（全卷滿分 150 分 考試用時(shí) 120 分鐘）
一、單選題
1. 已知一個(gè)扇形的圓心角為 ，且面積為 ，則該扇形的弧長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由扇形的弧長(zhǎng)和面積公式可直接求解.
【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為 l，圓心角為 ，面積為 S，
由題意得 ，解得 ，
故選：C.
2. 下列說法正確的是（ ）
A. 若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等
B. 兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同
C. 若 ， ，則
D. 向量 與向量 的長(zhǎng)度相等
【答案】D
【解析】
【分析】本題可根據(jù)單位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷.
【詳解】單位向量是指模等于 的向量.若兩個(gè)單位向量平行，它們的方向可能相同或相反.當(dāng)方向相反時(shí)，
這兩個(gè)單位向量并不相等.所以 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的向量，它們的方向不一定相同.向量由大小和方向共同決定，方向不同時(shí)，終
點(diǎn)也不同.比如，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，長(zhǎng)度都為 的向量，一個(gè)沿 軸正方向，一個(gè)沿 軸正方向，它們的終點(diǎn)顯
然不同.所以 B 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
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當(dāng) 時(shí)，對(duì)于任意向量 和 ，都有 且 ，但 與 不一定平行.因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都平
行.所以 C 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
向量 與向量 是方向相反的向量，但它們的長(zhǎng)度是相等的，因?yàn)橄蛄康拈L(zhǎng)度只與向量的大小有關(guān)，與
方向無關(guān).所以 D 選項(xiàng)正確.
故選：D.
3. 已知角 的終邊上有一點(diǎn) ，則 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
分析】由三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式可得答案.
【詳解】由三角函數(shù) 定義，有 .
由誘導(dǎo)公式， .
故選：B.
4. 若關(guān)于 的方程 有兩相異實(shí)根 ，且 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩相異實(shí)根 滿足 得到關(guān)于 的不等式組，再解不等式組可得答案.
【詳解】因?yàn)榉匠?有兩相異實(shí)根 ，且 ，
則 ，解得 .
故選：C.
5. 設(shè) ，則有（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)可得 ， ， .根據(jù)角的范圍和正弦函數(shù)的
單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】 ，
，
，
， ，
即有： .
故選：D
6. 存在函數(shù) 滿足：對(duì)任意 都有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷得解.
【詳解】對(duì)于 A，取 得 ，取 得 ，矛盾，即不存在函數(shù) 滿足，A 不是；
對(duì)于 B，取 得 ，取 得 ，矛盾，即不存在函數(shù) 滿足，B 不是；
對(duì)于 C，取 得 ，取 得 ，矛盾，即不存在函數(shù) 滿足，C 不是；
對(duì)于 D， 為 R 上的增函數(shù)，對(duì)任意 都有唯一的 滿足，則存在函數(shù) 滿
足，D 是.
故選：D
7. 如圖所示，一半徑為 4 米的水輪，水輪圓心 距離水面 2 米，已知水輪每 60 秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)
水輪上點(diǎn) 從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn) ）開始計(jì)時(shí)，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
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A. 點(diǎn) 第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要 20 秒
B. 當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng) 155 秒時(shí)，點(diǎn) 距離水面 1 米
C. 當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng) 50 秒時(shí)，點(diǎn) 在水面下方，距離水面 2 米
D. 點(diǎn) 距離水面的高度 （米）與時(shí)間 （秒）之間的函數(shù)解析式為
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn) 距離水面的高度 （米）與時(shí)間 （秒）之間的函數(shù)解析式為
，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn) 距離水面的高度為 （米）與時(shí)間 （秒）之間的函數(shù)解析式為 ，
，
由題意， ， ，解得 ,
，則 .
當(dāng) 時(shí)， ，則 ，
又 ，則 .
綜上， ，故 D 正確；
令 ，則 ，
若 ，得 秒，故 A 正確；
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當(dāng) 秒時(shí)， 米，故 B 不正確；
當(dāng) 秒時(shí)， 米，故 C 正確.
故選：B.
8. 已知關(guān)于 的不等式 的解集為 ，其中 ，則 的最小值為
（ ）
A. B. 4 C. 5 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)不等式 的解集求出 的值和 的取值范圍，在代入 中利用對(duì)勾函數(shù)的單
調(diào)性求出它的最小值.
