知識點1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
1、等式性質(zhì)
2、不等式性質(zhì)
知識點2 一元二次不等式的解集
知識點3 基本不等式
1、重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.
變形公式：
2、基本不等式：
（1）基本不等式成立的條件：
（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
（3）算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，
基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
3、利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，則
（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq \r(p).(簡記：積定和最小)
（2）如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq \f(p2,4).(簡記：和定積最大)
重難點01 利用基本不等式求最值的方法
法一、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系
【典例1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足， 則 的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【解析】，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：D.
【典例2】（2024·四川成都·三模）若正實數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最大值為.故選：A.
法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。
【典例1】（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知，則的最小值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】由于，所以，
由,
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），可得的最小值為3，故選：D．
【典例2】（23-24高三上·山西晉中·開學(xué)考試）已知，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】因為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為，解得，故選：B
法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況
類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；
【典例1】（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解析】因為正數(shù)滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號.故選：D
【典例2】（23-24高三上·甘肅武威·期末）若，且，則的最小值為（ ）
A．6B．9C．4D．8
【答案】B
【解析】因為，所以，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為9，故選：B.
類型2：分母為多項式時
方法1：觀察法 適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；
方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，
如分母為與，分子為，
設(shè)
∴，解得：
【典例1】（23-24高三下·江蘇揚州·開學(xué)考試）已知實數(shù)，，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】實數(shù)，，由，得，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.故選：B
【典例2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若是正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故選：A
法四、消元法：當(dāng)題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題。
【典例1】（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】由可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時符合題意.
所以的最小值為.故選：A.
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為實數(shù)滿足，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值是的最小值是，故選：B
法五、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。
【典例1】（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知為正數(shù)，且，
所以，化簡得，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故A正確.故選：A.
【典例2】（23-24高三下·重慶·月考）對于正數(shù)，有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可知：，
因為都是正數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等），
化簡可得，解得，故C正確.故選：C.
重難點02 不等式恒成立與能成立問題
一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（23-24高一上·遼寧·月考）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【解析】由題意知，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，
又不等式恒成立，
則不等式，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：A.
【典例2】（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實數(shù)k的最大值為（ ）
A．12B．24C．D．
【答案】B
【解析】，，變形為，
令，
則轉(zhuǎn)化為，即，
其中
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，可知.故選：B
重難點03 求含參數(shù)的一元二次不等式
對求含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有：
（1）根據(jù)二次項系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類；
（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)；
（3）有兩個根式，有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論。
【典例1】（23-24高三上·浙江紹興·期末）（多選）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】當(dāng)時，；
當(dāng)時，或，故A正確；
當(dāng)時，，
若，則解集為空集；
若，則不等式的解為：，故D正確；
若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．
（2）解關(guān)于實數(shù)的不等式：．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；
【解析】（1）易知方程的，
由得，解得，
當(dāng)時，的解集為，
當(dāng)時，的解集為，
當(dāng)時，的解集為．
（2）對方程，
當(dāng)時，即時,不等式的解集為
當(dāng)時，即或時,
的根為，
不等式的解集為；
綜上可得，時,不等式的解集為，
或時，不等式的解集為.
一、比較兩數(shù)（式）的大小
1、作差法：
（1）原理：設(shè)，則；；；
（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結(jié)論。
（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形。
2、作商法：
（1）原理：設(shè)，則；；
（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結(jié)論。
（3）注意：作商時各式的符號應(yīng)相同，如果均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對數(shù)恒等變形。
【典例1】（22-23高三·全國·對口高考）（1）比較與的大?。?br>（2）已知，比較與大小
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，所以，
所以①當(dāng)時，，所以，
②當(dāng)時，，即，所以，
③當(dāng)時，，即，所以，
綜上所述：當(dāng)，.
（2），
因為，所以，所以，
由，
所以，所以，即，
故.
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知均為正實數(shù)，且．
(1)比較與的大??；
(2)比較和的大?。?br>【答案】(1)；(2)答案見解析
【解析】（1），
均為正實數(shù)，，
；
（2）當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)．
①當(dāng)時，，則，
若，則；
若，則；
②當(dāng)時，；
③當(dāng)時，，則，
若，則；
若，則．
綜上所述，當(dāng)或時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)或時，.
二、利用不等式的性質(zhì)求數(shù)（式）的范圍
已知，，求的取值范圍
第一步：設(shè)；
第二步：經(jīng)過恒等變形，求得待定系數(shù)；
第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得的取值范圍。
【典例1】（23-24高三上·河南洛陽·月考）（多選）已知，，則下列選項中正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由，可得，又，所以，故A正確；
由，可得，又，所以，故B正確；
由，可得，又，
所以，因為，所以，故C錯誤；
由，，得，，
所以，所以，故D錯誤.故選：AB
【典例2】（23-24高一上·山西太原·月考）已知，，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，，故，即.故選：D
三、解一元二次不等式的步驟
第一步：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；
第二步：寫出相應(yīng)的方程，計算判別式：
①時，求出兩根，且（注意靈活運用因式分解和配方法）；
②時，求根；
③時，方程無解
第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.
【典例1】（23-24高三下·河北滄州·月考）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，所以，故選：B
【典例2】（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】一元二次不等式的解為，
所以的解為，且，
由韋達(dá)定理得，
代入得，故選：D.
四、一元二次不等式恒成立問題
恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略：
（1）弄清楚自變量、參數(shù)。一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論。
【典例1】（23-24高三下·上海浦東新·月考）若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時，不等式為，顯然不符合題意；
當(dāng)時，因為關(guān)于的不等式的解集為，
所以有，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【典例2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】.
【解析】當(dāng)時，不等式恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，則，
令，則在單調(diào)遞增，
所以，所以.
五、基本不等式的實際應(yīng)用
解實際應(yīng)用題的三個注意點：
1、設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；
2、根據(jù)實際問題抽象很出有關(guān)式關(guān)系式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；
3、在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解。
【典例1】（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
【答案】C
【解析】設(shè)矩形場地的長為米，則寬為米，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以平整這塊場地所需的最少費用為元.故選：C
【典例2】（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，如圖，
設(shè)，由題設(shè)可得圓的直徑為，
故，因，為三角形內(nèi)角，故，
故，
故，
故，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
同理，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br>故四邊形周長的最大值為，故選：A.
六、利用不等的性質(zhì)及基本不等式證明不等式
1、無附加條件的不等式證明：證明時要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形形式，這也是證明輪換對稱結(jié)構(gòu)的不等式（把b換a，a換c，c換b后，代數(shù)式不變的式子叫做輪換對稱性，其特征是a，b，c的地位一樣）的常用思路。
2、有附加條件的不等式的證明：應(yīng)先觀察已知條件和所證不得呢公式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時，要注意“1”的代換。另外，解題時要時刻注意等號能否取到。
【典例1】（23-24高三下·陜西西安·月考）設(shè)為正數(shù)，且. 證明：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）由已知有，從而，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
（2）方法一：由已知條件，結(jié)合基本不等式即可得到
.
方法二：等價于，
根據(jù)題設(shè)有，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
【典例2】（2024·青海·一模）已知正數(shù)滿足．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）證明：因為正數(shù)滿足，
由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得，
即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
（2）證明：由
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立.
所以.

