2. 公理2的推論推論1　經(jīng)過一條直線和 外一點(diǎn),有且只有一個平面.推論2　經(jīng)過兩條 直線,有且只有一個平面.推論3　經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.
空間中直線間的位置關(guān)系
1. 空間兩直線的位置關(guān)系
說明 (1)過平面外一點(diǎn)A和平面內(nèi)一點(diǎn)B的直線,與平面內(nèi)不過點(diǎn)B的直線是異面直線;(2)異面直線既不平行,也不相交;(3)異面直線不具有傳遞性,即若直線a與b異面,b與c異面,則a與c不一定是異面直線.
2. 等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角____________.3. 異面直線所成的角(1)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,如圖,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O,分別作直線a'∥a,b'∥b,a'和b'所成的_____________叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).特別地,當(dāng)兩條異面直線所成的角是_______時,則稱這兩條直線互相垂直.(2)范圍:　 　　.?
空間中直線、平面間的位置關(guān)系
理解自測1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1)過三點(diǎn)確定一個平面. ( )(2)梯形一定是平面圖形. ( )(3)若兩個平面有三個公共點(diǎn),則這兩個平面重合.( ) (4)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.( )(5)若兩個不重合的平面α,β有一條公共直線a,則平面α,β相交,并記作α∩β=a.( )(6)若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線l于A,B,C三點(diǎn),則這四條直線共面.( )
2.[教材改編]若直線a不平行于平面α,且a?α,則下列結(jié)論成立的是 (　　)A.α內(nèi)的所有直線與a異面B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與a平行D.α內(nèi)的直線與a都相交3.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過 (　　)A.點(diǎn)A B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)M
平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用
1.典例 [2020全國卷Ⅱ][理]設(shè)有下列四個命題:p1:兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是　　　　.?　　　　　　　　　　　?、賞1∧p4 ②p1∧p2③?p2∨p3④?p3∨?p4
解析 對于p1,由題意設(shè)直線l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,則A,B,C三點(diǎn)不共線,所以此三點(diǎn)確定一個平面α,則A∈α,B∈α,C∈α,所以AB?α,BC?α,CA?α,即l2?α,l3?α,l1?α,所以p1是真命題.對于p2,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)不共線時,過A,B,C三點(diǎn)有且僅有一個平面;當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時,過A,B,C的平面有無數(shù)個,所以p2是假命題,?p2是真命題.對于p3,若空間兩條直線不相交,則這兩條直線可能平行,也可能異面,所以p3是假命題,?p3是真命題.對于p4,很顯然p4是真命題,則?p4是假命題.故p1∧p4為真命題,p1∧p2為假命題,?p2∨p3為真命題,?p3∨?p4為真命題.綜上可知,真命題的序號是①③④.
2.典例 [截面交線問題]已知ABCD-A1B1C1D1是正方體,在圖 (1)中,E,F分別是D1C1,B1B的中點(diǎn),畫出圖 (1)(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線,并給出證明.
解析 在圖(1)中,過點(diǎn)E作EN∥B1B交CD于點(diǎn)N,連接NB并延長交EF的延長線于點(diǎn)M,連接AM,則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.在圖(2)中,過點(diǎn)C1作C1M∥A1B交DC的延長線于點(diǎn)M,連接BM,則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.
證明如下:在圖(1)中,因?yàn)橹本€EN∥BF,所以B,N,E,F四點(diǎn)共面,因此EF與BN相交,交點(diǎn)為M.因?yàn)镸∈EF,且M∈NB,而EF?平面AEF,NB?平面ABCD,所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A是平面AEF和平面ABCD的公共點(diǎn),故AM為兩平面的交線;在圖(2)中,C1M在平面DCC1D1內(nèi),因此C1M與DC的延長線相交,交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M為平面A1C1B與平面ABCD的公共點(diǎn),又點(diǎn)B是這兩個平面的公共點(diǎn),因此直線BM是兩平面的交線.
方法技巧 1.證明點(diǎn)共線問題的常用方法
2.證明線共點(diǎn)問題的常用方法先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn).
