。再把8分成（3，3，2），可找出有次品的一組。再把3分成（1，1，1），可找出次品。據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析得，24個外表相同的零件中混入了一個次品（次品輕一些），如果用天平找出這個次品，最好的方法是先把這些零件平均分成3份，然后再稱。
故答案為：B
【點睛】本題運用了找次品中最基本的方法，應讓學生掌握平均分成3份再稱是最快的方法。
2．C
【分析】天平是用來稱量物體質(zhì)量的工具，此題并不是稱量物體的質(zhì)量，而是使用天平來比較物體質(zhì)量的大小，所以在調(diào)好的天平兩盤中分別放上物體，當哪邊的托盤上升，則說明這邊托盤中的物體質(zhì)量偏小。
【詳解】將10瓶分成3、3、4，兩個3如果平衡就在4瓶里；
4分成2、2，再稱兩次，兩個3不平衡，在輕的里面，3分成1、1、1，再稱1次能保證找到，則用天平至少稱3次能判斷這壞果汁的輕重。
故答案為：C
【點睛】該題考查了利用天平判斷物體質(zhì)量的技能，注意天平是等臂杠桿，因此兩個托盤中一定要放個數(shù)相等的果汁。
3．C
【分析】找次品的最優(yōu)策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應該使多的一份與少的一份只相差1。
【詳解】次品質(zhì)量輕一些，觀察左圖次品在①②中，觀察右圖次品是②。
故答案為：C
【點睛】在生活中，常常出現(xiàn)這樣的情況：在一些看似完全相同的物品中混著輕一點或者重一點的物品，需要我們想辦法把它找出來，我們把這類問題叫做找次品。
4．C
【分析】把8個產(chǎn)品分成3份，即（3，3，2），第一次稱，天平兩邊各放3個，如果天平不平衡，次品就在較輕的3個中；如果天平平衡，次品在剩下的2個中；考慮最不利原則，次品在數(shù)量多的里面，再把有次品的3個產(chǎn)品分成（1，1，1），第二次稱，天平兩邊各放1個，如果天平不平衡，次品就是較輕的那一個；如果天平平衡，次品是剩下的那一個。至少稱2次就一定能找到這個次品。
【詳解】稱一次就可以將次品確定在更小的范圍內(nèi)的分法是：
故答案為：C
【點睛】找次品的最優(yōu)策略：一是把待測物品分成3份；二是要盡量平均分，不能平均分的，應該使多的一份與少的一份只相差1。這樣不但能保證找出次品，而且稱的次數(shù)一定最少。
5．B
【分析】把5袋瓜子分成三組（2，2，1），先稱數(shù)量相同的兩組，如果天平平衡，那么剩下的一袋是質(zhì)量不合格的那袋瓜子，如果天平不平衡，那么質(zhì)量不合格的那袋瓜子在天平上翹的那組里面，稱質(zhì)量不合格的那袋瓜子所在的組，天平上翹那端為質(zhì)量不合格的那袋瓜子，根據(jù)稱重過程準確數(shù)出稱重次數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】
所以，她至少用天平稱2次能保證找出不合格的。
故答案為：B
【點睛】掌握找次品問題的解題方法是解答題目的關(guān)鍵。
6．B
【分析】第一次：把20個餅干分成（7、7、6）三組，在天平兩邊各放7盒，若天平平衡，則剩下的6盒里有次品，把這6盒再分成三份（2，2，2），在天平兩邊各放2盒，若天平平衡，次品在剩下的2盒中，再稱1次即可；若天平不平衡，則天平較高端的那一組里有次品，再稱1次即可；同理，若第一次不平衡，則天平較高端的那一組里有次品，把7盒分成三份（2，2，3），在天平兩邊各放2盒，若天平平衡，次品在剩下的3盒中，把3盒分成三份（1，1，1），同理，再稱1次即可。
【詳解】由分析可知：
用天平秤，至少稱3次就能保證找出這個餅干。
故答案為：B
【點睛】本題考查找次品問題，明確把待測物品盡量平均分成三份是解題的關(guān)鍵。
7．B
【分析】稱第一次，把?個乒乓球分成?三組，天平每邊各放一組，若平衡，次品在未稱的一組，不平衡，次品在輕的一組；
稱第二次，再把有次品的一組?個乒乓球分成，天平每邊各放一組，次品在輕的一邊；
稱第三次，再把有次品的?個分成，天平每邊各放?個，輕的就是次品。
