TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10708" 【題型1 數(shù)字類規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc10708 \h 1
\l "_Tc17006" 【題型2 四則運(yùn)算中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc17006 \h 2
\l "_Tc26306" 【題型3 乘方中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc26306 \h 2
\l "_Tc24209" 【題型4 周期中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc24209 \h 3
\l "_Tc31542" 【題型5 遞進(jìn)中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc31542 \h 4
\l "_Tc16832" 【題型6 表格中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc16832 \h 5
\l "_Tc24232" 【題型7 圖形中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc24232 \h 6
\l "_Tc9358" 【題型8 新定義中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc9358 \h 8
【題型1 數(shù)字類規(guī)律探究】
【例1】（23-24七年級(jí)·黑龍江綏化·階段練習(xí)）觀察一組按規(guī)律排列的數(shù)：1，2，4，8，16，…，則第2024個(gè)數(shù)是（ ）．
A．22024B．22024?1C．22023D．以上答案都不對(duì)
【變式1-1】（23-24七年級(jí)·陜西商洛·期末）觀察下面一列數(shù)：
按照此規(guī)律第9組的兩數(shù)之和為 ．
【變式1-2】（23-24七年級(jí)·山東濱州·階段練習(xí)）一組按規(guī)律排列的數(shù)?14，39，?516，725，?936…第9個(gè)數(shù)是 ．
【變式1-3】（23-24七年級(jí)·廣西崇左·期末）如圖，在各正方形中的四位數(shù)之間有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（ ）.
A．16,257B．16,91C．10,101D．10,161
【題型2 四則運(yùn)算中的規(guī)律探究】
【例2】（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知：11×2=1?12，12×3=12?13，13×4=13?14，14×5=14?15，…
(1)用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 ；
(2)按照上面算式的規(guī)律計(jì)算：21×2+22×3+23×4+?+22017×2018的值．
【變式2-1】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）觀察以下等式：第1個(gè)等式：21?32=12；第2個(gè)等式32?56=23；第3個(gè)等式43?712=34；第4個(gè)等式54?920=45；……；按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個(gè)等式 ；
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式 （用含n的等式表示）.
【變式2-2】（23-24七年級(jí)·寧夏銀川·期中）觀察下列各式：
1?122=34=12×32；1?132=89=23×43；1?142=1516=34×54；1?152=2425=45×65；…．
(1)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫下列式子的結(jié)果：1?1102=( )100=( )10×( )10；
(2)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1?122×1?132×1?12×?×1?11002．
【變式2-3】（2024七年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52
…
(1)請(qǐng)你找出規(guī)律并計(jì)算7×9+1= =( )2
(2)用含有n的式子表示上面的規(guī)律： ．
(3)用找到的規(guī)律解決下面的問題：
計(jì)算：(1+11×3)(1+12×4)(1+13×5)(1+14×6)…(1+19×11)= ．
【題型3 乘方中的規(guī)律探究】
【例3】（23-24七年級(jí)·山東青島·階段練習(xí)）如圖，觀察由棱長(zhǎng)為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：如圖①中：共有1個(gè)小立方體，0個(gè)看不見；如圖②中：共有8個(gè)小立方體，1個(gè)看不見；如圖③中：共有27個(gè)小立方體，8個(gè)看不見；…，則第⑥個(gè)圖中看得見的有 個(gè)．
【變式3-1】（23-24七年級(jí)·江蘇常州·期中）我們根據(jù)乘方運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如下表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：
根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個(gè)式子： ①lg216=4，②lg525=5，③1g464=3．其中正確的是 ．
【變式3-2】（23-24七年級(jí)·河北秦皇島·階段練習(xí)）觀察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，根據(jù)其中的規(guī)律，可得71+72+73+74?+72020的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與71+72+73+74?+72022的結(jié)果的末尾數(shù)字之和是（ ）
A．0B．1C．6D．8
【變式3-3】（23-24七年級(jí)·四川瀘州·期末）根據(jù)圖中數(shù)字的排列規(guī)律，在第⑩個(gè)圖中，a?b?c的值是（ ）
A．?512B．?514C．510D．512
【題型4 周期中的規(guī)律探究】
【例4】（2024·北京西城·七年級(jí)期末）將1，2，3，4，5，…，37這37個(gè)連續(xù)整數(shù)不重不漏地填入37個(gè)空格中．要求：從左至右，第1個(gè)數(shù)是第2個(gè)數(shù)的倍數(shù)，第1個(gè)數(shù)與第2個(gè)數(shù)之和是第3個(gè)數(shù)的倍數(shù)，第1，2，3個(gè)數(shù)之和是第4個(gè)數(shù)的倍數(shù)，…，前36個(gè)數(shù)的和是第37個(gè)數(shù)的倍數(shù)．若第1個(gè)空格填入37，則第2個(gè)空格所填入的數(shù)為 ，第37個(gè)空格所填入的數(shù)為 ．
【變式4-1】（23-24七年級(jí)·浙江·期中）從大拇指開始，按照大拇指→食指→中指→無名指→小指→無名指→中指→食指→大拇指→食指……的順序，依次數(shù)整數(shù)1，2，3，4，5，6，7，……當(dāng)數(shù)到2022時(shí)，對(duì)應(yīng)的手指為 ；當(dāng)?shù)趎次數(shù)到食指時(shí)，數(shù)到的數(shù)是 （用含n的代數(shù)式表示）．
【變式4-2】（23-24七年級(jí)·安徽黃山·期中）觀察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32023的個(gè)位數(shù)字是 ．
【變式4-3】（23-24七年級(jí)·河南開封·期中）如圖所示，在一個(gè)電子青蛙游戲程序中，電子青蛙只能在標(biāo)有五個(gè)數(shù)字點(diǎn)的圓周上跳動(dòng)，游戲規(guī)則：若電子青蛙，停在奇數(shù)點(diǎn)上，則它下次沿順時(shí)針方向跳兩個(gè)點(diǎn)；若電子青蛙停在偶數(shù)點(diǎn)上，則它下次沿逆時(shí)針方向跳一個(gè)點(diǎn)．現(xiàn)在電子青蛙若從4這點(diǎn)開始跳，則經(jīng)過2022次后它停的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為（ ）

