已知數(shù)列為M數(shù)列，當時.
ⅰ求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項公式；
ⅱ，求
若是M數(shù)列，且，證明：存在正整數(shù)使得
2.(2024河西一模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列為等比數(shù)列，且滿足，
求數(shù)列和的通項公式；
求證：；
求的值．
3.（2024南開一模）在正項等比數(shù)列中，
求的通項公式：
已知函數(shù)，數(shù)列滿足：
求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式
設，證明：，
4.（2024九校聯(lián)考一模）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，
求的通項公式；
證明：當時，
5.（2024濱海新區(qū)三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，
Ⅰ求，的通項公式；
Ⅱ數(shù)列，的所有項按照“當n為奇數(shù)時，放在的前面；當n為偶數(shù)時，放在的前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列：，，，，，，，?，求數(shù)列的前7項和及前項和；
Ⅲ是否存在數(shù)列，滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項公式，若不存在，請說明理由.
6.（2024部分區(qū)二模）已知是等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項和為，且，
Ⅰ求和的通項公式；
Ⅱ求；
Ⅲ設數(shù)列滿足，證明：．
7.（2024耀華一模）有n個首項為1的等差數(shù)列，設第m個數(shù)列的k項為…，n，，公差為，并且，，，…，成等差數(shù)列.
當時，求，，以及；
證明是m的多項式，并求的值；
當，時，將數(shù)列分組如下：，，，…每組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設前m組中所有數(shù)之和為，，求數(shù)列的前n項和
8（2024河東二模）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，正項數(shù)列的前n項和為，且
求數(shù)列和的通項公式；
在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入n個數(shù)，，?，，使，，，?，，成等差數(shù)列.
ⅰ求；
ⅱ求的值.
9.（2024河西三模）已知遞增數(shù)列的前n項和為，且，
Ⅰ求數(shù)列的通項公式；
Ⅱ設，
求數(shù)列的通項公式；
求
10.（2024紅橋一模）已知為數(shù)列的前n項和，且滿足，其中，且
Ⅰ求數(shù)列的通項公式；
Ⅱ設，若對任意的，都有，求實數(shù)m的取值范圍.
11.（2024北辰三模）已知為等差數(shù)列，前項和為，若，；數(shù)列滿足：，.
（1）求和的通項公式；
（2）對任意的，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項的個數(shù)記為.
（i）求；
（ii）記，的前項和記為，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
12.（2024耀華二模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項和，，且.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）設，，求數(shù)列的前項和；
（3）設，求的前項和；
13.（2024河北二模）已知是等差數(shù)列，其前項和為是等比數(shù)列，已知，是和的等比中項.
（1）求和的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和；
（3）記，求證：.
14. （2024南開二模）已知是等差數(shù)列，公差，，且是與的等比中項.
（1）求的通項公式
（2）數(shù)列滿足，且.
（?。┣蟮那皀項和.
（ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等差數(shù)列，若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.
15.（2024河西二模）已知數(shù)列的首項，且滿足，的前項和為.
（I）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）在數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式及.
16.（2024紅橋二模）已知是等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，
求數(shù)列的通項公式；
設，
ⅰ求；
ⅱ求
2024天津各區(qū)高考數(shù)學模擬卷分類匯編—專題十九數(shù)列答案
1.【答案】解：
ⅰ由，可得，
所以數(shù)列是首項為公差為1的等差數(shù)列，
所以，
又因為，所以
ⅱ，
設，，
，，
所以，
若是M數(shù)列，有，
故，且，
即
，
則
，
由隨n的增大而增大，
若，可得，
因為，故對任意的，總存在正整數(shù)n使，
即總存在正整數(shù)n，使得

