TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11333" 【題型1 反比例函數圖象的對稱性】 PAGEREF _Tc11333 \h 1
\l "_Tc28605" 【題型2 反比例函數概念、性質的綜合應用】 PAGEREF _Tc28605 \h 6
\l "_Tc1991" 【題型3 兩種函數圖象的共存問題】 PAGEREF _Tc1991 \h 8
\l "_Tc11269" 【題型4 利用反比例函數與一次函數圖象的交點解方程或不等式】 PAGEREF _Tc11269 \h 11
\l "_Tc32549" 【題型5 反比例函數與一次函數的綜合應用】 PAGEREF _Tc32549 \h 18
\l "_Tc30566" 【題型6 反比例函數與幾何圖形的面積的綜合】 PAGEREF _Tc30566 \h 24
\l "_Tc26162" 【題型7 反比例函數的圖象與幾何變換問題】 PAGEREF _Tc26162 \h 32
\l "_Tc19921" 【題型8 與反比例函數的圖象、性質有關的閱讀理解題】 PAGEREF _Tc19921 \h 42
\l "_Tc2780" 【題型9 反比例函數中的存在性問題】 PAGEREF _Tc2780 \h 50
\l "_Tc2103" 【題型10 反比例函數中的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc2103 \h 62
【知識點 反比例函數圖象的對稱性】
（1）中心對稱，對稱中心是坐標原點
（2）軸對稱：對稱軸為直線和直線
【題型1 反比例函數圖象的對稱性】
【例1】（2023春·杭州九年級期末測試）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于 ．

【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，點A3a,?a是反比例函數y=kx的圖象與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為4π，則反比例函數的解析式為 ．
【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經過點A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點C，D，順次連接AB，BC，CD，DA．求證：四邊形ABCD是矩形．
【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，過原點的直線交反比例函數y=ax圖象于P、Q點，過點Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數y=bxx>0的圖象于A、B點，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為 ；且當S△APB=3時，b的值為 ．
【題型2 反比例函數概念、性質的綜合應用】
【例2】（2023春·湖南張家界·九年級統(tǒng)考期中）已知反比例函數y＝（2m+1）xm2?5的圖象在第一、三象限，求m的值．
【變式2-1】（2023春·湖南衡陽·九年級校聯考期中）已知y是x的反比例函數，且函數圖象過點A?3,8．
(1)求y與x的函數關系式；
(2)當x取何值時，y=23．
【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則m的值是 ．
【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學?？计谥校┓幢群瘮祔1=(m+1)x3?m2的圖象如圖所示．
（1）求m的值；
（2）當x＞﹣1時，y的取值范圍是 ；
（3）當直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點（A在B的左邊）時，結合圖象，求出在什么范圍時y2＞y1？
【題型3 兩種函數圖象的共存問題】
【例3】（2023春·四川成都·九年級成都外國語學校?？计谥校┤鬭b＜0，則正比例函數y=ax與反比例函數y=bx在同一坐標系中的大致圖象可能是圖中的（ ）
A．B．
C．D．
【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級校聯考期中）反比例函數y=4x與一次函數y=x+1在同一坐標系中的大致圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【變式3-2】（2023春·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，關于x的函數y=?kx(k≠0)和y＝kx－k，它們在同一坐標系內的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）已知一次函數y＝kx＋b，反比例函數y=kbx（kb≠0），下列能同時正確描述這兩種函數大致圖像的是（ ）
A．B．C．D．
【題型4 利用反比例函數與一次函數圖象的交點解方程或不等式】
【例4】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數y=?x+5與反比例函數y=kx(x>0)的圖象相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為1，該反比例函數的圖象關于直線y=x?1對稱后的圖象經過直線y=?x+5上的點C，則線段AC的長度為 ．