A．1B．2C．3D．5
【題型5 遞進(jìn)中的規(guī)律探究】
【例5】（23-24七年級(jí)·江西贛州·期末）如圖，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為3，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處，第2次從A1跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2O的中點(diǎn)A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A4,A5,A6,…,An（n≥3,n是整數(shù)）處，那么線段OAn的長(zhǎng)度為（ ）
A．32n?2B．32n?1C．32nD．32n＋1
【變式5-1】（2024·山西太原·二模）觀察圖中給出的四個(gè)點(diǎn)陣，按照?qǐng)D中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個(gè)點(diǎn)陣中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 個(gè)．（用含n的代數(shù)式表示）
【變式5-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖所示的點(diǎn)陣圖中，圖①中有3個(gè)點(diǎn)，圖②中有7個(gè)點(diǎn)，圖③中有13個(gè)點(diǎn)，圖④中有21個(gè)點(diǎn)，按此規(guī)律，圖⑩中有 個(gè)點(diǎn)．
【變式5-3】（23-24七年級(jí)·寧夏銀川·期末）生物課題研究小組對(duì)附著在物體表面的三個(gè)微生物（課題組成員把他們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3）的生長(zhǎng)情況進(jìn)行觀察記錄，這三個(gè)微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微生物（依次被標(biāo)號(hào)為4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化，即每個(gè)微生物一分為二，形成新的微生物（課題組成員用如圖所示的圖形進(jìn)行形象的記錄），那么標(biāo)號(hào)為1000的微生物會(huì)出現(xiàn)在第（ ）
A．第7天B．第8天C．第9天D．第10天
【題型6 表格中的規(guī)律探究】
【例6】（23-24七年級(jí)·安徽蕪湖·期中）下列表格中的四個(gè)數(shù)都是按照規(guī)律填寫的，則表中x的值是（ ）
A．139B．209C．109D．259
【變式6-1】（23-24七年級(jí)·遼寧沈陽·期中）把1～9這9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)之和都等于15，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”，它源于我國(guó)古代的“洛書”(圖1)，“洛書”是世界上最早的“幻方”，圖2是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”，則其中m的值為( )．
A．1B．3C．6D．9
【變式6-2】（23-24七年級(jí)·河南南陽·期末）干支紀(jì)年法是中國(guó)歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱．干支紀(jì)年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環(huán)配合，每個(gè)組合代表一年，60年為一個(gè)循環(huán)．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號(hào)．天干的計(jì)算方法是：年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計(jì)算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)．以2022年為例：天干為：2022?3÷10=201??9；地支為：2022?3÷12=168??3；對(duì)照天干地支表得出，2022年為農(nóng)歷壬寅年．
請(qǐng)你依據(jù)上述規(guī)律推斷2024年為農(nóng)歷 年．
【變式6-3】（23-24七年級(jí)·湖北黃岡·期中）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．