【詳解】因?yàn)?的解集為 ，
可知 ，且 ， 是方程 的兩根，
由根與系數(shù)的關(guān)系知 ，
可得 ， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
故 ，
設(shè) ， ，可知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
則 ，所以 的最小值為 5.
故選：C
二、多選題
9. 已知 ，下列式子中正確的有（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于 A， ，故 ，
故 A 成立；
對(duì)于 B， ，故 B 成立；
對(duì)于 C， ，而 ，
故 ，故 C 不成立；
對(duì)于 D， ，故 D 成立，
故選：ABD.
10. 若正實(shí)數(shù) 滿足 ，則下列說法正確的是（ ）
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
【答案】BCD
【解析】
【分析】由已知結(jié)合基本不等式及其變形形式分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.
【詳解】由正實(shí)數(shù) 滿足 ，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，所以
的最大值為 ，故 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由 ，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，所
以 有最大值 ，故 B 選項(xiàng)正確；
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由
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，所以 有最小值 ，
故 C 選項(xiàng)正確；
由 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，
所以 有最小值 ，故 D 選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
11. 把函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)
于 軸對(duì)稱，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
C. 在 是上單調(diào)遞增
D. 若 在區(qū)間 上存在最大值，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù) ，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求 ，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，
所以把 的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)
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的圖象，
因?yàn)?關(guān)于 軸對(duì)稱，所以
又因 ，所以 ，
對(duì) A，所以 ，故 A 正確；
對(duì) B， ，
所以 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì) C，由 ，
當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ，
所以 在 上單調(diào)遞增，故 C 正確；
對(duì) D，若函數(shù) 在 上存在最大值，由選項(xiàng) C 可知， 在 上單調(diào)遞增，
且 ，即 在 時(shí)取得最大值，所以 ，
即實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ，故 D 正確．
故選：ACD.
三、填空題
12. 已知 ，則 ______
【答案】
【解析】
【分析】利用兩角和差的正弦公式聯(lián)立方程組求得 ，然后化切為弦代入
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運(yùn)算即可.
【詳解】根據(jù)題意，由兩角和與差的正弦公式，可得：
， ，
聯(lián)立方程組，可得 ，
所以 ．
故答案 ：
13. 計(jì)算： ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)弦切互化，結(jié)合二倍角公式即可求解.
【詳解】 ．
故答案為：4
14. 已知函數(shù) ， 的最小正周期 ，若函數(shù) 在 上單調(diào)，且關(guān)于直
線 對(duì)稱，則符合要求的 的所有值的和是______.
【答案】 ##5.25
【解析】
【分析】根據(jù)最小正周期求法及 得 ，結(jié)合函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性及對(duì)稱軸有 值為 和 和
，再驗(yàn)證是否符合題設(shè)，即可得答案.
【詳解】函數(shù) 的最小正周期 且 ，得 ，
由于 在 上單調(diào)，該區(qū)間長(zhǎng)度小于等于半個(gè)周期，即 ，得 ，
綜上， ，
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又 關(guān)于直線 對(duì)稱，所以 ，解得 ， ，
在 的范圍內(nèi)，滿足條件的 值為 和 和 ，
驗(yàn)證可知，這三個(gè)值均滿足函數(shù)在 上單調(diào)，
因此，符合要求的 所有值的和為
故答案為：
四、解答題
15. 計(jì)算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及三角函數(shù)的相關(guān)公式來分別計(jì)算兩個(gè)式子的值.
【小問 1 詳解】
計(jì)算
根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，可得 .
根據(jù)根式運(yùn)算法則，可得 .
再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，可得 .
根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，可得 .
將以上結(jié)果代入原式可得：
【小問 2 詳解】
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因?yàn)?，
所以 .
將 展開可得：
.
16. 已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 ，求出相關(guān)的三角函數(shù)值即可求解；
（2）求出相關(guān)角的范圍，利用 ，求解即可.
【小問 1 詳解】
，且 ， ， ，
， ，
且 ， ， ， ，
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；
【小問 2 詳解】
， . ， ，
，∴ ，
， .
