北京市順義區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷共5頁(yè)，共兩部分，第一部分共10道小題，共40分，第二部分共11道小題，共110分，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．
2．在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、姓名、班級(jí)和教育ID號(hào)．
3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．
4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可；
【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.
故選：A.
2. 已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求集合，再根據(jù)集合間的關(guān)系和運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
所以之間沒有包含關(guān)系，且，故ABC錯(cuò)誤，D正確；
故選：D.
3. 已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】由得，，結(jié)合在上單調(diào)遞減，
則必有，顯然B正確，A錯(cuò)誤，
而當(dāng)時(shí)，不在定義域內(nèi)，故無(wú)法比較，C,D錯(cuò)誤.
故選：B
4. 已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量與共線求解.
【詳解】已知向量,,所以，
因?yàn)榕c共線，所以，解得：.
故選：C
5. 已知雙曲線的離心率，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得的范圍．
【詳解】由已知可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，
所以
，由，解得.
故選：A.
6. 設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，公差，，則（）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解.
【詳解】根據(jù)題意：，公差，可知，
所以，
所以即為：，解得：.
故選：C
7. 已知，，則“”是“”（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式可知當(dāng)時(shí)，；反之不成立，即可得出結(jié)論.
【詳解】若“”，可知當(dāng)時(shí)，不成立，即可知充分性不成立；
若，可得，即可得，即必要性成立，
因此可得“”是“”的必要不充分條件；
故選：B
8. 設(shè)，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，再轉(zhuǎn)化即可得解.
【詳解】令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?，?br>而，所以，即.
故選：A.
9. 地鐵某換乘站設(shè)有編號(hào)為的五個(gè)安全出口．若同時(shí)開放其中的兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客所需的時(shí)間如下：
用表示安全出口的疏散效率（疏散時(shí)間越短，疏散效率越高），給出下列四個(gè)說法：①；②；③；④．其中，正確說法的個(gè)數(shù)有（）
A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，列方程組，根據(jù)方程組解的值，判斷正確的說法.
【詳解】設(shè)每個(gè)出口每秒可疏散的人數(shù)為（），由題意，可得方程組：，可得：.
因?yàn)椋裕寓僬_；
因?yàn)?，所以，所以②正確；
因?yàn)?，所以，所以③正確；
因?yàn)?，所以，所以④錯(cuò)誤.
故選：B
10. 《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”．現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”，平面，，為底面及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可求得，建立空間坐標(biāo)系，利用已知設(shè)，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式及輔助角公式計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】平面，，連接，由，可得，
四邊形為矩形，以為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，
則，設(shè)，，
則，
所以
因?yàn)?，則，則，
所以.
故選：D
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上．
11. 在的展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)即可求解.
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，
令，可得，
所以的系數(shù)為，
故答案為：10
12. 已知函數(shù)在上是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義得到，代入求解即可.
【詳解】函數(shù)在上是奇函數(shù)，，
.
故答案為：.
13. 在中，，，則__________；__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由正切函數(shù)定義可求得，可得，再由正弦定理可得.
【詳解】由，，可得；
所以可得，所以，即；
易知，，
由正弦定理可得；
故答案為：，
14. 已知，若存在，使，則正整數(shù)的一個(gè)取值是__________．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得，進(jìn)而可求解.
【詳解】由可得,
由于，所以不妨，，則，滿足，
故答案為：3（答案不唯一）
15. 已知數(shù)列滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，則數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)等于；
②若，則對(duì)任意，有；
③若，則存在，當(dāng)時(shí)，有；
④若，則對(duì)任意，有；
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】對(duì)于①：根據(jù)遞推公式分析求解即可；對(duì)于②④：根據(jù)遞推公式結(jié)合基本不等式分析判斷；對(duì)于③：根據(jù)遞推公式結(jié)合基本不等式可知，分和兩種情況，結(jié)合④中結(jié)論分析判斷.
【詳解】對(duì)于①：若，則，，
以此類推可知：，即數(shù)列an中有無(wú)窮多項(xiàng)等于，故①正確；
對(duì)于②：若，則，
，
以此類推可知：，
則，即，故②正確；
對(duì)于④：若，可知，，
以此類推，可知：，
且，
因?yàn)?，可得，故④錯(cuò)誤；
對(duì)于③：若，可知，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，
以此類推，可知：，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
若，對(duì)任意，可得，顯然成立；
若，且，可知當(dāng)時(shí)，，
由④可知：當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋瑢?duì)于結(jié)合指數(shù)性質(zhì)可知：
存在且，當(dāng)時(shí)，使得，
即；
綜上所述：存在，當(dāng)時(shí)，有，故③正確；
故選：①②③.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于③：根據(jù)④中結(jié)論分析可知：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合指數(shù)性質(zhì)分析判斷.
三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用定義求最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間即可.
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即可.
【小問1詳解】
設(shè)的最小正周期為，顯然，令，解得.
【小問2詳解】
由已知得，，
當(dāng)時(shí)，令，，令，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則最大值是.
17. 某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過三個(gè)路口，在各個(gè)路口遇到紅燈的概率及停留的時(shí)間如下：
假設(shè)在各路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立．
（1）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；
（2）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間大于3分鐘的概率；
（3）假設(shè)交管部門根據(jù)實(shí)際路況，5月1日之后將上述三個(gè)路口遇到紅燈停留的時(shí)間都變?yōu)?分鐘．估計(jì)5月1日之后這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的變化情況，是“增加，不變還是減少”．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（1）
（2）
（3）增加
【解析】
【分析】（1）易知這名學(xué)生在上學(xué)路上沒有遇到前兩個(gè)紅燈，計(jì)算可得結(jié)果；
（2）分別求出遇到不同紅燈個(gè)數(shù)時(shí)滿足題意的概率，由加法公式即可得出結(jié)果；
（3）利用期望值定義分別求出紅燈時(shí)間調(diào)整前后紅燈停留的總時(shí)間平均值，即可得出變化情況是增加的.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可知，這名學(xué)生在上學(xué)路上沒有遇到前兩個(gè)紅燈，
因此到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；
【小問2詳解】
依題意，若僅遇到一個(gè)紅燈，停留的總時(shí)間不會(huì)不大于3分鐘；
若遇到兩個(gè)紅燈，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到紅燈滿足題意，
此時(shí)的概率為；
若遇到三個(gè)紅燈，此時(shí)的概率為；
所以因遇到紅燈停留的總時(shí)間大于3分鐘的概率為
【小問3詳解】
根據(jù)題意可知，紅燈時(shí)間沒有調(diào)整前紅燈停留的總時(shí)間的取值；
則，，，，
，，
；
可得；
時(shí)間都變?yōu)?分鐘后因紅燈停留的總時(shí)間的取值；
，，，
；
可得
顯然；
所以調(diào)整后總時(shí)間的變化情況，是“增加”的．
18. 如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．