用天平秤，至少?次才能保證找出次品。
【詳解】由分析可知：
如果借助天平，那么保證找出這盒次品至少要稱3次。
故答案為：B
【點睛】本題考查找次品問題，明確把待測物品盡量平均分成三份是解題的關(guān)鍵。
8．D
【分析】要達到次數(shù)最少，需要將要識別的物品的數(shù)目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數(shù)目相等的兩份放到天平兩遍稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據(jù)此答題即可。
【詳解】將28包分成3份：9，9，10；第一次稱重，在天平兩邊各放9包，手里留10包；
（1）如果天平平衡，則次品在手里，將手里的10包分為3，3，4，在天平兩邊各放3包，手里留4包，
a.如果天平平衡，則次品在手里4包中，接下來，將手里的4包分為1，1，2，在天平兩邊各放1包，手里留2包，
①如果天平平衡，則次品在手里的2包，將這2包分別放在天平的兩邊就可以鑒別出次品；
②如果天平不平衡，則次品在升起的一邊；
b.如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的3包中，
接下來，將這3包分成三份：1，1，1。天平的兩邊分別放1包，手里留1包，稱重第三次就可以鑒別出次品。
（2）如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的9包中，將這9包分成三份：3，3，3，在天平兩邊各放3包，手里留3包，
a.如果天平不平衡，則找到次品在升起的天平托盤的3包中，
接下來，將這3包分成三份：1，1，1。天平的兩邊分別放1包，手里留1包，稱重第三次就可以鑒別出次品。
b.如果天平平衡，則次品在手中的3包中。
接下來，將這3包分成三份：1，1，1。天平的兩邊分別放1包，手里留1包，稱重第三次就可以鑒別出次品。
綜上可得：至少稱4次能就能保證可以找出這一包。
故答案為：D
【點睛】考查找次品的問題，分3份操作找到最優(yōu)方法。
9．3/三
【分析】把稱重物品分成盡可能平均的三組，先稱其中數(shù)量相同的兩組，如果天平平衡，那么次品在剩下一組里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翹的一組里面，依次找出次品所在的組，直到最后找出次品，最后根據(jù)稱重過程準確數(shù)出稱重次數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】
由上可知，如果用天平稱，至少稱3次可以找出這袋茶葉。
【點睛】掌握找次品問題的解題方法是解答題目的關(guān)鍵。
10．3/三
【分析】將13瓶分成3份：4，4，5；第一次稱重，在天平兩邊各放4瓶，手里留5瓶；
（1）如果天平平衡，則次品在手里，將手里的5瓶分為2，2，1，在天平兩邊各放2瓶，手里留l瓶，
A．如果天平平衡，則次品在手里；此時共稱了2次。
B．如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的2瓶中；接下來，將這兩瓶分別放在天平的兩邊就可以鑒別出次品；此時共稱了2次。
（2）如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的4瓶中，將這4瓶中的2瓶在天平兩邊各放1瓶，手里留2瓶，
A．如果天平不平衡，則找到次品在升起的天平托盤中；此時共稱了2次。
B．如果天平平衡，則次品在手中的2瓶中；接下來，將這兩瓶分別放在天平的兩邊就可以鑒別出次品。此時共稱了3次。
【詳解】根據(jù)分析得，在13瓶口香糖中，要找出那瓶較輕的口香糖，如果用天平稱，至少稱3次就能保證找出較輕的這瓶來。
【點睛】此題主要考查找次品的問題，分3份操作找到最優(yōu)方法。
11．4/四
【分析】第一次：把81個零件分成（27、27、27）三組，稱量任意兩組，若天平平衡，則另外的那一組里有次品；若天平不平衡，則天平較低端的那一組里有次品；
