考試時間：2024年9月25日
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
．C
．集合，若，則集合可以為（ ）
A.B.C.D.
．C 【詳解】
．若復(fù)數(shù)，則（ ）
A 0B. C. 1D. 2
．B
．已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
．D 【詳解】由題意知，
所以，兩邊取以10為底的對數(shù)，得，
所以
．純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動．因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當今世界的乘用車的發(fā)展方向．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量、放電時間和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當放電電流為時，放電時間為；當放電電流為時，放電時間為，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
．C【詳解】因為所以則
所以則，
因為，所以，又則，
所以故
因為所以則.
解法二：∵，∴，∴，故選C
．已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
．B 【詳解】∵恒成立，設(shè)，則當時，時，∴，即，∴
．已知函數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
．A 【詳解】設(shè)，的定義域為，
當時，，此時的圖象與的圖象沒有交點，
當時，，此時兩圖象沒有交點，
當時，，此時兩圖象有一個交點，
當時，，此時兩圖象沒有交點，
當時，，此時兩圖象有一個交點，
⑥當時，，，設(shè)
在上單調(diào)遞減，，且趨于時，趨于正無窮，∴存在使得，且時，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，
結(jié)合以上分析，畫出fx,gx在上的函數(shù)圖象可知，兩圖象在上有一個交點，
當時，由對稱性可知，兩圖象在上有一個交點，
⑧當時，，此時兩圖象有一個交點，
當時，，，注意到，
畫出fx,gx在上的函數(shù)圖象可知，兩圖象在上有一個交點，
⑨當時，，此時兩圖象沒有交點；
綜上所述，函數(shù)與函數(shù)的圖象交點個數(shù)為6.
．函數(shù)與函數(shù)的圖象交點個數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
．A 【詳解】由題知是的正整數(shù)解，
故，取指數(shù)得，
同除得，，故，即，
根據(jù)是遞增數(shù)列可以得到也是遞增數(shù)列，于是原不等式轉(zhuǎn)化為.
而可以得到滿足要求的的最大值為5，故A正確.
．斐波拉契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波拉契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”. 這一數(shù)列如下定義：設(shè)為斐波拉契數(shù)列，，其通項公式為，設(shè)是的正整數(shù)解，則的最大值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
．BD 【詳解】對于A選項，去掉后的平均數(shù)為，
方差為，故A選項錯誤；
對于B選項，由于隨機變量服從正態(tài)分布，
則，關(guān)于1對稱，則故B選項正確；
對于C選項，因為，所以，又因為回歸方程為，
所以，所以，故C選項錯誤；
對于D選項，對于獨立性檢驗，隨機變量的值越大，則兩變量有關(guān)系的程度的錯誤率更低，故越大，判定“兩變量有關(guān)系”的錯誤率更低，D選項正確．故選:ABD.
．給出下列命題，其中正確命題為（ ）
A．已知數(shù)據(jù)，滿足：，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的方差為168
B．隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
C．一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則
D．對于獨立性檢驗，隨機變量的值越大，則推斷“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越小
．ACD 【詳解】對A，如圖，令中點為,中點為,連接，
又正方體中，為棱的中點，可得,，
平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，
又為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），平面平面，而平面平面，，即的軌跡為線段.
由棱長為2的正方體得線段的長度為，故選項A正確；
對B，當為線段中點時，由可得,又中點為,中點為,
，而，,故選項B不正確；
對C，由正方體側(cè)棱底面，三棱錐體積為，
所以面積最小時，體積最小，如圖，，易得在處時最小，
此時,所以體積最小值為，故選項C正確；
對D，如圖，當在處時，三棱錐的體積最大時，
由已知得此時,所以在底面的射影為底面外心，
,,,所以底面為直角三角形，
所以在底面的射影為中點，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,
由,,可得外接球半徑，
外接球的表面積為，故選項D正確. 故選：ABD.