（1）求證：平面；
（2）若，平面平面，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求與平面所成角的正弦值．
條件①：；條件②）：；條件③）：．
注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可得線線平行，即可根據(jù)線面平行的判定求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
取中點(diǎn),連接
由于分別為的中點(diǎn)，所以,
又,所以,
因此四邊形為平行四邊形，
故平面,平面,
故平面
【小問2詳解】
由于平面平面，且交線為，又，平面，所以平面，
平面，故
若選①：；
因此，兩兩垂直，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

,
故,
設(shè)平面法向量為m=x,y,z，
則，
取，則，
設(shè)與平面所成角為，則，
若選擇條件②）：；
，，平面
所以平面平面故，
因此，兩兩垂直，
以下與選擇①相同.
若選擇條件③）：．
因?yàn)?，所以由可以推出?br>此時(shí)推不出.此時(shí)三棱柱不唯一，故不可選擇作為已知條件，
19. 已知橢圓過點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線，分別與軸交于點(diǎn)M，N，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，把點(diǎn)代入，即可求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，，計(jì)算直線的斜率與直線的斜率的和，即可根據(jù)對(duì)稱求解.
【小問1詳解】
由于，設(shè)所求橢圓方程為，
把點(diǎn)代入，得，，
橢圓方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
代入橢圓方程，整理得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
，，，所以,
直線直線斜率為，
直線直線斜率為，
則
所以，，即直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，
故直線與直線關(guān)于對(duì)稱，
因此．
故
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.
20. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍：
（3）寫出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（直接寫出結(jié)論即可）
【答案】（1）
（2）
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，
（2）分類討論即可結(jié)合極值的定義求解，
（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合函數(shù)圖象求解交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
故，，
在點(diǎn)處的切線方程為，即
【小問2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，令或，
要使得在上存在極值，則需要，解得，
【小問3詳解】
令，
令，則，
記，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，
且，時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，
作出大致圖象如下：
故當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)或時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)，
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
21. 給定正整數(shù)，設(shè)集合．若對(duì)任意，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱集合具有性質(zhì)．
（1）分別判斷集合與是否具有性質(zhì)；
（2）若集合具有性質(zhì)，求的值；
（3）若具有性質(zhì)的集合中包含6個(gè)元素，且，求集合．
【答案】（1）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)
（2）
（3），，或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義，即可判斷兩個(gè)集合是否滿足；
（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，首先確定，再討論是否屬于集合，即可確定的取值，即可求解；
（3）首先確定集合中有0，并且有正數(shù)和負(fù)數(shù)，然后根據(jù)性質(zhì)討論集合中元素的關(guān)系，即可求解.
【小問1詳解】
集合中，，
所以集合不具有性質(zhì)，
集合中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合，所以集合具有性質(zhì)；
【小問2詳解】
若集合具有性質(zhì)，記，則，
令，則，從而必有，
不妨設(shè)，則，且，
令，，則，且，且，
以下分類討論：
1）當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)，滿足性質(zhì)；
若，舍；若，無(wú)解；
2）當(dāng)時(shí)，則，注意且，可知無(wú)解；
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
綜上；
【小問3詳解】
首先容易知道集合中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，
不妨設(shè)，其中，，
根據(jù)題意，
且，從而或，
1）當(dāng)時(shí)，，
并且，，
由上可得，并且，
綜上可知；
2）當(dāng)時(shí)，同理可得，
據(jù)此，當(dāng)中有包含6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件的集合有5個(gè)，
分別是，，或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是確定滿足性質(zhì)的集合里面有0，再對(duì)其他元素進(jìn)行討論.
安全出口編號(hào)
疏散乘客時(shí)間
120
220
160
140
200
路口
路口一
路口二
路口三
遇到紅燈的概率
遇到紅燈停留的時(shí)間
3分鐘
2分鐘
1分鐘

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多