2025屆高考數(shù)學一輪知識清單專題03 均值不等式及不等式綜合（解析版）-學案下載-教習網(wǎng)

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4151" 題型一：公式直接用 PAGEREF _Tc4151 \h 1
\l "_Tc5251" 題型二：公式成立條件 PAGEREF _Tc5251 \h 3
\l "_Tc30746" 題型三：對勾型湊配 PAGEREF _Tc30746 \h 6
\l "_Tc3537" 題型四：“1”的代換：基礎代換型 PAGEREF _Tc3537 \h 7
\l "_Tc5479" 題型五：“1”的代換：有和有積無常數(shù)型 PAGEREF _Tc5479 \h 9
\l "_Tc17894" 題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型 PAGEREF _Tc17894 \h 10
\l "_Tc14928" 題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無條件型 PAGEREF _Tc14928 \h 12
\l "_Tc30799" 題型八：分母構(gòu)造型：分離型型 PAGEREF _Tc30799 \h 14
\l "_Tc9675" 題型九：分母構(gòu)造型：一個分母構(gòu)造型 PAGEREF _Tc9675 \h 16
\l "_Tc31577" 題型十：分母構(gòu)造型：兩個分母構(gòu)造型 PAGEREF _Tc31577 \h 17
\l "_Tc25438" 題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型 PAGEREF _Tc25438 \h 19
\l "_Tc10551" 題型十二：換元構(gòu)造型 PAGEREF _Tc10551 \h 21
\l "_Tc30242" 題型十三：分母拆解湊配型 PAGEREF _Tc30242 \h 23
\l "_Tc11117" 題型十四：萬能“K”型 PAGEREF _Tc11117 \h 26
\l "_Tc4378" 題型十五：均值不等式應用比大小 PAGEREF _Tc4378 \h 27
\l "_Tc596" 題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型 PAGEREF _Tc596 \h 30
\l "_Tc28437" 題型十七：因式分解型 PAGEREF _Tc28437 \h 32
\l "_Tc12786" 題型十八：三元型不等式 PAGEREF _Tc12786 \h 34
題型一：公式直接用
基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；
基本不等式成立的條件：a>0，b>0；
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b.
基本不等式的變形：
①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；
②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，常用于求積的最大值；
1．（22-23高三·北京·階段練習）若，且，則在下列四個選項中，最大的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】（1）先判斷，可得，所以，排除A、D，再用作差法比較B、C的大小，可得答案.
（2）也可以令，取特殊值進行驗證排除.
【詳解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；
∵，
即，排除B.
故選：C.
方法二：因為且，可取，.
則：，，因為.
故選：C.
2．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）若，則下列不等式中不成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡判斷即可.
【詳解】因為，顯然有，故A正確；
而，所以，故B正確；
又，所以，故C正確；
不妨令則，故D錯誤.
故選：D.
3．（22-23高一下·黑龍江佳木斯·開學考試）設，，且，則的最小值為（）
A．18B．9C．6D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式，即可求解.
【詳解】∵
∴，（當且僅當，取“=”）
故選：C.
4．（23-24高一下·河南·開學考試）設，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由已知條件和不等式的性質(zhì)，分別判斷各選項中的結(jié)論是否正確．
【詳解】因為，所以，則，則A選項錯誤；
因為，所以，又0，則，即，所以，即，則B選項正確；
當時，，則C選項錯誤；
因為，由B選項可知，所以，則D選項錯誤.
故選：B
5．（2024·重慶·模擬預測）設且，則的最大值為
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用題設條件，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因為且，則，
解得：，當且僅當，時等號成立，所以的最大值為，
則，
即的最大值為
故答案為：
題型二：公式成立條件
利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
1．（23-24高三·遼寧本溪·開學考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
舉反例可判斷A錯誤；由基本不等式可得B正確；由基本不等式和正弦函數(shù)的值域可判斷C錯誤；由基本不等式和完全平方可判斷D錯誤.