3.證明點(diǎn)、直線共面問題的常用方法
3.變式 (1)以下四個命題中,正確命題的個數(shù)是 ( 　)①不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;②若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.A.0B.1C.2D.3（2)如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.A,M,O三點(diǎn)共線 B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面
解析 (1)①顯然是正確的,可用反證法證明;②若A,B,C三點(diǎn)共線,則A,B,C,D,E五點(diǎn)不一定共面,②不正確;③直線b,c也可能異面,故③不正確;④空間四邊形中四條線段不共面,故④不正確.(2)由ABCD-A1B1C1D1是長方體,易得A1,C1,A,C四點(diǎn)共面.∵M(jìn)∈A1C,A1C?平面ACC1A1,∴M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,∴A,M,O三點(diǎn)共線,故A正確,B,C錯誤.對于D,BB1與OM異面,故D不正確.
空間兩直線的位置關(guān)系
4.典例 已知平面α,β,γ兩兩垂直,直線a,b,c滿足a?α,b?β,c?γ,則直線a,b,c可能滿足以下關(guān)系:①兩兩相交;②兩兩平行;③兩兩異面.其中所有正確結(jié)論的編號是 ( ) A.①②B.②③ C.①③ D.①②③解析 對于①,如圖(1),當(dāng)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b時,直線a,b,c兩兩相交,所以①正確;對于②,如圖(2),假設(shè)a∥b∥c,α∩γ=m,易證m∥b,因?yàn)槠矫姒?β,γ兩兩垂直,所以m⊥β,因?yàn)閎?β,所以m⊥b,這與m∥b相矛盾,所以假設(shè)不成立,所以②不正確;對于③,如圖(3),當(dāng)a,b,c分別平行于平面α與β,β與γ,α與γ的交線時,a,b,c兩兩異面,所以③正確.綜上,正確結(jié)論的編號是①③.
5.典例 [2019全國卷Ⅲ][理]如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則 (　　)A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線
6.變式 若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是 ( )A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交
解析 A項(xiàng),如左圖所示,l2與l相交,故A項(xiàng)錯誤;B項(xiàng),如左圖所示,l1∥l,l1與l不相交,故B項(xiàng)錯誤;C項(xiàng),如右圖所示,l與l1,l2都相交,故C項(xiàng)錯誤;D項(xiàng),假設(shè)l與l1,l2不相交,因?yàn)閘與l1共面且l與l2共面,所以l1∥l∥l2,這與l1,l2為異面直線矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交,故D項(xiàng)正確.
求異面直線所成的角
方法技巧 求異面直線所成角的方法1.平移法具體步驟如下:
立體幾何中的動態(tài)問題
角度1　判斷動點(diǎn)軌跡的形狀9.典例 [2021福州三中6月檢測]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn).若P到直線BC的距離等于它到直線C1D1的距離,則動點(diǎn) P的軌跡所在的曲線是　　　　　　　　　 （ ）　　　A.直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線解析 如圖,連接C1P,過點(diǎn)P作PE⊥BC,E為垂足,易知PC1就是點(diǎn)P到直線C1D1的距離,則PC1=PE, (點(diǎn)P到定點(diǎn)C1的距離與到定直線BC的距離相等)所以動點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C內(nèi)的一段拋物線上.
方法技巧 立體幾何中的動態(tài)問題主要包括空間動點(diǎn)軌跡的判斷、求軌跡的長度或動角的范圍等.解題時一般先判斷動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡形態(tài),再計算軌跡長度或求解動角的取值范圍.
11.變式 [2021湖北聯(lián)考]在三棱錐P-ABC 中,PA⊥AB,PA=4,AB=3,二面角P-AB-C 的大小為30°,在側(cè)面△PAB內(nèi)(含邊界)有一個動點(diǎn)M,滿足M到PA的距離與M到平面ABC的距離相等,則點(diǎn)M的軌跡的長度為　　　　.?解析 如圖,作MO⊥平面ABC,垂足是O,作MD∥PA,交AB于點(diǎn)D.連接OD,則∠MDO是二面角P-AB-C的平面角,所以∠MDO=30°,所以MD=2MO=2d(d是動點(diǎn)M到PA的距離).

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