【解析】ⅰ根據(jù)等差數(shù)列定義即可證明并寫出通項公式ⅱ分組求和得出，利用裂項相消法求解即可；
求出，利用放縮法可得，相加相消即可，據(jù)此即可得證.
關鍵點點睛：本題解題中，對求和要求較高，裂項相消法求和是解決問題的關鍵，其次利用放縮法適當放縮，繼續(xù)利用裂項相消法是證明的關鍵.
2.【答案】解：由，得①，
則②，
②-①得，
整理得，
由，得，
又時，，
解得，
所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
則，
即數(shù)列的通項公式為；
設等比數(shù)列 的公比為q，
由，
得，，
則，
，
解得，則，
即數(shù)列的通項公式為；
證明：由，
得，
則
，
所以；
設，
，
，
設，，
則，
，
兩式相減，得
，
則有，
所以，
所以
3.【答案】解：因為正項等比數(shù)列中，，所以 ，
又因為，所以，進而公比，所以， ；
因為，
所以，所以，
所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，
所以，即 ；
，
當時，左式，右式，左式=右式，
當時，
，
下面先證明，
，
令，，
，
，，又，
，即，又，
所以，
，
所以
，
即 ，
綜上：當時，

【解析】本題考查數(shù)列與不等式，等差數(shù)列的判定或證明，等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式，屬于較難題.
根據(jù)等比數(shù)列基本量運算求得，求得結(jié)果；
由代入函數(shù)解析式運算得，得解；
當時，易判斷結(jié)論成立，當時，先證明，借此將裂項，放縮證明，再根據(jù)裂項相消法求和得證.
4.【答案】解：設數(shù)列的公差為d，
由題意知：，即，解得
由知，
，，
當n為偶數(shù)時，
當n為奇數(shù)時，，
當n為偶數(shù)且時，即時，
，
當n為奇數(shù)且時，即時，
當時，

【解析】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式等.
由已知，，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式展開，即可得出等差數(shù)列的首項，公差，進而得出通項公式
由知，可得，數(shù)列的通項公式，進而，分兩情況討論，當n為偶數(shù)時，中含有偶數(shù)項，相鄰兩項兩兩一組先求和，得出當n為奇數(shù)時，為偶數(shù)，此時最后只需證明即可.
5.【答案】解：Ⅰ設等差數(shù)列的公差為d，，，
可知，所以，
又，所以數(shù)列的公差，
所以，
設等比數(shù)列的公比為q，因為，，
所以，，
解得，聯(lián)立得，
解得或舍去，代入中，解得，
故數(shù)列的通項公式為；
Ⅱ由題意，
…
……
；
Ⅲ假設存在數(shù)列，滿足等式，
則由可得，
①，
當時，…②，
①②兩式相減得：，
當時，也符合③，
所以，對于都成立，
又當時④成立，
則③④兩式相減得：，經(jīng)檢驗也符合，
故存在
【解析】Ⅰ利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解；
Ⅱ由題意結(jié)合Ⅰ，利用分組求和分可求得即可得解；
Ⅲ由結(jié)合Ⅰ可得①，當時，…②，兩式相減得即可求解．
本題考查了數(shù)列的通項和求和的綜合應用，屬于難題．
6.【答案】解：Ⅰ設的公差為，由題意，，
，，
所以，
當時，，
所以，所以，
當時，，，，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以；
證明：Ⅱ


；
Ⅲ，
所以，
設，
則

，
所以，
因為，所以，
所以．
【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求，結(jié)合和與項的遞推關系可求；
Ⅱ由已知利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解；
Ⅲ結(jié)合不等式性質(zhì)可得，，然后利用不等式放縮及錯位相減求和即可證明．
本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，求和公式的應用，還考查了錯位相減求和方法的應用，屬于難題．
7.【答案】解：當時，由題意可知
，，
由題意知，：Ⅰ由題意知
則，
同理，，，…，
又因為，，，成等差數(shù)列，所以…
故…，即是公差為的等差數(shù)列．
所以，
令，，則，此時
當，時，
數(shù)列分組如下：，，，
按分組規(guī)律，第m組中有個奇數(shù)，
所以第1組到第m組共有…個奇數(shù)．
注意到前k個奇數(shù)的和為…，
所以前個奇數(shù)的和為
即前m組中所有數(shù)之和為，所以
因為，所以，從而
所以…①
…②
②-①得：…