【詳解】
A：當時，，故A錯誤；
B：，當且僅當，即時取等號，故B正確；
C：當時，，，當且僅當，即時取等號，因為，故C錯誤；
D：，當且僅當，時取等號，又，故D錯誤；
故選：B.
2．（23-24高三·安徽六安·開學考試）設，，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】
根據(jù)基本不等式以及必要不充分條件的定義求解.
【詳解】∵，，∴，當且僅當時等號成立，
若時，，則，
即“”是“”的必要不充分條件，
而無法推出，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：.
3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（）
A．若，且，則
B．若，則
C．若，則
D．對任意，均成立.
【答案】A
【分析】根據(jù)基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，，當且僅當時等號成立，A選項正確.
B選項，當時，，所以B選項錯誤.
C選項，當時，，所以C選項錯誤.
D選項，當時，，不成立，所以D選項錯誤.
故選：A
4．（多選）（23-24高三·四川眉山·期中）下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若且，則D．若，則
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可判斷ABC選項，利用特殊值法可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若，則，
當且僅當時，即當時，等號成立，A對；
對于B選項，，
當且僅當時，即當時，等號成立，B對；
對于C選項，若且，則，
當且僅當時，即當時，等號成立，C對；
對于D選項，若，取，則，D錯.
故選：ABC.
5．（多選）（23-24高三·重慶南岸·期中）下列說法正確的是（）
A．函數(shù)的最大值是B．函數(shù)的最小值是2
C．函數(shù)的最小值是6D．若，則的最小值是8
【答案】ACD
【分析】根據(jù)基本不等式的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，對于函數(shù)，
，
當且僅當時等號成立，所以A選項正確.
B選項，，
當無實數(shù)解，所以等號不成立，所以B選項錯誤.
C選項，對于函數(shù)，，
，
當且僅當時等號成立，所以C選項正確.
D選項，由基本不等式得，
所以，
當且僅當時等號成立，所以D選項正確.
故選：ACD
6．（多選）（23-24高三·貴州貴陽·階段練習）下列命題中正確的是（）
A．當時，
B．若，則函數(shù)的最小值等于
C．若，則的取值范圍是
D．的最大值是
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式知識即可判斷，需注意“一正二定三相等”.
【詳解】當時，重要不等式成立，故A正確；
選項中對于均值不等式的運用出錯，不滿足“一正二定三相等”中的“積為定值”條件，故B錯誤；
由于，當且僅當時等號成立.
因此，
即的取值范圍是，故正確；
由于，
根據(jù)均值不等式得，
當且僅當，即時等號成立，
即有最大值為，故D正確.
故選：ACD.
題型三：對勾型湊配
1.對勾型結(jié)構(gòu)：
容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，
2.對勾添加常數(shù)型
對于形如，則把轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系：可消去。不必記憶，直接根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化
1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數(shù)，則當時，有（）
A．最大值B．最小值
C．最大值D．最小值
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【詳解】由題意當時，，等號成立當且僅當.
故選：B.
2．（23-24高三 ·陜西西安·階段練習）函數(shù)的最小值為（）
A．2B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
【詳解】由可得，所以，
當且僅當，即時等號成立，
故選:D
3．（21-22高二上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)的定義域為，則的最大值為（）
A．5B．C．1D．
【答案】C
【分析】令之后用基本不等式求函數(shù)的最值.
【詳解】令
當且僅當即時取得.
故選：C
4．（23-24高三·吉林·階段練習）已知，則的最小值是（）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值條件.
【詳解】由，則，
當且僅當時等號成立，故最小值為.
故選：C
5．（23-24高三·廣東佛山·模擬）函數(shù)，的最小值為（）
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【分析】利用配湊法結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，
則，
當且僅當，即時取等號，
所以函數(shù)，的最小值為.
故選：C.
題型四：“1”的代換：基礎代換型
“1”的代換
.利用常數(shù)代換法。多稱之為“1”的代換
1．（2022高三上·全國·專題練習）若，，且，則的最小值為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【詳解】將展開利用基本不等式求得最小值可得答案.