【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）正比例函數y1=2x的圖象與反比例函數y2=kx的圖象有一個交點P的橫坐標是2．
(1)求k的值和兩個函數圖象的另一個交點坐標；
(2)直接寫出y1>y2>0的解集為________________．
(3)根據圖象，直接寫出當?40的圖像交于A，B兩點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．OA=OBB．當A，B兩點重合時，k=4
C．當k=6時，OA=26D．不存在這樣的k使得△AOB是等邊三角形
【變式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函數y=2x圖象上的兩點，動點P(x,0)在x軸正半軸上運動，當|AP?BP|達到最大時，點P的坐標是 ．
【變式5-2】（2023春·江西上饒·九年級校聯考期末）如圖，直線y=?x＋3與坐標軸分別相交于A，B兩點，過A，B兩點作矩形ABCD，AB=2AD，雙曲線y=kx在第一象限經過C，D兩點，則k的值是（ ）
A．6B．274C．272D．27
【變式5-3】（2023春·全國·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸和y軸上，OBOA=2，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點C，與AB交于點D，反比例函數y=kx的圖象過點C，當△ACD面積為1時，k的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【題型6 反比例函數與幾何圖形的面積的綜合】
【例6】（2023春·浙江舟山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB=90°，AO=AB，點C為斜邊OB的中點，反比例函數y=kxk>0, x>0的圖象過點C且交線段AB于點D，連接CD，OD，若S△OCD=32，則S△BCDS△OAD的值為（ ）

A．53B．32C．52D．3
【變式6-1】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸的正半軸上，反比例函數y=kxk>0,x>0的圖象經過菱形對角線OB的中點D和頂點C，若菱形OABC的面積為62，則點C的坐標為 ．

【變式6-2】（2023春·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標為1，0，點D4，4在反比例函數y=kx(x>0)的圖像上，直線y=23x+b經過點C，與y軸交于點E，連接AC、AE．

(1)求k、b的值．
(2)求△ACE的面積．
(3)已知點M在反比例函數y=kx(x>0)的圖像上，點M的橫坐標為m．若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為___________．
【變式6-3】（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=2x+4的圖象與反比例函數y=kx的圖象相交于Aa,?2，B兩點．

(1)求反比例函數的表達式；
(2)點C是反比例函數第一象限圖象上一點，且△ABC的面積是△AOB面積的一半，求點C的橫坐標；
(3)將△AOB在平面內沿某個方向平移得到△DEF(其中點A、O、B的對應點分別是D、E、F)，若D、F同時在反比例函數y=kx的圖象上，求點E的坐標．
【題型7 反比例函數的圖象與幾何變換問題】
【例7】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點P是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點P分別作x軸、y軸的垂線，若由點P、原點O、兩個垂足A、B為頂點的矩形OAPB的周長與面積的數值相等時，則稱點P是平面直角坐標系中的“美好點”．

【嘗試初探】
（1）點C2，3______“美好點”（填“是”或“不是”）；若點D4，b是第一象限內的一個“美好點”，則b=______；
【深入探究】
（2）①若“美好點”Em，6m>0在雙曲線y=kx（k≠0，且k為常數）上，則k=______；
②在①的條件下，F2，n在雙曲線y=kx上，求S△EOF的值；
【拓展延伸】
（3）我們可以從函數的角度研究“美好點”，已知點Px，y是第一象限內的“美好點”．
①求y關于x的函數表達式；
②在圖2的平面直角坐標系中畫出函數圖像的草圖，觀察圖像可知該圖像可由函數______（x>0）的圖像平移得到；
③結合圖像研究性質，下列結論正確的選項是______；（多項選擇）
A．圖象與經過點2，2且平行于坐標軸的直線沒有交點；
B．y隨著x的增大而減?。?br>C．y隨著x的增大而增大；
D．圖像經過點10，32；
④對于圖像上任意一點x，y，代數式2?x?y?2是否為定值？如果是，請求出這個定值，如果不是，請說明理由．
【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期末）九年級某數學興趣小組在學習了反比例函數的圖象與性質后，進一步研究了函數y=2-xx的圖象與性質，其探究過程如下：
(1)繪制函數圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝________；
描點：根據表中各組對應值（x，y），在平面直角坐標系中描出了各點；
連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象．請你把圖象補充完整；
(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題；
①當x＜0時，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”）
②函數y=2-xx的圖象是由函數y=2x的圖象向________平移________個單位長度而得到；
③函數y=2-xx的圖象關于點________成中心對稱；（填點的坐標）
(3)設A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數y=2-xx的圖象上的兩點，且x1+x2=0，試求y1+y2+3的值
【變式7-2】（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，將函數y=kxx>0的圖像T1向左平移4個單位得到函數y=kx+4x>?4的圖像T2，T2與y軸交于點A0,a．
(1)若a=3，求k的值
(2)如圖2，B為x軸正半軸上一點，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點E
①求正方形ABCD的面積；
②直接寫出點E的坐標．
【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學?？计谀┰诔踔须A段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式——利用函數圖象研究其性質——運用函數解決問題”的學習過程，在畫函數圖象時，我們可以通過列表、描點、連線畫函數圖象，也可以利用平移、對稱、旋轉等圖形變換的方法畫出函數圖象，同時，我們也學習了絕對值的意義：a=aa≥0?aa0)是不是王氏函數；
(2)若y=1x (13＜x＜2)是王氏函數，求w的取值范圍；
(3)若y=x3 (a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函數，且w的最大值為27，求a的值．
【題型9 反比例函數中的存在性問題】
【例9】（2023春·福建泉州·九年級?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系中，點A?2,0，點B0,2，直線AB與反比例函數y=kxx>0的圖象在第一象限交于點Ca,4．

