知識點1 集合與元素
1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；
2、元素與集合的關系：屬于或不屬于，用符號或表示
3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法
4、常見數(shù)集的記法與關系圖
知識點2 集合間的基本關系
知識點3 集合的基本運算
1、集合交并補運算的表示
2、集合運算中的常用二級結論
（1）并集的性質：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
（2）交集的性質：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
（3）補集的性質：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?．?U(?UA)＝A；
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．
知識點4 充分條件與必要條件
1、充分條件與必要條件
2、充要條件
（1）充要條件的定義
如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作。
此時，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件。
（2）充要條件的含義
若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，
因為這兩個命題的條件與結論不同。
（3）充要條件的等價說法：是的充要條件又常說成是成立當且僅當成立，或與等價。
知識點5 全稱量詞與存在量詞
1、全稱量詞與全稱量詞命題
（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“”表示．
【注意】（1）全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；
（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”
（2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．
符號表示：通常，將含有變量的語句用，，，…表示，變量的取值范圍用表示，那么，全稱量詞命題“對中任意一個，成立”可用符號簡記為
【注意】（1）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；
（2）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；
（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。
如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”。
2、存在量詞與存在量詞命題
（1）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“”表示．
【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；
（2）存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。
符號表示：存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號簡記為
【注意】（1）從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；
（2）一個存在量詞命題可以包含多個變量；
（3）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題
3、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．
（1）全稱量詞命題的否定：
一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題： ．
（2）存在量詞命題的否定：
一般地，存在量詞命題“ ”的否定是全稱量詞命題： ．
（3）命題與命題的否定的真假判斷：
一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．
即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．
（4）常見正面詞語的否定：
重難點01 已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值．
（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；
（2）互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗．
【典例1】（23-24高三上·廣東惠州·月考）集合 ，若且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為且，所以且，解得.故選：B.
【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知，若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意得且，解得．故選：A
重難點02 利用兩個集合之間的關系確定參數(shù)的取值范圍
第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；
第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若，
且A中含參數(shù)應考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；
第三步：將集合間的包含關系轉化為方程(組)或不等式(組)，求出相關的參數(shù)的值或取值范圍.
常采用數(shù)形結合的思想，借助數(shù)軸解答.
【典例1】（2024·陜西西安·三模）設集合，，若，則（ ）
A．2B．3C．1D．1或2
【答案】C
【解析】因為，且，
所以，則或，解得或，
當時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
當時，符合題意.
綜上可得.故選：C
【典例2】（2024·黑龍江·二模）已知，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，，
又，所以，故.故選：A.
重難點03 根據(jù)集合運算的結果確定參數(shù)的取值范圍
法一：根據(jù)集合運算結果確定集合對應區(qū)間的端點值之間的大小關系，確定參數(shù)的取值范圍.
法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；
（3）根據(jù)集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.
【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“=”；（2）千萬不要忘記考慮空集。
【典例1】（2024·重慶·模擬預測）設集合，，若， 則（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】當時，，則，
即此時，，不符合要求；
當時，，則，
即此時，，符合要求；
故.故選：B.
【典例2】（2024·重慶·模擬預測）已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由不等式，解得或，所以或，
又由不等式，
當時，不等式解集為空集，不滿足，不符合題意，舍去；
當時，解得，即，
此時不滿足，不符合題意，舍去；
當時，解得，即，