易錯點1 忽視不等式性質(zhì)成立的條件
點撥：在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時一定要注意前提條件，如不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)、式，兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件．
【典例1】（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于，取，，，
無法得到，，故AB錯誤，
取,則，無法得到，C錯誤，
由于，則，所以，故選：D
【典例2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，所以，所以錯誤；
令，此時與無意義，所以錯誤；
因為，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以正確；
令，則，所以錯誤.故選：.
易錯點2 忽視基本不等式應(yīng)用的條件
點撥：（1）利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負(fù))，特別要注意等號成立的條件．
（2）對形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，bx同號．
【典例1】（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，
這三個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而題中，
因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；
中當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．
故選：D．
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列不等式證明過程正確的是（ ）
A．若，則
B．若x＞0，y＞0，則
C．若x＜0，則
D．若x＜0，則
【答案】D
【解析】∵可能為負(fù)數(shù)，如時，，∴A錯誤；
∵可能為負(fù)數(shù)，如時，，∴B錯誤；
∵，如時，，∴C錯誤；
∵，，，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，∴D正確．故選：D．
易錯點3 連續(xù)使用均值不等式忽略等號能否同時成立
點撥：連續(xù)使用均值不等式求最值或范圍,要注意判斷每個等號成立的條件，檢驗等號能否同時成立.
【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為 ．
【答案】64
【解析】法一：因為，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．
所以的最小值為64．
法二：因為，，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
所以的最小值為64．
【典例2】（23-24高三下·浙江寧波·月考）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】任意的正實數(shù)，，，滿足，
所以，
由于，為正實數(shù)，故由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
綜上，的最小值為16．
易錯點4 解分?jǐn)?shù)不等式忽略分母不為零
點撥：解含有分?jǐn)?shù)的不等式,在去分母時要注意分母不為零的限制條件,防止出現(xiàn)增解,如
【典例1】（2024·山西朔州·一模）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,故，故選：C.
【典例2】（23-24高三上·山東聊城·期中）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由不等式，則等價于，解得，
所以，由，則.故選：D.性質(zhì)
文字表述
性質(zhì)內(nèi)容
注意
1
對稱性
可逆
2
傳遞性
同向
3
可加、減性
可逆
4
可乘性
同向
5
可除性
同向
性質(zhì)
別名
性質(zhì)內(nèi)容
注意
1
對稱性
a>b?bb，b>c?a>c
同向
3
可加性
a>b?a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0?ac>bc
a>b，cd?a＋c>b＋d
同向
6
正數(shù)同向可乘性
a>b>0，c>d>0?ac>bd
同向
7
正數(shù)乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)
同正
判別式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的圖象
方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有兩相異實根x1，x2(x10
(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x1< x

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識總結(jié) 一元二次函數(shù)、方程和不等式（含解析）

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