【分析】因為且，所以，
，
當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為2.
故選：A.
2．（23-24高三·貴州黔南·階段練習）已知且，則的最小值為（）
A．B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為9.
故選：C
3．（23-24高三·河南南陽·階段練習）若，，則的最小值是（）
A．2B．4C．3D．8
【答案】B
【分析】利用常數(shù)代換的思想和基本不等式即可求得.
【詳解】因，，故由，
當且僅當時，等號成立.由解得：
即當且僅當時，取最小值為4.
故選：B.
4．（22-23高一下·湖南邵陽·階段練習）設，，若，則的最小值為（）
A．B．4C．9D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】
，
當且僅當時等號成立.
故選：D
5．（22-23高三·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知x，y為正實數(shù)，且，則的最小值是（）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】結(jié)合基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
當且僅當時等號成立.
故選：B
題型五：“1”的代換：有和有積無常數(shù)型
有和有積無常數(shù)
形如，可以通過同除ab，化為構(gòu)造“1”的代換求解
1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）若，，且，則的最小值為（）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】，，由得，
故，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為.
故選：A
2．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（）
A．B．10C．9D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【詳解】由可得，，
所以，
當且僅當，即時取得等號，
所以的最小值為9，
故選:C.
3．（2022·四川樂山·一模）已知，，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意得，，再根據(jù)基本不等式乘“”法即可得最小值.
【詳解】由題可知，乘“”得，當且僅當時，取等號，則的最小值為.
故選：A
4．（21-22高三·山西太原·階段練習）已知，，，則的最小值為（）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意，，
∴，當且僅當且時等號成立，
∴的最小值為，
故選：D．
5．（23-24高一下·廣西·開學考試）已知，，且，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題干等式變形得出，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因為且，，所以，
則，
當且僅當時，即當，時，等號成立.
因此，的最小值是.
故選：C.
題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型
有和有積有常數(shù)
形如求型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：
1．（23-24高三·廣西·模擬）已知，則的最大值為（）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可.
【詳解】，則有，
可得，即4，當且僅當時，等號成立.
所以的最大值為4.
故選：B
2．（23-24高三·甘肅·模擬）若正數(shù)a，b滿足，則ab的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可求解.
【詳解】，
，即.
，又因為a，b為正數(shù)，所以.
，即，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?br>故的取值范圍是.
故選：C.
3．（23-24高三·江蘇·模擬）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是（）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】注意到不等式，所以可將條件等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的一元二次不等式，從而即可得解.
【詳解】注意到，等號成立當且僅當，
從而，
因為，是正實數(shù)，
所以解得或（舍去），
即的最小值是4，等號成立當且僅當.
故選：C.
4．（23-24高三·安徽阜陽·模擬）已知正實數(shù)滿足，記的最小值為；若且滿足，記的最小值為.則的值為（）
A．30B．32C．34D．36
【答案】C
【分析】由條件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代換可求得的最小值，可得的值，進而得解.
【詳解】根據(jù)題意，∵
，當且僅當時等號成立，
令，有，
解得，即，；
，
，當且僅當，即，時等號成立，
；
故選：C.
5．（23-24高三·福建莆田·模擬）已知，，，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【詳解】由，得，又，，即，，
則，即，解得，
當且僅當，即，時，等號成立，所以，故選：C.
題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無條件型
無條件分母和定型
型，滿足（定值），則可以構(gòu)造
1．（2020高三·全國·專題練習）的最小值為（）
A．2B．16C．8D．12
【答案】B
【分析】先構(gòu)造，再利用均值不等式求最值即可.
【詳解】解：∵，
∴，
當且僅當，即，時“=”成立，
故的最小值為16.
故選：B.
【點睛】本題考查了均值不等式的應用，重點考查了構(gòu)造均值不等式求最值，屬基礎題.