要使得，則滿足，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.
重難點 04 利用充分必要條件求參數(shù)的策略
1、巧用轉化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；
2、端點取值需謹慎：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍。
【典例1】（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】，解得，設，，
若是的充分不必要條件，則?，
則有，且等號不會同時取到，解得，
則實數(shù)的取值范圍是.
【典例2】（23-24高三上·江蘇揚州·月考）（多選）若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】由不等式，可得或，
因為是的必要不充分條件，可得或，
解得或，即實數(shù)的取值范圍為，
結合選項，可得A、D符合題意.故選：AD.
重難點 05 根據(jù)全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)
1、全稱量詞命題求參的問題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進行考察，一般在題目中會出現(xiàn)“恒成立”等詞語，解決此類問題時，可構造函數(shù)，利用數(shù)形結合求參數(shù)范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍；
2、存在量詞命題求參數(shù)范圍的問題中常出現(xiàn)“存在”等詞語，對于此類問題，通常時假設存在滿足條件的參數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設成立；否則，假設不成立。解決有關存在量詞命題的參數(shù)的取值范圍問題時，應盡量分離參數(shù)。
【典例1】（2024·四川·模擬預測）已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為命題“”為真命題，所以．
令與在上均為增函數(shù)，
故為增函數(shù)，當時，有最小值，即，故選：A．
【典例2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知命題：為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意知命題：為假命題，
則命題：為真命題，
故當時，，即為，符合題意；
當時，需滿足，解得，
綜合可得實數(shù)的取值范圍是，故選：D
一、子集的個數(shù)問題
如果集合A中含有n個元素，則有
（1）A的子集的個數(shù)有2n個． （2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．
（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個 （4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．
【典例1】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】因為，
所以可以是，
共8個，故選：D
【典例2】（2024·全國·一模）已知集合，，則子集的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由，得，解得，
所以，所以，
所以子集的個數(shù)為.故選：D
二、判斷集合與集合的關系
判斷集合間關系的常用方法：
1、列舉觀察法：列出幾何中的全部元素，通過定義得出集合間關系；
2、集合元素特征法：首先確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷集合間關系；
3、數(shù)形結合法：利用數(shù)軸或韋恩圖判斷集合間關系，如不等式的解集之間的關系，適合用數(shù)軸法。
【典例1】（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可得，所以.故選：A
【典例2】（2024高三·全國·專題練習）已知集合，，則下列關系中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意知，，解得或，
則，，
則不是B的子集，不是的子集，，，故選：D．
三、韋恩圖的應用
元素與集合的隸屬關系以及集合之間的包含關系，一般都能通過韋恩圖形象表達。有時題設條件比較抽象，也應借助于韋恩圖尋找解題思路。這樣做有助于直觀地分析問題、解決問題。
【典例1】（2024·山西長治·一模）已知集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，
圖中陰影部分表示的集合為：或，
故選：A.
【典例2】（2024·河北邢臺·二模）下列集合關系不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A：因為，故A正確；
B：由空集的定義可知，故B正確；
C：由圖可知C正確；
D：因為空集中不包含任何元素，故D錯誤；故選：D.
四、集合新定義問題
在集合新定義問題中，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運算法則和運算律的基礎上定義一種新的運算。解題時，要抓住兩點：（1）分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質弄清楚，并且能夠應用到具體的解題過程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本運算是解題的突破口，要熟練掌握。
【典例1】（2024·貴州黔東南·二模）若對任意，，則稱A為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對于選項A：因為，但，不符合題意，故A錯誤；
對于選項B：因為，但無意義，不符合題意，故B錯誤；
對于選項C：例如，但，不符合題意，故C錯誤，
對于選項D：對任意，均有，符合題意，故D正確；故選：D.
【典例2】（23-24高三下·甘肅·月考）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構成集合U的一個k劃分．若集合I中含有4個元素，則集合I的所有劃分的個數(shù)為（ ）
A．7個B．9個C．10個D．14個
【答案】D
【解析】不妨設，則：
的2劃分有，，，
，，，；
的3劃分有，，，
，，；
的4劃分只有.
綜上，的劃分共有個，D正確.故選：D.
五、充分條件與必要條件的判斷
充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法
1、定義法：（1）分清命題的條件和結論；（2）判斷“若p，則q”及“若q，則p”的真假；（3）得出結論.
2、集合法：利用集合間的包含關系進行判斷；
3、等價轉化法：將命題轉化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題。
【典例1】（2024·江西南昌·二模）已知集合，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】不等式解得，則；
不等式解得，則.
，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A
【典例2】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知命題p：集合，命題q：集合，則p是q的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】或，或，
是的真子集，
因此，是的必要不充分條件.故選：B