17. 已知函數(shù) 的最大值為 ．
（1）求 的值；
（2）求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒 發(fā)現(xiàn)了如下公式： ，其中
，該公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示
值的準(zhǔn)確性．運(yùn)用上述思想，計(jì)算 的值： 結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后 位，參考數(shù)據(jù)：
，
【答案】（1）
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用兩角差的正弦余弦公式，結(jié)合輔助公式化簡(jiǎn)解析式，再根據(jù)函數(shù)最大值為 列方程可求
的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式可求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間；
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（3）先求出 ，再利用泰勒公式求出 的近似值，從而可得答案.
【小問 1 詳解】
，
所以 ，即 ；
【小問 2 詳解】
，
令 ，
即 ， ，
所以函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間 ，
【小問 3 詳解】
因?yàn)?，
所以 ，
由泰勒公式得：
所以 ．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解答本題（3）的關(guān)鍵是對(duì)泰勒公式的理解與應(yīng)用，遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分
析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題
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得以解決.
18. 如圖，一個(gè)直角走廊的寬分別為 a，b，一鐵棒與廊壁成 角，該鐵棒欲通過該直角走廊，求：
（1）鐵棒長(zhǎng)度 L（用含 的表達(dá)式表示）；
（2）當(dāng) 時(shí)，能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)示意圖及三角函數(shù)定義，即可得長(zhǎng)度 L 的表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1）表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得 ，令 ，根據(jù) 范圍，可得 t 的范圍，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得 L 的最小值，即可得答案.
【小問 1 詳解】
作出示意圖，鐵棒 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以
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【小問 2 詳解】
當(dāng) 時(shí)，
令 ，因?yàn)?， ，
所以 ， ，
所以 ，且 上單調(diào)遞增，
所以當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，L 的最小值為 ，
所以能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值為 .
19. 我們將滿足下列條件的函數(shù) 稱為“ 伴隨函數(shù)”：存在一個(gè)正常數(shù) ，對(duì)于任意的 都有
且 .
（1）是否存在正常數(shù) ，使得 是“ 伴隨函數(shù)”？若存在，請(qǐng)求出一個(gè) 的值；若不是，請(qǐng)說
明理由；
（2）已知 是“ 伴隨函數(shù)”，且當(dāng) 時(shí)， .
（i）求當(dāng) 時(shí)， 的解析式；
（ii）若 為方程 在 上的根，求 的值.
【答案】（1）存在一個(gè) 的值為 .
（2）（i） ；（ii）答案見解析
【解析】
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【分析】（1）根據(jù) 以及 即可根據(jù)“ 伴隨函數(shù)”的定義
求解，
（2）根據(jù)“ 伴隨函數(shù)”的定義可得 是周期為 的函數(shù)，即可利用周期性以及對(duì)稱性求解（i），作
出 在 上的圖象如圖所示，根據(jù)周期性結(jié)合圖象，對(duì) 進(jìn)行討論即可求解（ii）.
【小問 1 詳解】
存在正常數(shù) ，使得 是“ 伴隨函數(shù)”.
因?yàn)?，所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
所以存在一個(gè) 的值為 .
【小問 2 詳解】
（i）由 ，得 ，
所以 是周期為 的函數(shù).
由 ，得 ，所以 為 的一條對(duì)稱軸，
當(dāng) 時(shí)， ，所以 .
所以當(dāng) .
（ii）易知 在 上的圖象如圖所示，
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根據(jù)周期性結(jié)合圖象，
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) ，或 ，或 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 或 時(shí)， .
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛新定義問題的求解過程可以模型化，一般解題步驟如下：
第一步：提取信息 — 對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱和符號(hào)，
第二步：加工信息 — 細(xì)細(xì)品味新定義的概念、法則，對(duì)所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法，有時(shí)
可以用學(xué)過的或熟悉的相近知識(shí)進(jìn)行類比，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)
第三步：遷移轉(zhuǎn)化 — 如果是新定義的運(yùn)算法則，直接按照運(yùn)算法則計(jì)算即可，如果是新定義的性質(zhì)，
一般需要理解和轉(zhuǎn)化性質(zhì)的含義，得到性質(zhì)的等價(jià)條件（如等量關(guān)系、圖形的位置關(guān)系等）
第四步：計(jì)算，得結(jié)論 — 結(jié)合題意進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理、計(jì)算，得結(jié)論
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