2．（21-22高三·福建莆田·期末）當時，的最小值為（）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】利用，借助基本不等式計算即可.
【詳解】因為，所以,,
因為，
所以，
，
當且僅當時，即時，取得最小值.
故選：B.
3．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式及“1”的妙用計算即可．
【詳解】因為，所以，
則，
當且僅當，即時，等號成立，取得最小值，
故選：D．
4．（22-23高三·江蘇南通·模擬）函數(shù)（）的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由展開后，運用基本不等式可得所求最小值，注意取值條件.
【詳解】由，可得，
，
僅當，即時等號成立，故的最小值為.
故選：B
5．（23-24高三·四川成都·期中）若，則的最小值為（）
A．12B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意確定，且，將變形為，展開后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】因為，故，則，
故
，
當且僅當，即時等號成立，即的最小值為，故選：D
題型八：分母構(gòu)造型：分離型型
對勾分離常數(shù)型（換元型）
型，可以通過換元分離降冪，轉(zhuǎn)化為對勾型
1．（21-22高三·遼寧沈陽·模擬）若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】運用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的最值進行求解即可.
【詳解】令，所以，
設，，
函數(shù)在時，函數(shù)單調(diào)遞減，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，
因為，，所以函數(shù)在時，最大值為，
要想不等式在區(qū)間上有解，只需，
故選：C
2．（23-24高三·海南?？凇るA段練習）若函數(shù)在是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】變形換元得到，，考慮，和三種情況，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】，
令，故，，
當，即時，在上單調(diào)遞增，滿足要求，
當，即時，在上單調(diào)遞增，滿足要求，
當，即時，由對勾函數(shù)性質(zhì)得到在上單調(diào)遞增，
故，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故選：A
3．（2020高三·河北石家莊·階段練習）已知，則的最大值是（）
A．B．C．2D．7
【答案】A
【分析】化簡為，利用均值不等式求解即可.
【詳解】
，
，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最大值為
故選：A
4．（20-21高三·遼寧大連·模擬）“”是“關(guān)于的不等式（）有解”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得當時，的最小值為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由題意知，可得，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以當時，的最小值為，
當時，可得關(guān)于的不等式有解成立，即充分性成立，
反之：關(guān)于的不等式有解時，不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件.
故選：A.
5．（20-21高三·浙江紹興·期中）若，則有（）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【分析】將給定函數(shù)化簡變形，再利用均值不等式求解即得.
【詳解】因，則，
于是得，當且僅當，即時取“=”，
所以當時，有最大值.故選：A
題型九：分母構(gòu)造型：一個分母構(gòu)造型
單分母
形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。
1．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知非負實數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】依題意可得且，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為非負實數(shù)滿足，
顯然，則，所以，
則
，當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為.
故選：B
2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應用結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】因為，可得，
且，，可知，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為1.
故選：B.
3．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知實數(shù)，，滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【詳解】實數(shù)，，由，得，
因此，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
故選：B
4．（23-24高三·浙江·模擬）已知，，且，則的最小值為（）
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，以與為基本量加以整理，化簡后利用基本不等式算出答案.
【詳解】由得，其中，，
所以，
當且僅當，即，則，時，等號成立，
故的最小值為9.
故選：D
5．（23-24高三·廣東肇慶·模擬）已知，，，則的最小值為（）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】通過配湊，借助基本不等式計算即可.
【詳解】因為，，所以，
，
當且僅當，即，時，有最小值.
故選：C.
題型十：分母構(gòu)造型：兩個分母構(gòu)造型
雙分母
形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。
1．（2024·全國·模擬預測）設正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，根據(jù)“1”的代換化簡得出.進而根據(jù)基本不等式，即可求得答案.
【詳解】因為，所以，
所以
，當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為．故選：C．
2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，則的最小值為（）
A．1B．C．9D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進行求解即可．
【詳解】因為，所以，
則
當且僅當，即時，等號成立．
故選：C．
3．（23-24高三·江蘇徐州·階段練習）已知正實數(shù)滿足，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得當時，，即可求得實數(shù)m的取值范圍是.