【解析】當時，由題意可知，，代入等差數(shù)列的通項公式可求
先根據(jù)首項和公差寫出數(shù)列的通項公式，利用通項公式表示出數(shù)列，，，…，中的第1項減第2項，第3項減第4項，…，第n項減第項，由此數(shù)列也為等差數(shù)列得到表示出的差都相等，進而得到是首項，公差為的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式表示出的通項，令，求出即可；
由，，代入可確定出的通項，根據(jù)題意的分組規(guī)律，得到第m組中有個奇數(shù)，所以第1組到第m組共有從1加到個奇數(shù)，利用等差數(shù)列的前n項和公式表示出和，從而表示出前個奇數(shù)的和，又前m組中所有數(shù)之和為，即可得到，從而可確定出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減可求和
本題考查學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式化簡求值，會利用錯位相減的方法求數(shù)列的通項公式，考查了利用函數(shù)的思想解決實際問題的能力，是一道難題．
8.【答案】解：設數(shù)列的公差為d，
由題意知，，因為，
所以，解得，
所以；
因為數(shù)列的前n項和為，且滿足，
所以當時，，
當時，，
驗證，當時，，滿足上式，
故；
ⅰ在和之間插入n個數(shù)，，?，，使，，，?，，成等差數(shù)列，
設公差為，則，
所以；
ⅱ設，
則，
設，
所以，
…，
兩式相減得，，
所以
【解析】本題考查數(shù)列的通項公式與前n項和的求法，錯位相減法求和，屬于較難題．
根據(jù)等差數(shù)列基本量的運算求得公差d，再由等差數(shù)列的通項公式可得；利用求，即可，注意檢驗的情形；
ⅰ設等差數(shù)列，，，?，，的公差為，結(jié)合與等差數(shù)列的通項公式，可得；
ⅱ利用等差數(shù)列的前n項和公式求得，再采用錯位相減法，求解即可．
9.【答案】解：Ⅰ由，，可得，解得，
時，由且，，可得，
兩式相減可得，
化為，
由數(shù)列遞增，可得，即數(shù)列是首項和公差均為2的等差數(shù)列，
則；
Ⅱ由，
可得
；
，
則
【解析】Ⅰ由數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義、通項公式，可得所求；
Ⅱ推得，再由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得所求；
運用數(shù)列的裂項相消求和，化簡可得所求和．
本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義、通項公式和組合數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的裂項相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．
10.【答案】解：Ⅰ由，
當時，
，
所以；
當時，
，
所以，
所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以，
當時，也符合，
故數(shù)列的通項公式為；
Ⅱ由Ⅰ得，
，
則，
故
，
，
而隨n的增大而減小，
所以，
隨n的增大而增大，
所以，
因為對任意的，都有，
所以，即實數(shù)m的取值范圍為
【解析】本題考查數(shù)列通項公式的求法以及數(shù)列的前n項和，數(shù)列的增減性，考查運算求解能力，屬于中檔題．
Ⅰ根據(jù)與的關系求解即可；
Ⅱ易得，再分別求得，利用數(shù)列的增減性即可得解．
11.【答案】（1），
（2）（i）（ii）存在
【解析】
【分析】（1）的通項通過基本量法求解，的通項通過令，兩式作商求解.
（2）（i）求出即可得出答案；
（ii）根據(jù)題意求出和的關系，在利用取值范圍求出和.
【小問1詳解】
，
所以，
①
當時，令得：②
①②得：，所以是公差為的等差數(shù)列，
當時有：，所以
小問2詳解】
（i）
因為，所以，所以
（ii），把代入得：，
所以，，
所以
因為，，所以，
當時，（舍去），當時，（舍去），
當時，，所以存在，.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列等差數(shù)列的基本量計算，數(shù)列與不等式的綜合應用.解題的關鍵是設出公差，列式求解求得，進而通過得求出，此外，對于探究性問題，一般解法是先假設存在，再根據(jù)已知條件推出結(jié)論或矛盾，本題在解答過程中核心是借助化簡整理得.考查數(shù)學運算求解能力，邏輯推理能力.
