TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【題型1 角的相關(guān)概念辨析】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc276" 【題型2 角的單位換算】 PAGEREF _Tc276 \h 2
\l "_Tc1464" 【題型3 鐘表上有關(guān)角的計(jì)算】 PAGEREF _Tc1464 \h 3
\l "_Tc7001" 【題型4 與方向角有關(guān)的計(jì)算】 PAGEREF _Tc7001 \h 4
\l "_Tc30909" 【題型5 角的計(jì)數(shù)問題】 PAGEREF _Tc30909 \h 5
\l "_Tc10985" 【題型6 角的比較】 PAGEREF _Tc10985 \h 6
\l "_Tc1483" 【題型7 與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc1483 \h 8
\l "_Tc28585" 【題型8 與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc28585 \h 9
\l "_Tc5745" 【題型9 在三角板中的角的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc5745 \h 11
\l "_Tc14622" 【題型10 余角和補(bǔ)角的計(jì)算】 PAGEREF _Tc14622 \h 13
\l "_Tc32630" 【題型11 同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc32630 \h 14
【知識點(diǎn)1 角的概念及其表示方法】
定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．
定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．
【題型1 角的相關(guān)概念辨析】
【例1】完成以下各題．
(1)寫出圖中能用一個字母表示的角；
(2)寫出圖中以A為頂點(diǎn)的角；
(3)圖中共有幾個角？
【變式1-1】下列說法中，正確的是（ ）
A．兩條射線組成的圖形叫做角
B．有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角
C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形
D．角的邊越長，角越大
【變式1-2】如圖所示，圖中可以用一個字母表示的角有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式1-3】如圖，

(1)用不同的方法表示圖中以D為頂點(diǎn)的角；
(2)寫出以B為頂點(diǎn)的角與邊；
(3)畫出DA'，使∠ADA'成平角，寫出它的邊．
【題型2 角的單位換算】
【例2】關(guān)于度、分、秒的換算．
（1）56°18'用度表示；
（2）12°32'24″用度表示；
（3）12.31°用度、分、秒表示．
【變式2-1】比較大?。?0°25' 60.25°（填“>”，“”，“
【分析】先把單位化統(tǒng)一，再比較大小即可到答案．
【詳解】解：∵60.25°=60°+0.25°=60°15'，
∴60°25'>60.25°，
故答案為：>
【點(diǎn)睛】本題考查了角的大小比較，注意單位要化統(tǒng)一，掌握1°=60'是解題關(guān)鍵．
【變式2-2】計(jì)算
（1）34°41′25″×5；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4．
【答案】（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．
【分析】（1）根據(jù)角度與整數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；
（2）根據(jù)角度的四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】（1）34°41′25″×5
＝（34°＋41′＋25″）×5
＝34°×5＋41′×5＋25″×5
＝170°＋205′＋125″
＝173°27′5″；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4
＝36°17′30″＋72°132′
＝110°29′30″．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角度的運(yùn)算，正確理解角度的60進(jìn)制是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2-3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，則這三個角的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【答案】D
【分析】先把∠C的度數(shù)化成度、分、秒，再進(jìn)行比較，即可得到答案．
【詳解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°
0.25°＝0.25×60′＝15′，
∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，
∴∠A＞∠B＞∠C
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算和角的大小比較，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行度分秒之間的換算，從而完成求解．
【知識點(diǎn)2 鐘表上有關(guān)夾角問題】
鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．
【題型3 鐘表上有關(guān)角的計(jì)算】