【詳解】易知
，所以可得；當且僅當，即時，等號成立；
依題意需滿足，所以.故選：D
4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習）已知非負實數(shù)，滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，利用基本不等式“1”的代換求其最小值，注意取值條件.
【詳解】非負實數(shù)，滿足，則，
則
，當且僅當，即時等號成立，
所以當時，的最小值為.故選：D
5．（23-24高三·湖北·階段練習）若，且，則的最小值為（）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】利用乘“1”法即可求解.
【詳解】可變形為，
所以
，
當且僅當即，時取等號，故選：C
題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型
對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解
分離常數(shù)技巧：
1．（23-24高三·廣東佛山·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【詳解】因為，所以，
則．
因為，
所以
，
當且僅當，即，時，等號成立，故的最小值是．
故選：A.
2．（23-24高三上·廣東東莞·期中）已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【詳解】正實數(shù)滿足，則
，當且僅當，即時取等號，
所以當時，取得最小值.
故選：D
3．（23-24高三·全國·期末）已知，，且，則的最小值為（）
A．4B．C．D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)題意整理可得，再利用基本不等式求解即可得.
【詳解】由于，，且，
則
，當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為.故選：C.
4．（23-24高三·湖北武漢·模擬）已知且，則的最小值為（）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】將已知化為，，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】，，，

，當且僅當，且，即時等號成立，
的最小值為.故選：A
5．（22-23高一下·云南·階段練習）已知，，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】整理得出，由已知變形可得，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.
【詳解】因為，，則，因為，則，
所以，
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為.故選：B.
題型十二：換元構(gòu)造型
若已知（定值），型，則可通過線性換元，令，反解出代入條件等式中，換元為簡單的條件不等式
1．（23-24高三上·四川巴中·開學考試）已知且，則的最小值為（）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
令，則，
由得，
故
，
當且僅當，結(jié)合，即時取等號，
也即，即時，等號成立，
故的最小值為9，
故選：B
2．（23-24高三上·山東·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先得出，再根據(jù)基本不等式“1”的妙用求得結(jié)果.
【詳解】設，
則且，解得.
所以，
因為，所以，
當時取等號，即且，
解得.
故選：B.
3．（21-22高三·河南洛陽·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用雙換元法化簡后，根據(jù)基本不等式計算
【詳解】，
令，，則，，
，
當且僅當，即，時，等號成立，故有最小值．
故選：B
4．（22-23高三上·江西南昌·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及換元法即可求得結(jié)果.
【詳解】，
令，，則，，
，
當且僅當且，即，時，等號成立，
所以，故有最小值.
故選：D.
5．（2022·安徽合肥·模擬預測）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.
【詳解】令，，則，
即，
∴
，
當且僅當，即，時，等號成立，
故選：A.
題型十三：分母拆解湊配型
湊配拆解型
形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。
其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配
1．（22-23高三上·河北保定·階段練習）不等式的解集為，其中，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，則有，所以，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.
【詳解】方程有兩個不等的實數(shù)根，
，
，即，
，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為.
故選：C
2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．6B．5C．12D．10
【答案】B
【分析】利用得出，結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】因為，所以，而，
，當且僅當，即時，等號成立.
故選：B
3．（19-20高三上·陜西榆林·階段練習）已知的值域為，當正數(shù)滿足時，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)值域計算，變換，利用均值不等式得到答案.
【詳解】，當時，函數(shù)有最小值，故；
即，
，
當，即，時等號成立.
故選：.
【點睛】本題考查了函數(shù)值域，均值不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.
4．（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數(shù)，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】觀察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得結(jié)果.
【詳解】因為
，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故選：A
5．（23-24高三下·河北·開學考試）已知，均為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】先將化為，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.
【詳解】因為，均為正實數(shù)，且，得，
所以，
又，
當且僅當即時取等號，所以.