第二次：把有次品的27個分成（9、9、9）三組，稱量任意兩組，若天平平衡，則另外的那一組里有次品；若天平不平衡，則天平較低端的那一組里有次品；
第三次：把含有次品的那一組再分為（3、3、3）三組，稱量任意兩組，若天平平衡，則另外的那一組里有次品；若天平不平衡，則天平較低端的那一組里有次品；
第四次：把含有次品的那一組再分為（1、1、1）三組，稱量任意兩組，若天平平衡，則另外的那一組里有次品；若天平不平衡，則天平較低端的那一組里有次品。
【詳解】由分析可知：
如果用天平稱，至少稱4次能保證找出這個不合格的零件來。
【點睛】本題考查找次品問題，明確把待測物品盡量平均分成三份是解題的關(guān)鍵。
12．3/三
【分析】第一次稱重，先把28個乒乓球平均分成（9，9，10），3組，天平兩邊各放9個，如果平衡，次品就是剩下的10個里，如果不平衡，把含有次品的9個分成（3，3，3） 3組；如果次品是在10個的那一份，就分成（3,3,4）三組，然后進行第二次稱重，天平兩端各放3個，如果平衡，次品在剩下的3個里，如果不平衡，把不平衡的3個分成（1，1，1），進行第三次稱重，天平兩端各放1個，如果平衡，剩下的就是次品，如果不平衡，天平哪端輕，那個就是次品；最少稱3次，據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析可知，有28個比賽用乒乓球，其中一個乒乓球質(zhì)量較輕，不符合標準。如果用無砝碼的天平稱量，要保證找出較輕的那一個，至少要稱3次。
【點睛】本題考查找次品的問題，根據(jù)天平的原理進行解答。
13．3/三
【分析】找次品時盡量把所有的瓶數(shù)平均分成3份，如果不能平均分，也要把多或少的那份比其它的多或少1，這樣稱一次就會把次品所在的范圍縮小到最小。
【詳解】第一次，先在天平兩端各放5瓶，如果平衡，略重的那瓶就在剩下的5瓶中；如果不平衡，天平下沉的一端的5瓶中就有略重的那瓶；
第二次，把略重的那組所在的5瓶分成2瓶、2瓶、l瓶，在天平兩端各放2瓶，如果平衡，剩下的一瓶就是略重的那瓶；如果不平衡，下沉那端的2瓶中有一瓶是略重的；
第三次，把略重的那組所在的2瓶在天平兩端各放l瓶，下沉那端的1瓶就是略重的那瓶。
綜上，用天平稱至少稱3次能保證找出這瓶略重的飲料。
【點睛】本題主要考查找次品的問題，依據(jù)是天平秤平衡原理。
14． （3，3，2） 2 （5，5，5） 3
【分析】把8個物品分成3份，即（3，3，2），第一次稱，天平兩邊各放3個，如果天平不平衡，次品就在較輕的3個中；如果天平平衡，次品在剩下的2個中；考慮最不利原則，次品在數(shù)量多的里面，再把有次品的3個物品分成（1，1，1），第二次稱，天平兩邊各放1個，如果天平不平衡，次品就是較輕的那一個；如果天平平衡，次品是剩下的那一個。所以至少稱2次保證能找到次品。
把15個物品平均分成3份，即（5，5，5），第一次稱，天平兩邊各放5個，如果天平不平衡，次品就在較輕的5個中；如果天平平衡，次品在剩下的5個中；再把有次品的5個物品分成（2，2，1），第二次稱，天平兩邊各放2個，如果天平不平衡，次品就在較輕的2個中；如果天平平衡，次品就是剩下的那一個；最后把有次品的2個物品分成（1，1），第三次稱，天平兩邊各放1個，次品就是較輕的那一個。所以至少稱3次保證能找出次品。
【詳解】
【點睛】找次品的最優(yōu)策略：一是把待測物品分成3份；二是要盡量平均分，不能平均分的，應該使多的一份與少的一份只相差1。這樣不但能保證找出次品，而且稱的次數(shù)一定最少。
15．3
【分析】天平是用來稱量物體質(zhì)量的工具，此題并不是稱量物體的質(zhì)量，而是使用天平來比較物體質(zhì)量的大小。所以，在調(diào)好的天平兩盤中分別放上物體，當哪邊的托盤上升，則說明這邊托盤中的物體質(zhì)量偏小。
【詳解】把5袋橄欖分成2、2、1三組，分別表示為ab、cd、e。
先用ab和cd稱，有以下可能：①一樣重，則次品就是e，僅用了1次；
②不一樣重，則次品就在ab、cd中。
假設ab輕，可以把a和c互換位置，
如果質(zhì)量沒變，那么次品是b或d，再稱1次即可；
如果質(zhì)量變了，次品就是a或c，再稱1次即可。共需3次。