．如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（ ）
A．動點軌跡的長度為
B．與不可能垂直
C．三棱錐體積的最小值為
D．當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為
．ABD 【詳解】由題意可知：拋物線的焦點為，準線為，即，
設(shè)，
則，可得，因為，即，
可知為等邊三角形，即，
且∥x軸，可知直線的傾斜角為，斜率為，故A正確；
則直線，聯(lián)立方程，解得或，
即，，則，
可得，
在中，，且，
可知為最大角，且為銳角，所以是銳角三角形，故B正確；
四邊形的面積為，故C錯誤；
因為，所以，故D正確；
故選：ABD.
．已知拋物線的焦點為，準線交軸于點，直線經(jīng)過且與交于 兩點，其中點A在第一象限，線段的中點在軸上的射影為點.若，則（ ）
A．的斜率為 B．是銳角三角形
C．四邊形的面積是 D．
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
． 【詳解】因為“使”為假命題，
所以“，”為真命題，其等價于在上恒成立，
又因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.
．若“使”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為___________.
．
．在中，，∠，D為線段AB靠近點的三等分點，E為線段CD的中點，若，則的最大值為________.
．360【解析】∵，∴，
列舉可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4個；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3個；③（1，4，5）有1個；④（2，3，4），（2，3，5） 有2個；故共有10個組合，∴共計有個這樣的數(shù)列。
．將這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列，記第i項為，若，，則這樣的數(shù)列共有 個．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
．【解析】（1）設(shè)，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化簡得，
又在中有：，即，
【方法一】∵，
即，所以，所以.
【方法二】∵，
即，所以，所以.
（2）在中有，，，由正弦定理得：，，，
因在中，，，，
所以，，當時，等號成立，∴周長的取值范圍是.
．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若.
（1）求的值；
（2）若的面積為，求周長的取值范圍.

．【解析】（1）∵，當時，，
兩式相減得：，整理得， ……4分
∵，∴，當時，，
∴（舍）或， ……6分
∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則； …… 7分
（2）由（1）知，， ……9分
∴，……10分 由，令，…11分
則時， ……13分
所以，即隨著增大，減小，
所以． ……15分
．已知正項數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為，若恒成立，求的取值范圍．

．【詳解】（1）取弧中點，則，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，連接，在中，，，則，于是，
設(shè)，則，其中，，
因此，即，所以.
（2）由平面平面，得，
又，則，而平面，
則平面，即為平面的一個法向量，
，由平面，得，
又，解得，此時，
設(shè)是平面的法向量，則，取，得，
設(shè)是平面的法向量，則，取，得，
則平面FOD與平面夾角的余弦值為.
（3），
則點到直線的距離，
當時，即的坐標為時，點到直線的距離取最大值為
．如圖所示，半圓柱與四棱錐拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動點，為圓柱的一條母線，點在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，.
(1)求證：；
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求點到直線距離的最大值.

．【詳解】（1）∵漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，
∵點在雙曲線上，∴，所以的方程為；
（2）①當直線中又一條直線的斜率為，另一條直線的斜率不存在是，直線與軸重合，不符合題意；所以直線的斜率均存在且不為，
解法一：Ax1,y1，Bx2,y2，，，設(shè)的方程為，由，得，
∴恒成立，，∴，∵∴
∴，同理
因為、、三點共線，所以，∴
化簡得：；
解法二：設(shè)的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，，，
由，得，則，所以，
所以，則，
所以，同理可得，
因為、、三點共線，所以，
又，所以，
因為，所以；
②，
所以
，
設(shè)，則，
所以，
∴，
∴，故.
．已知雙曲線的中心為坐標原點，漸近線方程為，點在雙曲線上. 互相垂直的兩條直線均過點，且，直線交于兩點，直線交于兩點，分別為弦和的中點.
(1)求的方程；
(2)若直線交軸于點，設(shè).
①求；
②記，，求.

．【詳解】（1），其中 為常數(shù).
而 ，即 ，所以 ，所以.
（2）聯(lián)立 ，解得 ，
當時，，令 ，
則圍成的面積
（3）令 ，
由題意可知，，滿足，
即，即在 上單調(diào)遞增，
進而在 恒成立，在 恒成立. ，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，故；
若，則時，，故在上為減函數(shù)，
故時，，與題設(shè)矛盾；
故.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三步關(guān)鍵在于利用，都滿足，得出函數(shù)在 上單調(diào)遞增，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.
．如果函數(shù) Fx的導(dǎo)數(shù)為，可記為 ，若 ，則表示曲線 y=f(x)，直線 以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積. 如：，其中 為常數(shù)； ，則表 及軸圍成圖形面積為4.
(1)若 ，求 的表達式；
(2)求曲線 與直線 所圍成圖形的面積；
(3)若 ，其中 ，對 ，若，都滿足，求 的取值范圍.

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