故選：B.
題型十四：萬能“K”型
一般情況下的“萬能K法”
設K法的三個步驟：
⑴、問誰設誰：求誰，誰就是K；
⑵、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值。
求誰設誰，構(gòu)造方程用均值
1．（22-23高三上·江蘇南京·模擬）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（）
A．B．1C．2D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【詳解】因為，所以,
所以，
即
所以，解得，
當且僅當
，解得或時等號成立，
所以當時有最大值為9.
故選:D.
2.（2022·全國·高一課時練習）已知為正實數(shù)，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由題意，可得，
則有，解得，
當且僅當，取到最小值.
故選：B.
3.（2022秋·四川成都·高一成都外國語學校?？计谥校┮阎龜?shù)滿足，則的最大值是 .
【答案】
【分析】令，則，，利用基本不等式，并結(jié)合一元二次不等式的求法可得的范圍，進而得到答案.
【詳解】令，因為，，所以.
則，
所以，
當且僅當即時等號成立.
所以，即，解得，
所以的最大值為.
故答案為：.
4.（21-22高三上·湖北襄陽·期中）若正數(shù)滿足，則的最小值是（）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由題意可得，化簡利用基本不等式可得，從而可求出的最小值.
【詳解】解：，，
，
當且僅當時等號成立，，解得，
的最小值為故選：C
題型十五：均值不等式應用比大小
幾個重要不等式
（1）_（）；
（2）（）；
（3）2（）；
（4）__ 或（）；
（5）
1．（23-24高三下·全國·階段練習）已知，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.
【詳解】設，則在上單調(diào)遞減，
所以，所以，，，
，
所以，
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.
2．（2023·河南洛陽·一模）下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】運用作差法、對數(shù)運算公式及基本不等式可比較與，再運用構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性可比較與.
【詳解】∵，
，
∴，所以.
∵
∴比較與的大小，即比較與的大小.
令，則.
令，則.
所以在上單調(diào)遞減，
所以當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減.
又因為，
所以，即.所以，即.
綜上所述，.
故選：B.
【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.
3．（22-23高三·江蘇常州·模擬）若且，設，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先將與常數(shù)進行比較，然后通過與比較大小，再通過基本不等式進行放縮，最后通過放縮
【詳解】，可得：，，
可得：且
由基本不等式，可得：
又，可得：，且，
可得：，即
故選：A
4．（2022·全國·模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】對已知等式兩邊分別取對數(shù)求出a，b，c，然后通過換底公式并結(jié)合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關(guān)系．
【詳解】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故選：D．
5．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判斷出，，然后根據(jù)作差法結(jié)合基本不等式比較.
【詳解】由題意，，，，
由換底公式，，
，
由于，根據(jù)基本不等式，，
故，即，于是.故選：A
題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型
恒成立：
①若在上恒成立，則；
②若在上恒成立，則；
③若在上有解，則；
④若在上有解，則；
函數(shù)最值，符合均值不等式條件的，可以構(gòu)造均值不等式放縮求最值
1．（22-23高三·福建廈門·階段練習）已知不等式對滿足的所有正實數(shù)a，b都成立，則正數(shù)x的最小值為（）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式證得（此公式也可背誦下來），從而由題設條件證得，結(jié)合題意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正數(shù)的最小值.
【詳解】因為，當且僅當時，等號成立，
所以，
因為為正實數(shù)，所以由得，即，
所以，
當且僅當，且，即時，等號成立，
所以，即，
因為對滿足的所有正實數(shù)a，b都成立，
所以，即，整理得，
解得或，由為正數(shù)得，
所以正數(shù)的最小值為.
故選：B.
2．（23-24高三·甘肅蘭州·期末）對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值（）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】
首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.
【詳解】不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為
恒成立，其中，
令，
，
，
第二次使用基本不等式，等號成立的條件是且，
得且，此時第一次使用基本不等式，說明兩次基本不等式能同時取得，
所以的最小值為，
即，則，
所以實數(shù)的最大值為.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是再求的最值時，需變形為，再通過兩次基本不等式求最值.