(1)求反比例函數的解析式；
(2)如圖2，點E4,m是反比例函數y=kxx>0圖象上一點，連接CE，AE，試問在x軸上是否存在一點D，使△ACD的面積與△ACE的面積相等，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)在（2）的條件下，坐標原點O關于點D的對稱點為G，且點G在x軸的正半軸上，若點M是反比例函數的第一象限圖象上一個動點，連接MG，以MG為邊作正方形MGNF，當頂點F恰好落在直線AB上時，求點M的坐標．
【變式9-1】（2023春·四川成都·九年級成都實外?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x與雙曲線y=kx與相交于A，B兩點（點A在點B的左側）．
(1)當AB=25時，求k的值；
(2)點B關于y軸的對稱點為C，連接AC，BC；
①判斷△ABC的形狀，并說明理由；
②當△ABC的面積等于16時，雙曲線上是否存在一點P，連接AP，BP，使△PAB的面積等于△ABC面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【變式9-2】（2023春·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知反比例函數y=k1x(x>0)的圖象與直線y=k2x+b將于交于A?1,6、B?6,m兩點，直線AB交x軸于點M，點C是x軸正半軸上的一點，

(1)求反比例函數及直線AB的解析式；
(2)若S△ABC=25，求點C的坐標；
(3)若點C的坐標為1,0，點D為x軸上的一點，點E為直線AC上的一點，是否存在點D和點E，使得以點D?E?A?B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出E點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式9-3】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，一次函數y=kx?52k≠0的圖像與y軸交于點B，與反比例函數y=mxx>0的圖像交于點A8,32，點C是線段AB上一點，點C的橫坐標為3，過點C作y軸的平行線與該反比例函數的圖像交于點D，與x軸交于點H，連接OC、OD．
(1)一次函數表達式為_________；反比例函數表達式為_______；
(2)在線段CD上是否存在點E，使點E到OD的距離等于它到x軸的距離？若存在，求點E的坐標，若不存在，請說明理由；
(3)將△OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O'C'D'．
①若點O的對應點O'恰好落在該反比例函數圖像上（如圖2），求出點O'、D'的坐標；
②如圖3，在平移過程中，射線O'C'與x軸交于點F，點Q是平面內任意一點，若以O'、D'、F﹑Q為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點O'的坐標．
【題型10 反比例函數中的規(guī)律問題】
【例10】（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖1～4所示，每個圖中的“7”字形是由若干個邊長相等的正方形拼接而成，“7”字形的一個頂點P落在反比例函數y=1x的圖象上，另“7”字形有兩個頂點落在x軸上，一個頂點落在y軸上．
（1）圖1中的每一個小正方形的面積是 ；
（2）按照圖1→圖2→圖3→圖4→…這樣的規(guī)律拼接下去，第n個圖形中每一個小正方形的面積是 ．（用含n的代數式表示）
【變式10-1】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，點B1在反比例函數y=2x（x＞0）的圖象上，過點B1分別作x軸和y軸的垂線，垂足為C1和A，點C1的坐標為（1，0）取x軸上一點C2（32，0），過點C2分別作x軸的垂線交反比例函數圖象于點B2，過B2作線段B1C1的垂線交B1C1于點A1，依次在x軸上取點C3（2，0），C4（52，0）…按此規(guī)律作矩形，則第n（n≥2，n為整數）個矩形）An-1Cn-1CnBn的面積為 ．
【變式10-2】（2023·山東日照·二模）如圖，已知點A是雙曲線y＝5x在第一象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限內，且隨著點A的運動，點C的橫、縱坐標之間存在一規(guī)律，這個規(guī)律是 ．
【變式10-3】（2023春·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，點B11,33在直線l2:y=33x上，過點B1作A1B1⊥l1交直線l:y=3x于點A1，以A1B1為邊在△OA1B1外側作等邊三角形A1B1C1，過C1的反比例函數為y=k1x；再過點C1作A2B2⊥l1，分別交直線l1和l2于A2,B2兩點，以A2B2為邊在△OA2B2外側作等邊三角形A2B2C2，過C2的反比例函數為y=k2x，…，按此規(guī)律進行下去，則第n個反比例函數的kn= ．（用含n的代數式表示）
專題21.7 反比例函數的圖形與性質（二）【十大題型】
【滬科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11333" 【題型1 反比例函數圖象的對稱性】 PAGEREF _Tc11333 \h 1
\l "_Tc28605" 【題型2 反比例函數概念、性質的綜合應用】 PAGEREF _Tc28605 \h 6
\l "_Tc1991" 【題型3 兩種函數圖象的共存問題】 PAGEREF _Tc1991 \h 8
\l "_Tc11269" 【題型4 利用反比例函數與一次函數圖象的交點解方程或不等式】 PAGEREF _Tc11269 \h 11
\l "_Tc32549" 【題型5 反比例函數與一次函數的綜合應用】 PAGEREF _Tc32549 \h 18
\l "_Tc30566" 【題型6 反比例函數與幾何圖形的面積的綜合】 PAGEREF _Tc30566 \h 24
\l "_Tc26162" 【題型7 反比例函數的圖象與幾何變換問題】 PAGEREF _Tc26162 \h 32
\l "_Tc19921" 【題型8 與反比例函數的圖象、性質有關的閱讀理解題】 PAGEREF _Tc19921 \h 42
\l "_Tc2780" 【題型9 反比例函數中的存在性問題】 PAGEREF _Tc2780 \h 50
\l "_Tc2103" 【題型10 反比例函數中的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc2103 \h 62
【知識點 反比例函數圖象的對稱性】
（1）中心對稱，對稱中心是坐標原點
（2）軸對稱：對稱軸為直線和直線
【題型1 反比例函數圖象的對稱性】
【例1】（2023春·杭州九年級期末測試）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，若正方形的邊長是2，則圖中陰影部分的面積等于 ．