【例3】某同學(xué)走進(jìn)教室發(fā)現(xiàn)黑板前的鐘表為8：30，他想知道再過多長時間分針能和時針第一次重合．假設(shè)鐘表走時準(zhǔn)確，請問再過 分鐘．
【答案】15011
【分析】由鐘表旋轉(zhuǎn)可得每過一分鐘時針轉(zhuǎn)過的角度為0.5度，分針每分鐘走6度，設(shè)再過x分鐘，分針與時針第一次重合，根據(jù)題意列出方程求解即可．
【詳解】解：鐘表上一周是360度，有12個大格，
∴每個大格的度數(shù)為：360÷12=30度，
一個大格有5個小格，
∴每個小格的度數(shù)為：30÷5=6度，
一小時是60分鐘，每過一分鐘時針轉(zhuǎn)過的角度為：30÷60=0.5度，分針每分鐘走6度，
設(shè)再過x分鐘，分針與時針第一次重合，
根據(jù)題意得：0.5x+60+0.5×30=6x，
解得：x=15011，
故答案為：15011．
【點(diǎn)睛】題目主要考查鐘面角度的計(jì)算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】實(shí)驗(yàn)中學(xué)上午10:10時通常準(zhǔn)時上第三節(jié)課，此時時針與分針?biāo)鶌A的角是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【答案】C
【分析】時鐘上每一大格是30°，此時時針與分針?biāo)鶌A的角是30°×4減去時針轉(zhuǎn)動的度數(shù)．
【詳解】解：時鐘上每一大格是30°，
∵10:10時時針與分針之間有四個大格，且此時時針轉(zhuǎn)動30°×10÷60=5°，
∴此時時針與分針?biāo)鶌A的角是30°×4?5°=115°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查時間的推算和角度的計(jì)算，明確時鐘上每一大格是30°和時針轉(zhuǎn)動的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】小明下午4點(diǎn)多外出購物，當(dāng)時鐘面上的時針與分針的夾角恰好為88°，下午不到5點(diǎn)回家時，時針與分針的夾角又是88°，則小明外出的時間是 分鐘．
【答案】32
【分析】根據(jù)題意，設(shè)小明外出到回家時針走了x°，則分針走了2×88°+x°，可得到時針的度數(shù)，又因?yàn)闀r針每小時走30°，故小明外出用的時間可求．
【詳解】解：設(shè)時針從小明外出到回家走了x°，則分針走了2×88°+x°，由題意，得2×88°+x°360°=x°30°，
解得x=16°，
∵時針每小時走30°，
∴16°30°=3260小時，
即小明外出用了32分鐘時間．
故答案為：32
【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用類問題，鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動1°時針轉(zhuǎn)動112°，并且利用起點(diǎn)時間時針和分針的位置關(guān)系建立方程求解．
【變式3-3】鐘面角是指時鐘的時針和分針?biāo)傻慕牵纾毫c(diǎn)鐘的時候，時針與分針?biāo)社娒娼菫?80°；七點(diǎn)鐘的時候，時針與分針?biāo)社娒娼菫?50°．那么從六點(diǎn)鐘到七點(diǎn)鐘這一個小時內(nèi)，哪些時刻時針與分針?biāo)社娒娼菫?00°？請寫出具體時刻： ．（結(jié)果形如6點(diǎn)2311分）
【答案】6點(diǎn)16011分或6點(diǎn)56011
【分析】設(shè)6點(diǎn)m分時，時針與分針?biāo)社娒娼菫?00°，根據(jù)時針與分針的角度差為100°，分時針與分針重合前以及重合后分別列出方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)6點(diǎn)m分時，時針與分針?biāo)社娒娼菫?00°，時針每分鐘轉(zhuǎn)30°60=0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，六點(diǎn)鐘的時候，時針與分針?biāo)社娒娼菫?80°，依題意得
分時針與分針重合前，0.5m+180?6m=100，
解得：m=16011
分時針與分針重合后，6m?0.5m+180=100，
解得：m=56011
故答案為：6點(diǎn)16011分或6點(diǎn)56011．
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．
【知識點(diǎn)3 方向角】
在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【題型4 與方向角有關(guān)的計(jì)算】
【例4】根據(jù)描述標(biāo)出每個同學(xué)家的位置
(1)小紅家在學(xué)校東偏北30°方向150米處．
(2)學(xué)校在小平家北偏西45°方向200米處．
(3)小華家在學(xué)校南偏西60°方向100米處．
(4)小剛家在學(xué)校西偏北30°方向150米處．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】（1）利用方向角的定義即可解答；
（2）利用方向角的定義即可解答；
（3）利用方向角的定義即可解答；
（4）利用方向角的定義即可解答．
【詳解】（1）如圖所示，
（2）如圖所示，
（3）如圖所示，
（4）如圖所示，
【點(diǎn)睛】本題考查了用坐標(biāo)表示地理位置，正確掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】從海島A 點(diǎn)觀察海上兩艘輪船 B、C．輪船B在點(diǎn)A的北偏東 60°25'方向；輪船C在點(diǎn)A的南偏東15°37'方向，則∠BAC= ．
【答案】103°58'
【分析】首先根據(jù)題意畫出草圖，然后由方向角的定義，確定AB、AC與正北方向、正南方向的夾角；然后根據(jù)角的關(guān)系計(jì)算，即可求出∠BAC的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，