3．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）不等式對所有的正實數(shù),恒成立，則的最大值為（）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】由題意可得，令，則有，，結(jié)合基本不等式求得，于是有，從而得答案.
【詳解】解：因為,為正數(shù)，所以，所以，則有，令，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值為1，所以，即的最大值為1.故選：D.
【點睛】方法點睛：對于恒成立問題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數(shù)(代數(shù)式)的最值即可得解.
4．（22-23高三上·河南鄭州·模擬）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運用兩次基本不等式即可.
【詳解】依題意，．又，而，
當且僅當，即，時，前后兩個不等號中的等號同時成立，所以的取值范圍為
故選：
題型十七：因式分解型
如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解
1.特征：條件式子復雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常見的因式分解：
1.（2023·全國·高三專題練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是．
【答案】10
【解析】將已知等式化為，所求式子化為，利用基本不等式即可求解.
【詳解】
，
，
當且僅當，即時，等號成立.
故答案為：10
2.（22-23高三上·江西吉安·模擬）已知實數(shù)，滿足，，且，則的最大值為（）
A．10B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】由，變形為，設，利用基本不等式得到，進而化為求解.
【詳解】解：由，變形為，設，
∵，當且僅當時，取等號，即，
∴，∴，即，，∴，∴，
此時，，即，時，的最大值為8.故選：B.
3.（2023高三·全國·專題練習）已知，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得，結(jié)合條件可得，進而即得.
【詳解】因為，由，可得，又，
可得，化為，
解得，則的取值范圍是.故選：A.
4.（2023·全國·模擬預測）已知實數(shù)、、滿足，則的最小值為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】設，由已知推出，將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】設，則，
，
則，則，
即有，
故
，
當且僅當，即或時取等號，
驗證，時，，則，符合題意，；
時，，則，，符合題意，
故選：C
5.（22-23高三上·吉林·開學考試）已知，則的最小值是（）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】對原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.
【詳解】由，得，
即，所以，當且僅當，
即時，等號成立，所以的最小值是4.
故選：D.
題型十八：三元型不等式
一般地，處理多元最值問題的思考角度有以下幾個：
從元的個數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；
從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標函數(shù)（代數(shù)式），如一次二次比分式型，齊次比型，雙勾函數(shù)型等等；
從元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒數(shù)和等并列結(jié)構(gòu)的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號取到的條件.
1.（20-21高三上·北京·強基計劃）已知x，y，z是非負實數(shù)，且，則的最大值為（）
A．1B．2C．D．以上答案都不對
【答案】A
【分析】
利用基本不等式可求最大值.
【詳解】
，，，
所以，
，
因此所求代數(shù)式的最大值為1．
故選：A.
2．（21-22高三·浙江溫州·模擬）已知且，，，則的最小值為
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【詳解】∵，∴，
∵，
即,即，
∴，
即解得或(舍)，
當且僅當時取等號．
故選A.
點睛：由≥b≥c，+b+c=12可得≥4，利用（-b）（-c）≥0得出，故而45≥bc+（12-）=，從而解出的范圍．
3．（2023·安徽滁州·二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進行求解即可.
【詳解】，
因為a，b，c均為正數(shù)，
所以有，
當且僅當時取等號，即時取等號，
故選：C
4．（22-23高三·江蘇常州·階段練習）實數(shù)a，b，c滿足，，，則的最小值為（）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，結(jié)合分式的運算性質(zhì)、基本不等式進行求解即可.
【詳解】，，
，，
，
當且僅當，即時等號成立，的最小值為1，故選：B
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用因式分法，得到是解題的關(guān)鍵.
5．（22-23高三上·江蘇宿遷·階段練習）已知實數(shù)、、滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可得，求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.
【詳解】因為，所以，，
因為，可得，故當時，取最大值.
故選：A.

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