(1)按圖示規(guī)律完成表格
(2)按照這種方式搭下去，搭第n個(gè)圖形需要多少根火柴棒？
(3)搭第2024個(gè)圖形需要多少根火柴棒？
【題型7 圖形中的規(guī)律探究】
【例7】（23-24七年級(jí)·山東濰坊·期中）如圖，把面積為1的正方形進(jìn)行分割，觀察其規(guī)律，可得算式12+122+123+124+…+127+128再加上（ ）后，結(jié)果就是1．
A．125B．126C．127D．128
【變式7-1】（23-24七年級(jí)·山西臨汾·期中）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是 ．
【變式7-2】（23-24七年級(jí)·浙江金華·期末）用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形，則第10個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是……（ ）
A．110B．330C．440D．572
【變式7-3】（23-24七年級(jí)·山西晉中·期中）閱讀與探索：
問題情境：
通過學(xué)習(xí)“探索與表達(dá)規(guī)律”讓我們感受到：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的規(guī)律是一件十分有趣的事情．用簡(jiǎn)潔的語言表達(dá)變化規(guī)律應(yīng)該從簡(jiǎn)單入手，經(jīng)過熟悉、認(rèn)知、思考、總結(jié)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請(qǐng)你用自己學(xué)到的方法探索并表達(dá)下列規(guī)律：
（1）如圖，搭1個(gè)小正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)小正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)小正方形需要10根火柴棒……，如果用n表示所搭正方形的個(gè)數(shù)，那么搭n個(gè)這樣的小正方形需要__________根火柴棒（用n的代數(shù)式表示）．
類比探索：
（2）如圖，是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第n個(gè)圖案需要__________根火柴棒（用n的代數(shù)式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小等邊三角形圍成1個(gè)小菱形，第②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形，．．．．．．．若按此規(guī)律拼下去，則第n個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為__________（用含n的式子表示）．

拓展應(yīng)用：
（4）觀察并找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是__________個(gè)．

【題型8 新定義中的規(guī)律探究】
【例8】（23-24七年級(jí)·江蘇蘇州·期末）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“H”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5，（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k（其中k是正整數(shù)，且使得n2k為奇數(shù)）；并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：n=12時(shí)，第一次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是3，第二次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是14，第三次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是7，第四次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是26……．若n=58，則第2024次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是（ ）
A．29B．92C．23D．74
【變式8-1】（23-24七年級(jí)·廣西欽州·期末）已知C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，?，觀察以上計(jì)算過程，尋找規(guī)律計(jì)算C42+C73= ．
【變式8-2】（23-24七年級(jí)·北京西城·階段練習(xí)）對(duì)于正整數(shù)n，定義Fn=n2,n

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第1章 有理數(shù)

版本： 滬科版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)（2024）

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