平面向量的線性運(yùn)算一般考查基礎(chǔ)的三角形法則，屬于簡(jiǎn)單題目。對(duì)于此類題目可以轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算是高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)，一般考查向量的平行垂直以及夾角問題，容易與充要條件相結(jié)合，考查比較簡(jiǎn)單，但是屬于易錯(cuò)點(diǎn)。
二、考點(diǎn)分析
考點(diǎn)01 平面向量概念及線性運(yùn)算
考點(diǎn)02 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
考點(diǎn)03 平面向量的數(shù)量積及夾角問題
三、命題分析
2024年天津卷對(duì)于平面向量的考查還是放在了填空題的第14題，與往年類似，考查內(nèi)容是平面向量與幾何圖形的綜合題，運(yùn)用基底法和坐標(biāo)法都可以比較方便的解決。根據(jù)天津卷出題風(fēng)格的轉(zhuǎn)變轉(zhuǎn)變，對(duì)于平面向量的復(fù)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)該予以擴(kuò)大，不能再局限于以往的典型題。預(yù)計(jì)2025年高考中平面向量依然會(huì)以填空題的形式出現(xiàn)。
2024天津各區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編—專題十四平面向量
1.（2024和平一模）青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，代表了我國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國(guó)瓷器的主流品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱請(qǐng)用表示__________；請(qǐng)寫出的取值范圍__________.
2.(2024河西一模）在中，D是AC邊的中點(diǎn)，，，，則__________；設(shè)M為平面上一點(diǎn)，且，其中，則的最小值為__________.
3.（2024南開一模）平面四邊形ABCD中，，E為BC的中點(diǎn)，用和表示__________；若，則的最小值為__________
4.（2024九校聯(lián)考一模）在梯形ABCD中，，且，M，N分別為線段DC和AB的中點(diǎn)，若，，用，表示__________若，則余弦值的最小值為__________.
5.（2024濱海新區(qū)三模）在平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊DC上，滿足，則向量在向量上的投影向量為______請(qǐng)用表示；若，點(diǎn)M，N分別為線段AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值為______.
6.（2024部分區(qū)二模）在中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)設(shè)，，則可用，表示為______，若，，則面積的最大值為______．
7.（2024耀華一模）如圖，在中，，，，D是邊BC上一點(diǎn)，且若，記，則______；若點(diǎn) P滿足與共線，，則的值為______.
8（2024河?xùn)|二模）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，正方形EFGH邊長(zhǎng)為1，則的值為______.若在線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，則的最小值為______.
9.（2024河西三模）如圖，動(dòng)點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上異于A，，，，，______；的最大值為______.
10.（2024紅橋一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，E為CD的中點(diǎn)，P為線段AE上一點(diǎn)，且滿足，則__________；若?ABCD的面積為，則的最小值為__________.
11.（2024北辰三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
12.（2024耀華二模）已知中，，，記，則_________；若，當(dāng)最大時(shí)，___________.
13.（2024河北二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若（且），則在上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
14. （2024南開二模）已知在平行四邊形中，，，記，，用和表示___________；若，，則值為___________.
15.（2024河西二模）在四邊形中，，，，，，E、F分別為線段、的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為____________；___________.
16.（2024紅橋二模）太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個(gè)對(duì)稱的半圓弧組成的，線段MN過點(diǎn)O且兩端點(diǎn)M，N分別在兩個(gè)半圓上，點(diǎn)P是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，令，，若，則__________；的最小值為__________.
2024天津各區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編—專題十四平面向量答案
1.【答案】 ；
【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算可直接得到結(jié)果；
根據(jù)向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，可將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為；根據(jù)正六邊形性質(zhì)可求得的范圍，由此可得結(jié)果.
【詳解】在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，為AB中點(diǎn)，；
；
當(dāng)M為正六邊形頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值；當(dāng)OM與正六邊形的邊垂直時(shí)，取得最小值；
六邊形為正六邊形，為正三角形，；
作，則F為DE中點(diǎn)，；
，即的取值范圍為
故答案為：；
2.【答案】4 ；
【解析】【分析】
本題考查利用向量的數(shù)量積求向量的模，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于較難題.
以為基底，由，求出；建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算把表示為關(guān)于t的函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.
【解答】
解：中，D是AC邊的中點(diǎn)，
，，
，
解得，即；
中，，，，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，C點(diǎn)在第一象限，建立如圖所示為平面直角坐標(biāo)系，

