（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
第II卷（非選擇題）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
10． 11． 12．
13． 14. ； /
15.
三、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
16．（14分）
【答案】(1)
(2)，
【知識點】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】（1）利用平行向量的坐標(biāo)關(guān)系得，結(jié)合正弦定理與角度關(guān)系，即可得角；
（2）根據(jù)余弦定理求得邊長，再利用面積公式求解即可.
【詳解】（1）因為向量，，且
所以，由正弦定理得，
又，則，顯然，
則，又，所以.
（2）由余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
所以的面積.
17．（15分）
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法、證明線面平行
【分析】（1） 根據(jù)空間向量法結(jié)合線面平行判定定理證明；
（2）應(yīng)用空間向量法求出線面角正弦值.
【詳解】（1）

依題意，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
可得，，，，，，.
因為，，，
設(shè)為平面的法向量，
則即，
不妨令x=1，可得為平面的一個法向量，
，則，又平面，
則平面；
（2）因為，，，
設(shè)為平面的法向量，
則即，
不妨令，可得為平面的一個法向量，
則，
則直線與平面所成角的正弦值為.
18．（15分）
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍
【分析】（1）由題意可得出關(guān)于的方程組，解出這三個量的值，可得出橢圓的方程；
（2）由題可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出線段的中點的坐標(biāo)，求出線段的垂直平分線的方程，可求得點的坐標(biāo)，由可得，利用兩點間的距離公式可求得的值.
【詳解】（1）由題設(shè)得，解得，，，
所以橢圓的方程為.
（2）
由，得，
由，得，
設(shè)Ax1,y1、Bx2,y2，則，，
所以點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，
所以直線的方程為，
令，則點的縱坐標(biāo)，則，
因為，所以點、點在原點兩側(cè)，
因為，所以，所以，
又因為，，
所以，解得，所以.
19．（15分）
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】錯位相減法求和、根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)、利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】（1）根據(jù)條件得到，從而得出數(shù)列從第二項起，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，得出時，，再利用錯位相減法，即可求出時，，進(jìn)而可求出結(jié)果；
（3）將問題轉(zhuǎn)化成，當(dāng)時，，當(dāng)時，通過構(gòu)造，利用數(shù)列的單調(diào)性，得出，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因為①，
當(dāng)時，②，
由①②得，整理得到，
又由，當(dāng)時，得到，即，
故數(shù)列從第二項起，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以，即，又時，，
所以.
（2）由（1）知，當(dāng)時，，
當(dāng)時，③，
④，
由③④得到，
整理得，又時，，
所以.
（3）因為，等價于，當(dāng)時，，
由（1）知，當(dāng)時，，
設(shè)，則對恒成立，
所以，故當(dāng)時，，又，
所以.
20．（16分）
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【知識點】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)定義域為，分參數(shù)，來討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可；
（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出兩條切線，聯(lián)立切線得到的表達(dá)式，為證明題干只需證明，然后轉(zhuǎn)化成雙變量問題的不等式處理，接著通過換元：，把雙變量問題轉(zhuǎn)化成單變量問題解決；
（3）利用（1）的結(jié)論進(jìn)行輔助證明.
【詳解】（1）的定義域為，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，又因為，可解得
單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減；
（2）因為函數(shù)有兩個零點,而單調(diào)函數(shù)至多只有一個零點，根據(jù)（1）可知.
， 所以曲線在和處的切線分別是：
.
聯(lián)立兩條切線解得：.
要證小于和的等差中項，即證，整理得：
由題意得
即證
令，即證.
令.
所以在單調(diào)遞減，所以
所以得證，故小于和的等差中項得證.
（3）由（1）知當(dāng)時，所以，即 .
即當(dāng)時，，將不等式累加后，得到：
，
即.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
D
B
B
D
D.
B
B
B

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