∵輪船B在點(diǎn)A的北偏東60°25'方向；輪船C在點(diǎn)A的南偏西15°37'方向，
∴∠ABC=180°?60°25'?15°37'=103°58'．
故答案為：103°58'．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與方向角有關(guān)的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角的定義．
【變式4-2】如圖，甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏東70°方向走到點(diǎn)B，乙從點(diǎn)A出發(fā)向南偏西15°方向走到點(diǎn)C，則∠BAC的度數(shù)是（ ）

A．85°B．105°C．125°D．160°
【答案】C
【分析】首先求得AB與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解．
【詳解】根據(jù)題意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關(guān)鍵．
【變式4-3】如圖，貨輪甲從港口O出發(fā)，沿東偏南60°的方向航行20海里后到達(dá)A處．（已知四個圓圈的半徑（由小到大）分別是5海里，10海里，15海里，20海里．）
（1）寫出在港口O觀測燈塔B，C的方向及它們與港口的距離；
（2）已知燈塔D在港口O的南偏西30°方向上，且與燈塔B相距35海里，在圖中標(biāo)出燈塔D的位置．
（3）貨輪乙從港口O出發(fā)，沿正東方向航行15海里到達(dá)P處后，需把航行方向調(diào)整到與貨輪甲的航行方向一致，此時貨輪乙應(yīng)向左（或右）轉(zhuǎn)多少度？并畫出貨輪乙航行線路示意圖．
【答案】（1）燈塔B的方向是東偏北60°，燈塔C的方向是正北方向，燈塔B與港口O相距離20海里，燈塔C與港口O相距離10海里；（2）詳見解析；（3）貨輪乙應(yīng)向右轉(zhuǎn)60°，畫圖見解析
【分析】（1）根據(jù)方位角的定義以及題意可求出港口O觀測燈塔B，C的方向及它們與港口的距離；（2）根據(jù)方位角的定義即可找出燈塔D的位置；（3）根據(jù)甲的方向航行以及乙的航行方向可求出貨輪乙應(yīng)向左（或右）轉(zhuǎn)的角度，以及航行線路示意圖.
【詳解】（1）燈塔B的方向是東偏北60°，
燈塔C的方向是正北方向，
燈塔B與港口O相距離20海里，
燈塔C與港口O相距離10海里；
（2）燈塔D的位置如圖所示；
（3）∵甲沿東偏南60°航行，乙沿正東方向航行
要使乙與甲的航行方向一致
∴貨輪乙應(yīng)向右轉(zhuǎn)60°即順時針轉(zhuǎn)60°，
航行線路如圖所示．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角含義，理解方向角的定義是解決本題的關(guān)鍵．
【題型5 角的計(jì)數(shù)問題】
【例5】解答下列各題
（1）如圖，在∠AOB中，以O(shè)為頂點(diǎn)引射線，填表：
（2）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，請用關(guān)于n的式子表示出上面的結(jié)論．
（3）若∠AOB內(nèi)有射線條數(shù)是2020，則角的總個數(shù)為多少？
【答案】（1）3，6，10，15；（2）12(n+1)(n+2)；（3）2043231
【分析】（1）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，可構(gòu)成12(n+1)(n+2)個角，依據(jù)規(guī)律回答即可；
（2）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，可構(gòu)成12(n+1)(n+2)個角，依據(jù)規(guī)律回答即可；
（3）把2020代入12(n+1)(n+2)求解即可．
【詳解】解：（1）填表如下：
（2）當(dāng)n=1時，角總個數(shù)為：1+2=3，
當(dāng)n=2時，角總個數(shù)為：1+2+3=6，
當(dāng)n=3時，角總個數(shù)為：1+2+3+4=10，
當(dāng)n=4時，角總個數(shù)為：1+2+3+4+5=15，
...
當(dāng)n=n時，角總個數(shù)為：
1+2+3+4+5+?+(n+1)=12(n+1)(n+2)，
即∠AOB內(nèi)射線的條線是n時，
角總個數(shù)為：12(n+1)(n+2)
（3）當(dāng)∠AOB內(nèi)有射線條數(shù)是2020時，
角總個數(shù)為：12×2021×2022=2043231（個）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角的概念，掌握其規(guī)律是解題的關(guān)鍵．有公共頂點(diǎn)的n條射線，一共可構(gòu)成12n（n-1）個角．
【變式5-1】如圖，從點(diǎn)O出發(fā)的5條射線，可以組成的銳角的個數(shù)是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】每一條射線都分別與其它的射線組成一個角，如圖所示，若從點(diǎn)O出發(fā)的n條射線，可以組成角的個數(shù)是nn?12
【詳解】解：組成角的個數(shù)是nn?12=5×5?12=10
故選C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的概念以及應(yīng)用，要熟練掌握．利用公式：從點(diǎn)O出發(fā)的n條射線，組成角的個數(shù)為nn?12，是解決問題的關(guān)鍵．
【變式5-2】如圖，從點(diǎn)O引出的射線（任兩條不共線）條數(shù)與角的總個數(shù)有如下關(guān)系：從點(diǎn)O引出兩條射線形成1個角；如圖1從點(diǎn)O引出3條射線共形成3個角；如圖2從點(diǎn)O引出4條射線共形成6個角；如圖3從點(diǎn)O引出5條射線共形成10個角；