【點睛】該題考查了利用天平判斷物體質(zhì)量的技能，需要學生開動腦筋，借助一定的數(shù)學思維方式進行解答。
16． 10 27
【分析】用天平找次品時，所測物品數(shù)目與測試的次數(shù)有以下關(guān)系。（只含有一個次品，已知次品比正品重或輕）
觀察表格中物品數(shù)目的每一組數(shù)據(jù)中的第二個數(shù)字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次；……據(jù)此可得需要3次測出的次品，數(shù)量在3×3＋1和3×3×3之間。
【詳解】3×3＋1
＝9＋1
＝10（個）
3×3×3
＝9×3
＝27（個）
所以這堆物品最少有10個，最多有27個。
【點睛】測n次可以從[（n－1）個3相乘的積＋1]個物品到（n個3相乘的積）個物品之中找出次品。因為每次稱量，都可以把待測物品平均分成三組，確定次品在其中一組當中。
17．√
【分析】把這8瓶鈣片分成三份（3，3，2），在天平兩邊各放3瓶，若平衡，則次品在剩下的2瓶中，再稱1次即可；若不平衡，次品在上升的3瓶中，把這3瓶分成三份（1，1，1），在天平兩邊各放1瓶，若平衡，剩下的那瓶就是次品，若不平衡，上升的那瓶就是次品。
【詳解】由分析可知：
8瓶鈣片中，有一瓶輕一些。用天平稱至少要稱2次才能保證找出次品。原題干說法正確。
故答案為：√
【點睛】本題考查找次品，明確把待測物品盡量平均分成三份是解題的關(guān)鍵。
18．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三組，稱量任意兩組，若天平平衡，則另外的那一組里有次品；若天平不平衡，則天平較高端的那一組里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三組，稱量任意兩組，若天平平衡，則另外的那一組里有次品；若天平不平衡，則天平較高端的那一組里有次品；
第三次：把含有次品的那一組再分為（3、3、3）三組，稱量任意兩組，若天平平衡，則另外的那一組里有次品；若天平不平衡，則天平較高端的那一組里有次品；
第四次：把含有次品的那一組再分為（1、1、1）三組，稱量任意兩組，若天平平衡，則另外的那一組里有次品；若天平不平衡，則天平較高端的那一組里有次品。
【詳解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略輕的口香糖，如果用天平稱，至少稱4次能保證找出這瓶略輕的口香糖。
故答案為：×
【點睛】本題考查找次品問題，明確把待測物品盡量平均分成三份是解題的關(guān)鍵。
19．√
【分析】利用用天平找次品的原則解決問題。
【詳解】從13個零件中取出12個，分成（6，6）兩組；
第一次：把這兩組放在天平上稱，如果平衡，則輕的是沒稱那個；如果不平衡，則次品在較輕的那一組里；
第二次：把較輕的那組再分成（2，2，2）三組，把其中的任意兩組放在天平上稱，如果平衡，則輕的就是沒稱的一組；
第三次：如果不平衡，則把輕的一組分（1，1）放在天平上稱可找出輕的，所以至少稱3次就能找出這塊芯片。
故答案為：√
【點睛】解答本題的關(guān)鍵是理解和掌握找次品的原理。
20．√
【分析】7瓶鈣片，其中有一瓶少了5片，說明有一瓶是次品，次品比正品輕，采用三分法進行判斷。
【詳解】將7瓶鈣片編號為1~7，分成3組，第一組1~2，第二組3~4，第三組5~7；
先將第一組和第二組進行稱量：
（1）若平衡，次品在5~7中，再選5和6稱量，若平衡，次品是7號，若不平衡，輕的一瓶是次品，兩次即可；
（2）若平衡，次品在較輕的一組，假設第一組較輕，那么將1和2稱量，肯定不平衡，輕的一瓶是次品，兩次即可；
綜上所述，至少稱2次能保證把次品找出來；
故答案為：√。
【點睛】本題考查的是找次品的問題，若n個商品中只有一個次品，且比正品輕，當時，至少需要1次，當時，至少需要2次，當時，至少需要3次，依此類推。
21．3次，過程見詳解