【答案】1
【分析】設反比例函數解析式y(tǒng)=kx，由題意可得：P點坐標為：(1,1)，根據正方形與反比例函數中心對稱的性質，即可求解．
【詳解】解：設反比例函數解析式y(tǒng)=kx，
由題意可得：P點坐標為：(1,1)，
故圖中陰影部分的面積為：1×1=1．
故答案為：1．

【點睛】本題考查了反比例函數的性質，k的幾何意義，中心對稱的性質，熟練掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．
【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，點A3a,?a是反比例函數y=kx的圖象與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為4π，則反比例函數的解析式為 ．
【答案】y=?43x
【分析】首先根據圓的對稱性以及反比例函數的對稱性可得：14πr2=4π，即可求得圓的半徑，再根據兩點間距離公式，可得a2=4，據此即可求解．
【詳解】解：設圓的半徑是r，根據圓的對稱性以及反比例函數的對稱性可得：14πr2=4π，
解得：r=4．
∵點A3a,?a是反比例函y=kx的圖象與⊙O的一個交點．
∴?3a2=k且?3a2+?a2=r，
∴a2=4．
∴k=?3×4=?43，
則反比例函數的解析式是：y=?43x．
故答案為：y=?43x．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象的性質，勾股定理，求反比例函數的解析式，熟練掌握和運用反比例函數圖象的性質是解決本題的關鍵．
【變式1-2】（2023春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經過點A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點C，D，順次連接AB，BC，CD，DA．求證：四邊形ABCD是矩形．
【答案】見解析
【分析】將點A代入y=kxk≠0中求出k，再將點B代入y=2x中，求出點B坐標，求出OA，OB的長，根據對稱性得到OA=OB=OC=OD，即可證明結論．
【詳解】解：將A1,2代入y=kxk≠0中，得：
k=2，
∴y=2x，將B2,m代入y=2x中，
∴m=22=1，即B2,1，
∴OA=12+22=5，OB=12+22=5，
∴OA=OB，
由反比例函數對稱性可得：OA=OC，OB=OD，
即OA=OB=OC=OD，
∴四邊形ABCD是矩形．
【點睛】本題考查了反比例函數圖像上的點，對稱性，矩形的判定，勾股定理，解題的關鍵是求出OA和OB的長，熟練運用矩形的判定定理．
【變式1-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，過原點的直線交反比例函數y=ax圖象于P、Q點，過點Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數y=bxx>0的圖象于A、B點，已知b?a=3，則圖中陰影部分的面積為 ；且當S△APB=3時，b的值為 ．
【答案】 6 92
【分析】連接OA，OB，延長BP交x軸于點C，易求S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32，
由P，Q關于與原點成中心對稱，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面積相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S陰影=6．設點C（m，0）m＞0．則P（m，am），A（m，bm），B（bma,am），即可求得AP＝3m,BP=3ma，利用三角形面積公式得到12AP·BP=12×3m×3ma=3，，解得a＝1．5，進一步求得b=92．
【詳解】
連接PQ，OA，OB，延長BP交x軸于點C，
設點C對應的數為m，m＞0.則P（m，am），B（m，bm）
∴OC=m，PC=am，BC=bm
∴S△POC=12OC×PC＝12a，S△BOC＝12ＯＣ×ＢＣ＝12b
∴S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32
∵P、Q關于原點成中心對稱，
∴OP=OQ
∴S△BPO＝S△BQO
∴S△BPQ＝2S△BOP＝3
同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3
所以S陰影＝S△POP+S△POA=3+3=6
設點C（m，0）m＞0．
則P（m，am），A（m，bm），B（bma，am），
∴AP＝bm?am=3m，BP=bma?m=b?ama=3ma，
∵S△APB＝3，
∴12AP·BP=12×3m×3ma=3，
∴a＝32，
∵b?a＝3，∴b＝92，
故答案為：6，92．
【點睛】本題主要考查了反比例函數系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標的特征，關于原點對稱的點的坐標的性質，三角形的面積．利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．
【題型2 反比例函數概念、性質的綜合應用】
【例2】（2023春·湖南張家界·九年級統(tǒng)考期中）已知反比例函數y＝（2m+1）xm2?5的圖象在第一、三象限，求m的值．
【答案】2
【分析】根據反比例函數的定義可知m2﹣5＝﹣1，又根據圖象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范圍．