12.【答案】（1）；；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列定義和等比數(shù)列通項公式可構(gòu)造方程求得公比，進而得到，由等比數(shù)列通項公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法可求得結(jié)果；
（3）由（1）可得，進而整理得到，將相鄰兩項看作一組，采用分組求和的方式，分別根據(jù)等差數(shù)列求和公式和錯位相減法求得兩個部分的和，由此可得.
【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，
，，成等差數(shù)列，，即，
，，解得：或（舍）；
，，即，解得：，；
當時，，整理可得：，
；
經(jīng)檢驗，當時，滿足，
綜上所述：.
（2）由（1）得：，
；
（3）由（1）得：，
，
令，則其前項和；
令，
則其前項和，
，
，，
.
【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)列通項和求和相關問題的求解，涉及到求和方法中的分組求和、裂項相消法和錯位相減法的應用，其中錯位相減法的基本步驟如下：
①列出的形式；
②左右兩側(cè)同乘通項中的等比部分的公比，得到；
③上下兩式作差得到，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可整理等式右側(cè)的部分；
④整理所得式子求得.
13.【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中項、求出；
（2）利用錯位相減法求出；
（3）利用放縮法求和可得答案.
【小問1詳解】
由題意，
，
又是和的等比中項，得，
又，解得，
；
【小問2詳解】
，
設，
則，
將以上兩式相減得
，
；
【小問3詳解】
，
，
.
結(jié)論得證.
14.【答案】（1）
（2）（?。?；（ⅱ）存在，，．
【解析】
【分析】（1）由等差中項得到，由等比中項得到，解出，求得的通項公式；
（2）（?。└鶕?jù)，由累加法得到數(shù)列的通項公式進而得到數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和；
（ⅱ）假設存在，分別表示出，，，由等差中項得到，得到或，解得，符合題意.
【小問1詳解】
因為為等差數(shù)列，且，所以．
又是與的等比中項，所以，即．
化簡得，解得或（舍），
所以．
【小問2詳解】
（i）由，得，所以（），又，
當時，
，
又也適合上式，所以，
則，
所以．
（ⅱ）假設存在正整數(shù)m，n，使得，，成等差數(shù)列，
則，即，整理得，
顯然是25的正約數(shù)，又，則或，
當，即時，與矛盾；
當，即時，，符合題意，
所以存在正整數(shù)使得，，成等差數(shù)列，此時，．
【點睛】方法點睛：裂項相消法求和常見的裂項方法
（1），特別地當時，；
（2），特別地當時，；
（3）
（4）
（5）
15.【答案】（I）證明：∵，∴，
即，又，
∴數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴，.
（Ⅱ）解：，
∴，
由，得，
∴恒成立，
，當時等號成立，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（III）解：由，，
∴，
數(shù)列的奇數(shù)項是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項為以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，
∴
設，
，
兩式相減，得，
∴，
所以.
16.【答案】【答案】解：設的首項為，公差為d，的公比為q，
因為，，
所以，
解得或舍，
所以，即，
所以，
又，，
即，
解得，
所以，即；
ⅰ因為，
則，
則
；
ⅱ因為
，
所以

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和，分組法求和，屬于較難題.
利用遞推公式，等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)解方程即可求出、d、q，再由基本量法寫出通項即可；
ⅰ先化簡可得由累乘法求出即可；
ⅱ先裂項化簡可得，再用分組求和即可.

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