（1）觀察操作：當(dāng)從點(diǎn)O引出6條射線共形成有 個角；
（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖4當(dāng)從點(diǎn)O引出n條射線共形成 個角；（用含n的式子表示）
（3）實(shí)踐應(yīng)用：8支籃球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（參加比賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽），總的比賽場數(shù)為 場．如果n支籃球隊(duì)進(jìn)行主客場制單循環(huán)賽（參加的每個隊(duì)都與其它所有隊(duì)各賽2場）總的比賽場數(shù)是 場．
【答案】 15 nn?12 28 n(n－1)
【分析】（1）觀察圖形可知， 2條射線組成1個角，3條射線就可以組成2+1=3個角，4條射線可以組成3+2+1=6個角，依此可得6條射線組成角的個數(shù)是1+2+3+4+5然后計(jì)算即可；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律可知：n條射線組成角的個數(shù)是1+2+3+…+（n-1），然后計(jì)算即可；
（3）將每只球隊(duì)當(dāng)作一條射線，每場單循環(huán)賽當(dāng)作一個角，然后利用（2）的規(guī)律解答即可；
【詳解】解：（1）觀察圖形可知，2條射線組成1個角，3條射線就可以組成2+1=3個角，4條射線可以組成3+2+1=6個角，依此可得6條射線組成角的個數(shù)是1+2+3+4+5=15；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律可知：n條射線組成角的個數(shù)是1+2+3+…+（n-1）=nn?12；
（3）將每只球隊(duì)當(dāng)作一條射線，每場單循環(huán)賽當(dāng)作一個角，所以8支籃球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽相當(dāng)于8條射線可以組成的角，即比賽場數(shù)88?12=28；
如果n支籃球隊(duì)進(jìn)行主客場制單循環(huán)賽（參加的每個隊(duì)都與其它所有隊(duì)各賽2場）總的比賽場數(shù)是nn?12×2= n(n－1).
故答案為（1）15，（2）nn?12，（3）28, n(n－1).
【點(diǎn)睛】考查了數(shù)角的個數(shù)、歸納總結(jié)規(guī)律以及遷移應(yīng)用規(guī)律的能力，根據(jù)題意總結(jié)規(guī)律和遷移應(yīng)用規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
【變式5-3】在銳角∠AOB內(nèi)部由O點(diǎn)引出3種射線，第1種是將∠AOB分成10等份；第2種是將∠AOB分成12等份；第3種是將∠AOB分成15等份，所有這些射線連同OA?OB可組成的角的個數(shù)是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【答案】B
【分析】設(shè)銳角∠AOB=α，第1種中間由9條射線，每個小角為α10，第2種中間由11條射線，每個小角為α12，第3種中間由14條射線，每個小角為α15，利用∠AOB內(nèi)部的三種射線與OA形成的角相等求出重合的射線，第一種第m被倍小角為mα10，第二種n倍小角nα12，與第三種p倍小角pα15相同，則m10=n12=p15，先看三種分法中無同時重合的，再看每兩種分法重合情況，第1種, 第2種,共重合1條，第1種,第3種，共重合4條，，第2種,第3種,共重合2條，在∠AOB中一共有射線數(shù)29條射線，29條射線分成的小角最多28個，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【詳解】設(shè)銳角∠AOB=α
第1種是將∠AOB分成10等份；中間由9條射線，每個小角為α10，
第2種是將∠AOB分成12等份；中間由11條射線，每個小角為α12，
第3種是將∠AOB分成15等份，中間由14條射線，每個小角為α15，
設(shè)第1種, 第2種，第3種中相等的角的射線重合為1條，
第一種第m倍小角為mα10，第二種n倍小角nα12，與第三種p倍小角pα15相同
則m10=n12=p15，
先看三種分法中同時重合情況m:n:p=10:12:15除OA，OB外沒有重合的，
再看每兩種分法重合情況
第1種, 第2種, m:n=5:6，第一種第5條與第二種第6條重合，共重合1條，
第1種,第3種，m:p=2:3，m=2，4，6，8,與P=3，6，9，12重合，共重合4條，
第2種,第3種, n:p=4:5,n=4，8與p=5，10重合，共重合2條，
在∠AOB中一共有射線數(shù)=2+9+11+14-1-2-4=29條射線，
29條射線分成的所有角=1+2+3+…+28=12×28×28+1=406個角．
故選擇：B．
【點(diǎn)睛】本題考查射線分角問題，不同角的個數(shù)求法，掌握掌握三種分法中排出重合射線的條數(shù)是解題關(guān)鍵．
【知識點(diǎn)4 角的比較與運(yùn)算】
角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．
方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?br>方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．
如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【題型6 角的比較】
【例6】如圖所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級上冊電子課本 舊教材

4.3.1 角

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級上冊

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