易錯點1 對集合表示方法的理解存在偏差
點撥：對集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對本質進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型（點集或者數(shù)集）及代表元素的含義。
【典例1】（23-24高三下·江西吉安·期中）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解不等式可得，
由指數(shù)函數(shù)的值域可得，所以.故選：D
【典例2】（2024·湖北·模擬預測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，
當且僅當，即時，等號成立，得；
由得，即.所以.故選：B
易錯點2 忽視（漏）空集導致錯誤
點撥：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導致漏解。
【典例1】（2024·重慶·模擬預測）設若，，則，實數(shù)的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題，得，
因為，所以，
當時，無解，此時，滿足題意；
當時，得，所以或，解得或.
綜上，實數(shù)a的值可以為0，，.故選：D．
【典例2】（2024·全國·模擬預測）已知全集，集合，．若，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】因為，
當時，，若，則．
在數(shù)軸上表示出集合，，如圖，
則；
當時，，此時不成立，
當時，，此時不成立．
綜上，的最大值為．
易錯點3 忽視集合元素的互異性
點撥：集合元素的互異性是集合的特征之一，集合中不可出現(xiàn)相同的元素。
【典例1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知集合，，若中恰有三個元素，則由a的取值組成的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為中恰有三個元素，所以或或，
結合集合中元素的互異性，解得或或（舍去）或.故選：D．
【典例2】（2024高三·全國·專題練習）已知集合，且，則實數(shù)為（ ）
A．2B．3C．0或3D．
【答案】B
【解析】因為且，所以或，
①若，此時，不滿足元素的互異性；
②若，解得或3，
當時不滿足元素的互異性，當時，符合題意.
綜上所述，.故選：B
易錯點4 判斷充分性必要性位置顛倒
點撥：需要多注意倒裝句的標志，解題時先翻譯成正常的結構再判斷計算。
【典例1】（2024·新疆·二模）使“”成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，解得，則選項中的的范圍組成的集合是的真子集，
由選項知，選項均不滿足，選項B滿足.
故使“”成立的一個充分不必要條件可以是“”.故選：B.
【典例2】（23-24高三上·天津南開·月考）若x，，則“”的一個必要不充分條件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A：，是“”的必要不充分條件，故A正確；
B：，是“”的既不充分也不必要條件，故B錯誤；
C：，是“”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；
D：，是“”的充分不必要條件，故D錯誤；故選：A
易錯點5 對含有一個量詞命題的否定理解錯誤
點撥：對含有一個量詞的命題進行否定時，除了將存在量詞命題變?yōu)槿Q量詞命題，全稱量詞命題變?yōu)榇嬖诹吭~命題外，不等式的否定只否定結論。
【典例1】（2024·貴州遵義·一模）已知命題，，則為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由命題，可知，
為，，故D正確；ABC錯誤；故選：D
【典例2】（23-24高三下·山東菏澤·開學考試）命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，
故命題“，”的否定為，.故選：D.集合
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
符號
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
關系
文字語言
符號語言
圖形語言
基本關系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素（則）
或
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A
或
相等
集合A，B的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
集合的并集
集合的交集
集合的補集
圖形語言
符號語言
“若p，則q”為真命題
“若p，則q”為假命題
推出關系
p?q
p?q
條件關系
p是q的充分條件
q是p的必要條件
p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
定理關系
判定定理給出了相應數(shù)學結論成立的充分條件
性質定理給出了相應數(shù)學結論成立的必要條件
正面詞語
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面詞語
至多有一個
至少有一個
任意
所有
至多有n個
否定
至少有兩個
一個都沒有
某個
某些
至少有n+1個

相關學案

2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題01 集合綜合歸類（解析版）：

這是一份2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題01 集合綜合歸類（解析版），共45頁。學案主要包含了名師點睛等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題02 常用邏輯用語歸類 （解析版）：

這是一份2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題02 常用邏輯用語歸類 （解析版），共29頁。學案主要包含了小問1詳解，小問2詳解，小問3詳解等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題03 均值不等式及不等式綜合（解析版）：

這是一份2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題03 均值不等式及不等式綜合（解析版），共36頁。

英語朗讀寶

相關學案 更多

2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題06 切線、公切線與切線逼近型歸類 （解析版）

2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題06 切線、公切線與切線逼近型歸類 （解析版）
2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題07 比大小歸類 （解析版）

2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題07 比大小歸類 （解析版）
2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題08 導數(shù)壓軸大題歸類 （解析版）

2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題08 導數(shù)壓軸大題歸類 （解析版）
專題01 集合與常用邏輯用語-2021屆新高考數(shù)學一輪復習知識點總結與題型歸納面面全

專題01 集合與常用邏輯用語-2021屆新高考數(shù)學一輪復習知識點總結與題型歸納面面全
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部