【詳解】解：∵y=2m+1xm2?5是反比例函數
∴m2﹣5＝﹣1，
解得：m＝2 或m＝﹣2，
∵反比例函數y=2m+1xm2?5的圖象在第一、三象限，
又 2m+1＞0，解得：m＞?12，
∴m＝2．
【點睛】本題考查反比例函數的定義與圖象性質，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函數的定義以及圖象的性質，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解題的關鍵．
【變式2-1】（2023春·湖南衡陽·九年級校聯考期中）已知y是x的反比例函數，且函數圖象過點A?3,8．
(1)求y與x的函數關系式；
(2)當x取何值時，y=23．
【答案】(1)y=?24x
(2)x=?36
【分析】（1）設該反比例函數的表達式為：y=kxk≠0，將點A代入表達式即可求解；
（2）將y=23代入（1）所求表達式即可求解；
【詳解】（1）解：設該反比例函數的表達式為：y=kxk≠0；
將A?3,8代入y=kx得，
8=k?3，解得k=?24：
∴y=?24x．
（2）將y=23代入y=?24x中，
23=?24x，解得：x=?36．
【點睛】本題主要考查反比例函數，掌握反比例函數相關知識并正確計算是解題的關鍵．
【變式2-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數y=(2m?1)xm2?2的圖象在第二、四象限，則m的值是 ．
【答案】?1
【分析】讓未知數的指數為-1，系數小于0列式求值即可．
【詳解】∵是反比例函數，
∴m2-2=-1，
解得m=1或-1，
∵圖象在第二、四象限，
∴2m-1＜0，
解得m＜0.5，
∴m=-1，
故答案為-1．
【點睛】考查反比例函數的定義及性質：一般形式為y＝kx（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；圖象在二、四象限，比例系數小于0．
【變式2-3】（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學?？计谥校┓幢群瘮祔1=(m+1)x3?m2的圖象如圖所示．
（1）求m的值；
（2）當x＞﹣1時，y的取值范圍是 ；
（3）當直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3?m2交于A、B兩點（A在B的左邊）時，結合圖象，求出在什么范圍時y2＞y1？
【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1
【分析】（1）根據反比例函數的定義以及性質，即可得到m的值；
（2）直接根據反比例函數的圖象進行解答即可．
（3）解析式聯立求得A、B的坐標，然后根據A、B的坐標，然后觀察函數圖象求解．
【詳解】解：（1）反比函數y1=(m+1)x3?m2在二四象限，
∴m+10)圖像向上運動而減??；隨著點M沿著y=16x(x>0)圖像向下運動而增大，
當S△MAE=S△ACE時，12m2m+8?116m+2=6，即m2?7m?8=0，根據十字相乘法對m2?7m?8因式分解得到m?8m+1=0，
∵m>0，1>0
∴m+1>0，
∴根據兩個數（式）相乘結果為0，若其中一個不等于0，則另一個數（式）必定為0，則m?8=0，解得m=8；
∴M8,2，
∴若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為m>8；
②若點M在直線DE左側，?隨著點M沿著y=16x(x>0)圖像向上運動而增大，
當S△MAE=S△ACE時，121?m2m+816m+2=6，即m2+5m?8=0，配方得到m2+5m?8=m+522?574，則m+522=574，直接開平方得m=?52?572或m=?52+572，
∵m>0，
∴m=?52?572舍棄，取m=?52+572
∴若S△MAE>S△ACE，則m的取值范圍為02）；②圖見解析，y=4x；③AB；④是為定值，定值為?4
【分析】（1）直接根據“美好點”的定義可以判斷點C是不是“美好點”，根據“美好點”的定義得到2×4+b=4b，進行計算即可得到b的值；
（2）①根據“美好點”的定義求出m的值，得到E的坐標，將點E代入反比例函數解析式，進行計算即可得到答案；②先由①得出點F的坐標，再用待定系數法求出直線EF的解析式，令直線EF與x軸交于點G，當y=0時，求出點G的坐標，最后根據S△EOF=S△FOG?S△EOG進行計算即可；
（3）①根據“美好點”的定義可得2x+y=xy，化簡整理即可得到答案；②描點連線即可得到圖象，由圖象觀察可知，該圖像可由y=4x平移得到；③先畫出草圖，再根據圖象逐一判斷即可得到答案；④將y=4x?2+2代入2?x?y?2進行計算即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵2+3×2=10≠2×3=6，
∴點C2，3不是“美好點”，
∵點D4，b是第一象限內的一個“美好點”，
∴2×4+b=4b，
解得：b=4，
故答案為：不是，4；
（2）①∵ Em，6m>0是“美好點”，
∴2×m+6=6m，
解得：m=3，
∴E3，6，
將E3，6代入雙曲線y=kx，
得k=18，
故答案為：18；
②∵ F2，n在雙曲線y=kx上，
∴n=182=9，
∴F2，9，
設直線EF的解析式為：y=ax+b，
∴2a+b=93a+b=6，
解得a=?3b=15，
∴直線EF的解析式為：y=?3x+15，
令直線EF與x軸交于點G，
當y=0時，?3x+15=0，
解得：x=5，
∴G5，0，
畫出圖如圖所示：