【分析】根據(jù)題意，一個次品比正品略重一些，由于零件個數(shù)大于3，考慮將其分為3份（4，4，3），接下來將前兩份稱重，在每種情況下判斷天平是否平衡；再平衡條件下再將零件平均分成2份進行稱重，即可解答。
【詳解】要由分析可得：
第一次：在天平左右兩端各放4個，如果天平平衡，說明次品在剩下的三個中；如果不平衡，天平較低的一端的零件中有次品；
第二次：如果次品在三個中，天平左右兩端各放一共，如果平衡，剩下的一個就是次品，如果不平衡，較低的那端的零件就是次品；如果次品在四個中，天平左右兩端各放兩個，次品在較低的兩個零件中；
第三次：把次品所在的兩個零件分別放在天平左右兩端，較低的一端的那個零件就是次品。
所以至少稱3次就一定能找出這個次品。
【點睛】本題屬于找次品問題，需要明確：質(zhì)量重的零件是次品。
22．3次
【分析】要盡快找到這盒次品，可把15盒茶葉分成5、5、5三組，通過將等量的茶葉盒放到天平兩端逐次稱重，期間根據(jù)天平的平衡情況，隨時調(diào)整下一次的稱量對象，直至找到次品為止，據(jù)此解答。
【詳解】第一次：每邊放5盒，若天平平衡，則未拿的那組里有次品，若天平不平衡，則次品在天平較高端的5盒中；
第二次：將天平較高的那端5盒茶葉分成2、2、1三組，先把數(shù)量是2盒的兩份放入天平兩端，若天平平衡，則次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平較高端的2盒中；
第三次：將含有次品的2盒茶葉，分成2份，放入天平兩端，天平較高端的茶葉是次品；
因此，至少稱3次可以保證找出次品。
【點睛】依據(jù)天平平衡原理解決問題是解答本題的關(guān)鍵，分組時要盡量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。
23．2次
【分析】根據(jù)題意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒數(shù)大于3盒，考慮將其分為3份（3，3，3），接下來將其中2份稱重，在每種情況下判斷天平是否平衡；再平衡條件下再將剩下的1份平均分成3份進行稱重，即可解答。
【詳解】把9盒產(chǎn)品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則質(zhì)量較輕的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平較高端的3盒產(chǎn)品，任取2盒分別放在天平兩端，若天平平衡，則質(zhì)量較輕的是未取的那盒，若天平不平衡，天平較高端的那盒即為質(zhì)量較輕的那盒。則：1＋1＝2（次）
答：至少稱2次能保證找出次品。
【點睛】本題屬于找次品問題，需要明確質(zhì)量輕的一盒是不合格產(chǎn)品。
24．2次
【分析】要達到次數(shù)最少，需要將要識別的物品的數(shù)目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數(shù)目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據(jù)此答題即可。
【詳解】①第一次把9枚金幣平均分成三份，每份3枚，任取其中兩份，分別放在天平兩端；
②
a若天平不平衡，則第二次從天平較高端的3枚金幣中，任取2枚金幣，分別放在天平兩端，
若天平平衡，則未取的那枚金幣就是假金幣，
若天平不平衡，則天平較高端的是假金幣；
b若第一次天平平衡，則第二次從未取的那3枚金幣中，任取2枚金幣，分別放在天平兩端，
若天平平衡，則未取的那枚金幣就是假金幣，
若天平不平衡，則天平較高端的是假金幣。所以至少稱2次能保證找出這枚假金幣。
答：至少稱2次能保證找出這枚假金幣。
【點睛】解答此題的關(guān)鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
25．3次
【分析】天平是一個等臂杠桿，所以如果左右兩邊的質(zhì)量不一樣，則天平會不平衡，利用此特點把15盒藥品分成5盒、5盒、5盒三份，先稱其中的兩份，若平衡，則次品在剩余的一份中，若不平衡，則次品在天平的較高一端；進而繼續(xù)將較高端分成2盒、2盒、1盒，利用上面方法繼續(xù)比較，直至找出質(zhì)量不足的那一盒藥品。