則有，
設(shè)，
由，
得，
解得，，
即，
則有，，
，
則當(dāng)時(shí)，有最小值
故答案為：4；
3.【答案】 ；
【解析】【分析】
本題考查向量的數(shù)量積的概念及其運(yùn)算，用基底表示平面向量，屬于中檔題.
由向量的加減法運(yùn)算求解第一個(gè)空，利用平面向量定理結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律求解第二個(gè)空.
【解答】
解：因?yàn)椋?br>故；
為等邊三角形，
則
，
若，則D在以E為圓心的圓上且在直線AC的左側(cè)部分運(yùn)動(dòng)，方可取到最小，
，
易知時(shí)取得最小值，
故的最小值為
故答案為：；
4.【答案】 ；
【解析】【分析】
本題主要考查了平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式，屬于中檔題.
使用向量線性運(yùn)算求解即可得；
以 與 為基底，用數(shù)量積的形式表示出 ，再由基本不等式求解即可．
【解答】
解：如圖，由已知，
.
.
設(shè) ，即 與 的夾角為 ，
，
若 ，則 ，
，
又 ， ，由基本不等式，
得 .
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立．
故答案為： ； .
5.【答案】
【解析】解：由，知，
因?yàn)椋?br>所以，
所以向量在向量上的投影向量為；
若，則，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，則，，
所以，，
所以，，
所以，是關(guān)于t的開口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最小值
故答案為：；
由向量在向量上的投影向量為，根據(jù)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則，求解即可；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，用含t的式子表示出點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，求解即可．
本題考查平面向量的運(yùn)算，熟練掌握投影向量的含義與求法，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
6.【答案】
【解析】解：是的中點(diǎn)，，
，，
；
設(shè)，則，
在上，，解得，
，，
，分別為，，所對(duì)邊
，
，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
，，
．
故答案為：；．
第一空，直接由向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；第二空，用向量表示向量，即可求出的模，設(shè)，，分別為，，所對(duì)邊，由的模表示出，的關(guān)系，利用基本不等式即可求解面積的最大值．
本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
7.【答案】 或
【解析】解：由已知圖形可知，
又，則，
；
若點(diǎn)P滿足與共線，設(shè)，
，
由，得
，，，
代入整理得：，
解得：或
的值為或
故答案為：；或
由已知把用、線性表示，即可求得；設(shè)，再把、用、線性表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算列關(guān)于m的方程求解．
本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
8.【答案】
【解析】解：由已知得正方形ABCD與正方形EFGH的中心重合，不妨設(shè)為O，
所以，，
則；
，顯然，當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，，
所以
故答案為：6；
易知正方形ABCD與正方形EFGH的中心重合，設(shè)為O，然后將涉及到的向量用，或來表示，則問題可解．
本題考查平面向量基本定理與數(shù)量積的計(jì)算，屬于中檔題．
9.【答案】
【解析】解：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，，
所以，
設(shè)，則，
作交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
在中，由余弦定理得：，
所以，即，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以
故答案為：2；
由平面向量的線性運(yùn)算和模的求法計(jì)算即可求得第一空；作輔助線，借助平面向量數(shù)量積的幾何意義即可求得第二空．
本題考查平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的幾何意義，屬于中檔題．
10.【答案】
【解析】解：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，，
所以，
設(shè)，則，
作交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
在中，由余弦定理得：，
所以，即，
因?yàn)椋?，所以?br>所以
故答案為：2；
由平面向量的線性運(yùn)算和模的求法計(jì)算即可求得第一空；作輔助線，借助平面向量數(shù)量積的幾何意義即可求得第二空．
本題考查平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的幾何意義，屬于中檔題．
11.【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角形外心性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義，可得在方向上的投影向量為，從而求得，再根據(jù)余弦定理及基本不等式可求得最值．
【詳解】由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，
則，故，
又，設(shè)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由可知，，
故的最大值為．
故選：A．
12.【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】用基底和表示，即可求得；建立平面直角坐標(biāo)系，用向量方法表示出，求解最小，即可得到最大時(shí).
【詳解】
因?yàn)椋裕?br>，
所以，；
因?yàn)?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，則，，則，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，，最小，最大，
所以當(dāng)最大時(shí)，.
故答案為：，.
13.【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結(jié)合，即可求解．
【詳解】設(shè)，（且），
則（且），
則在線段上，如圖所示，

當(dāng)與重合時(shí)，在上的投影向量的長(zhǎng)度取得最大值，最大值為；
當(dāng)與重合時(shí)，在上的投影向量的長(zhǎng)度取得最小值，最大值為；
則在上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是．
故選：B.
14.【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】對(duì)于空1，由得，結(jié)合即可得解；對(duì)于空2，利用已知條件將向量和轉(zhuǎn)換成向量和來表示即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以；
因?yàn)?，所以?br>所以，
故，即，
又，
故，即，
因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：；.
15.【答案】
16.【答案】【答案】 ； 0
【解析】【分析】
本題考查向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.
第一空結(jié)合圖形由向量的線性運(yùn)算可得；
第二空先由向量的線性運(yùn)算得到，再當(dāng)取得最大值時(shí)計(jì)算可得.
【解答】
解：由圓的對(duì)稱性可得O為MN的中點(diǎn)，
所以
，
則；
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以當(dāng)取得最大值2時(shí)，的最小值為
故答案為：；

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