∴S△EOF=S△FOG?S△EOG=12×5×9?12×5×6=152；
（3）①∵點Px，y是第一象限內的“美好點”，
∴2x+y=xy，
化簡得：y=2xx?2=4x?2+2，
∵第一象限內的點的橫坐標為正，
∴x>02xx?2>0x?2≠0，
解得：x>2，
∴ y關于x的函數表達式為：y=4x?2+2（x>2）；
②畫出草圖如圖所示：

該圖像可由y=4x向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，
故答案為：y=4x；
③由圖象可得：
A.圖象與經過點2，2且平行于坐標軸的直線沒有交點，故A正確，符合題意；
B.由圖象可知y隨著x的增大而減小，故B正確，符合題意；
C.y隨著x的增大而增大，該選項說法錯誤，不符合題意；
D.當x=10時，y=52，所以圖像經過點10，52，故該選項說法錯誤，不符合題意
故選：AB；
④∵ y=4x?2+2，
∴2?xy?2=2?x4x?2+2?2=?4，
∴對于圖像上任意一點x，y，代數式2?x?y?2是為定值，定值為?4．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質、反比例函數的圖象與性質，熟練掌握矩形的性質、反比例函數的圖象與性質，理解“美好點”的定義，是解題的關鍵．
【變式7-1】（2023春·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期末）九年級某數學興趣小組在學習了反比例函數的圖象與性質后，進一步研究了函數y=2-xx的圖象與性質，其探究過程如下：
(1)繪制函數圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝________；
描點：根據表中各組對應值（x，y），在平面直角坐標系中描出了各點；
連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象．請你把圖象補充完整；
(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題；
①當x＜0時，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”）
②函數y=2-xx的圖象是由函數y=2x的圖象向________平移________個單位長度而得到；
③函數y=2-xx的圖象關于點________成中心對稱；（填點的坐標）
(3)設A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數y=2-xx的圖象上的兩點，且x1+x2=0，試求y1+y2+3的值
【答案】(1)0，圖見解析
(2)①減??；②下；1；③0,-1
(3)1
【分析】（1）將x=2代入解析式求出函數值即可；將圖中的點用平滑的曲線進行連接即可；
（2）根據圖象進行解答即可；
（3）將點代入解析式，結合x1+x2=0進行計算即可．
【詳解】（1）解：當x=2時：y=2-22=0，
∴m=0；
如圖：
（2）解：如圖
①當x＜0時，y隨x增大而減小；
②y=2-xx=2x-1，
∴函數y=2-xx的圖象是由函數y=2x的圖象向下平移1個單位長度而得到；
③∵y=2x的圖象關于原點對稱，
∴y=2-xx的圖象關于0,-1對稱；
（3）把A（x1,y1）,B（x2,y2）代入函數y=2-xx得：
y1=2-x1x1=2x1-1， y2=2-x2x2=2x2-1
∵x1+x2=0，