【詳解】把15這盒分成5盒，5盒，5盒三份。
第一次：任取兩份，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較輕一盒，即在未取的5盒中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，取天平秤較高端的一份繼續(xù)；
第二次：把在天平秤較高端5盒，任取4盒，平均分成兩份，每份2盒，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則未取那盒即為質(zhì)量不足的，若天平秤不平衡，取天平秤較高端的一份繼續(xù)；
第三次：把天平秤較高端的兩盒，分別放在天平秤兩端，較高端的那盒即為質(zhì)量不足的。
答：至少稱3次能保證找出那盒質(zhì)量不足的。
【點睛】本題主要考查找次品，關(guān)鍵是注意每次取藥品的盒數(shù)。
26．3次
【分析】分成每6箱一組，用天平稱，因有一箱質(zhì)量不足，所以找出輕的一組，再把輕的一組任意3箱分成一組用天平稱，再找出輕的一組，再任取2箱用天平稱，若天平平衡，則沒稱的1箱是次品，若不平衡測輕的是次品，據(jù)此解答。
【詳解】把12箱分成兩組：6箱為1組，進行第一次稱量，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中；
由此再把較輕的一端的6箱分成2組：3箱為1組，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中；
由此再把較輕的一端的3箱分成3組：1箱為1組，取兩箱稱量，如果左右相等，那么說明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是較輕的那一箱；
答：至少稱3次就能能保證找出這箱輕一些的臍橙，稱量過程如下圖所示：
【點睛】根據(jù)天平的平衡性進行稱量，找到質(zhì)量較輕的物品，合理分組是解題的關(guān)鍵。
27．5次
【分析】根據(jù)找次品的方法，將玻璃球不斷分堆稱重，逐漸縮小次品所在的范圍，直到找出超重的玻璃球。
【詳解】第一次：將100個玻璃球分成3堆，前兩堆各33個，后一堆34個，將前兩堆分別放在天平兩端，如果平衡，那么超重的球在未稱重的一堆中，如果不平衡，那么哪端較重哪端就含有超重球；
第二次：將含有超重球的34個球分成3堆，前兩堆各11個，后一堆12個，將前兩堆分別放在天平兩端，如果平衡，那么超重的球在未稱重的一堆中，如果不平衡，那么哪端較重哪端就含有超重球；
第三次：將含有超重球的12個球分成3堆，每堆4個，任選兩堆放在天平兩端，如果平衡，那么超重的球在未稱重的一堆中，如果不平衡，那么哪端較重哪端就含有超重球；
第四次：將含有超重球的4個球平均分成兩堆，每堆2個，如果平衡，那么超重的球在未稱重的一堆中，如果不平衡，那么哪端較重哪端就含有超重球；
第五次：將含有超重球的2個球放在天平兩端，哪端較重哪端就是超重的球。
答：最少稱5次，就一定能把這個超重的球找出來。
【點睛】本題考查了找次品，會利用天平找次品是解題的關(guān)鍵。
28．3次
【分析】將13袋桔子分組，要考慮最不利的情況，利用天平的平衡性進行稱量，保證找到質(zhì)量較輕的一袋。
【詳解】（1）把13袋分成兩組：6袋為1組，進行第一次稱量，如果左右相等，那么說明剩下的1袋就是次品，考慮最差情況，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中；
（2）由此再把較輕的一端的6袋分成2組：3袋為1組，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中；
（3）由此再把較輕的一端的3袋分成3組：1袋為1組，取兩袋稱量，如果左右相等，那么說明剩下的1袋就是次品，如果左右不相等，那么次品就是較輕的那一袋；
答：至少稱3次就能保證找出這袋桔子來，稱量過程如下圖所示：
【點睛】根據(jù)天平的平衡性進行稱量，找到質(zhì)量較輕的物品，合理分組是解題的關(guān)鍵。
29．3次；過程見解析
【分析】找次品的最優(yōu)策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應該使多的一份與少的一份只相差1。
【詳解】第一次：把12袋餅干平均分成三份，每份4袋，任取2袋，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較重的即在未取的4袋中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡；
第二次：把天平秤較低端的4袋分成兩份，每份2袋，分別放在天平秤兩端；
第三次：把在天平秤較低端的2袋分別放在天平秤兩端，較低端的那袋即為較重的。
答：至少稱3次才能保證找到這袋有獎品的餅干。
【點睛】本題主要考查學生運用天平秤平衡原理解決問題的能力。
30．見詳解
【分析】根據(jù)找次品的方法，結(jié)合題意，分析解題即可。
【詳解】答：（1）第一次稱量：先把其中4袋拿出來分成2份，放在天平左右兩邊進行稱量，如果左右兩邊平衡，那么說明剩下的那1袋是次品；如果左右不等，那么說明次品就在其中一邊；
（2）第二次稱量：把左邊的2袋分別放在天平的左右兩邊稱量，如果相等，那么次品在右邊一組的2袋中，如果不等，那么說明這兩袋中1袋是次品；
（3）第三次稱量：把確定有次品的2袋鹽，分別與其它3袋中的任意1袋繼續(xù)稱量，相等的是500克，不等的就是次品，由此也可以根據(jù)天平的平衡原理得出它的質(zhì)量是大于500克或者是小于500克。
【點睛】本題考查了找次品，掌握找次品的方法是解題的關(guān)鍵。
31．3次
【分析】先把25袋橙子分成9個，9個，7個三份，第一次稱，確定次品所在；再把次品所在的那一份，平均分成三份，第二次稱，確定次品所在；第三次稱，確定質(zhì)量較輕的這袋橙子。
【詳解】第一次：先把25袋橙子分成9個，9個，7個三份，把其中兩份9個的分別放在天平秤兩邊，若天平秤平衡，則較輕的橙子，在未取的7個中（再分成3個，3個，1個三份，按照下面方法操作即可），若天平秤不平衡：天平秤較高的一邊，即是質(zhì)量輕的橙子，在的一邊，第二次：把較高端的9個橙子，平均分成三份，每份3個，任取兩份，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較輕的橙子在未取的3個中，若天平秤不平衡；第三次：從較高的三個橙子，中任取1個，分別放在天平秤兩端，較高的即為質(zhì)量較輕的，若天平秤平衡，未取那個橙子即為較輕的。
答：如果用天平稱至少稱3次能保證找出這袋橙子來。
【點睛】本題考查找次品，解答本題的關(guān)鍵是掌握找次品的計算方法。
32．4次
【分析】注意鹽水的質(zhì)量比水的質(zhì)量重。找次品時盡量把總數(shù)平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；這樣稱1次就能把次品所在的范圍縮小到最少。
【詳解】把29瓶分成10瓶、10瓶、9瓶；
第一次：兩端各放10瓶，如果平衡次品就在9瓶中；如果不平衡，次品在下沉的那10瓶中；
第二次：①把9瓶平均分成3份，每份3瓶；稱1次找出次品所在的3瓶，再稱1次找出次品；共稱3次；
②把次品所在的10瓶分成3、3、4，稱1次找出次品所在的4瓶；再稱1次找出次品所在的2瓶，再稱1次找出次品，共稱4次。
答：至少稱4次能保證找出加鹽的純凈水。
【點睛】該題考查了利用天平判斷物體質(zhì)量的技能，需要學生開動腦筋，借助一定的數(shù)學思維方式進行解答。
待測物品個數(shù)
首次分成
至少稱幾次
6
（2，2，2）
2
8
( )
( )
15
( )
( )
待測物品個數(shù)
首次分成
至少稱幾次
6
（2，2，2）
2
8
（3，3，2）
（ 2 ）
15
（5，5，5）
（ 3 ）

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