∴y1+y2+3=2x1-1+2x2-1+3=2(x1+x2)x1x2+1=1．
【點睛】本題考查反比例函數的圖象的平移和性質．根據列表、描點、連線畫出函數圖象，根據圖象得到函數的性質是解題的關鍵．
【變式7-2】（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，將函數y=kxx>0的圖像T1向左平移4個單位得到函數y=kx+4x>?4的圖像T2，T2與y軸交于點A0,a．
(1)若a=3，求k的值
(2)如圖2，B為x軸正半軸上一點，以AB為邊，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，線段BC與T2相交于點E
①求正方形ABCD的面積；
②直接寫出點E的坐標．
【答案】(1)k＝12
(2)①正方形ABCD的面積為8；②E?1+17，17?3
【分析】（1）先計算點A平移前的坐標為（4，3），這點在圖象T1上，代入函數y＝kx(x＞0)中可得k的值；
（2）①先根據點A（0，a）可得k＝4a，如圖2，過點D作FM⊥y軸于M，過點C作CF⊥FM于F，證明△DMA≌△AOB（AAS），表示點D和C的坐標，可解答；
②利用待定系數法可得BC的解析式，與平移后的函數關系式聯立方程，解方程可得點E的坐標．
【詳解】（1）解：當a＝3時，A（0，3）
∴點A平移前的點的坐標是（4，3）
∴k＝4×3＝12．
（2）解：①把點A（0，a）代入y＝kx＋4中得：a＝k4，
∴k＝4a，
過點D作FM⊥y軸于M，過點C作CF⊥FM于F，如圖所示：
∴∠DMA＝90°，
∴∠DAM＋∠ADM＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAM＋∠BAO＝90°，
∴∠MDA＝∠BAO，
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴DM＝OA＝a，
當x＝a時，y=4aa=4，
∴AM＝4?a，
同理得：△AMD≌△DFC（AAS），
∴DF＝AM＝4?a，CF＝DM＝a，
∴C（4，4?a），
∴4（4?a）＝4a，
∴a＝2，
∴正方形ABCD的面積＝AD2＝a2＋（4?a）2＝4＋4＝8；
②由①得：B（2，0），C（4，2），
設BC的解析式為：y＝mx＋b，
則2m＋b＝04m＋b＝2，解得：m＝1b＝?2，
∴BC的解析式為：y＝x?2，
∴x?2＝8x＋4，
解得：x=?1±17，
∵點E在第一象限，
∴x=?1+17，
∴E?1+17，17?3．
【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查了反比例函數與一次函數的交點，平移的性質，三角形全等的性質和判定，正方形的性質等知識，作輔助線，構建全等三角形是解本題的關鍵，還體現了方程思想，難度適中．
【變式7-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學?？计谀┰诔踔须A段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式——利用函數圖象研究其性質——運用函數解決問題”的學習過程，在畫函數圖象時，我們可以通過列表、描點、連線畫函數圖象，也可以利用平移、對稱、旋轉等圖形變換的方法畫出函數圖象，同時，我們也學習了絕對值的意義：a=aa≥0?aa

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