北京市順義區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、單選題：本題共10小題，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.
【詳解】解：，
，
故選：B．
2. 設(shè)復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則,將求出,即可得該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】解:由題知,
,
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故選:A
3. 設(shè)且,則“”是“”成立的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【詳解】易知當(dāng)時(shí)，成立，又當(dāng)時(shí)，，所以“x>1”是“”成立的充分而不必要條件.故選A.
4. 已知向量滿足，且，則（）
A. 12B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】借助向量的模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得.
詳解】.
故選：B.
5. 若，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷A，利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷B，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷C，舉特例判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋灾笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以冪函?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以?duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，有，
此時(shí)不滿足，錯(cuò)誤.
故選：B
6. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（）

A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圖可得，求得，再利用圖象過點(diǎn)，可得到，從而得到，再利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.
【詳解】由圖象可知，解得，因?yàn)?，所以，解得?br>將代入解析式化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，則，得，
故，所以.
故選：A
7. 在中，若，，，則的面積是（）．
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理得，再根據(jù)得，進(jìn)而得，最后求出,再利用三角形面積公式即可求出答案.
【詳解】由余弦定理得，代入，得，
因?yàn)?，所以，?br>所以，解得，
因?yàn)?，則,
所以，.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，則不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，結(jié)合圖象求得正確答案.
【詳解】依題意，，
由解得或
畫出的圖象如下圖所示，
由圖可知，不等式的解集是.
故選：A
9. 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】依題意，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
由得，
所以，所以或，
所以或，
所以的取值范圍是.
故選：D
10. 八卦是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的一部分，八個(gè)方位分別象征天、地、風(fēng)、雷、水、火、山、澤八種自然現(xiàn)象、八卦模型如圖1所示，其平面圖形為正八邊形，如圖2所示，點(diǎn)為該正八邊形的中心，設(shè)，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①；
②；
③在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）；
④若點(diǎn)為正八邊形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為4.
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由圖可知對(duì)于線段長(zhǎng)和夾角的值，由向量的相關(guān)計(jì)算分別得出對(duì)于命題的結(jié)果，從而得出結(jié)論.
【詳解】由題意可知：，
∴，故①不成立；
∵，
∴，故②成立；
∵在上的投影：
∴在上的投影向量為，成立；故③成立；
如圖：

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，此時(shí)在上的投影最大，
在中，，∴
∴
，故④不正確.
故選：C.
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分式、對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式組求定義域即可.
【詳解】由題設(shè)，故，
所以定義域?yàn)?
故答案為：
12. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.
【答案】24
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式計(jì)算．
【詳解】是等差數(shù)列，
∴，，
．
故答案為：24.
13. 在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【詳解】特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.

考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為平面向量有關(guān)知識(shí)與計(jì)算，利用向量相等解題.
14. 已知函數(shù)，若將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角和的正弦公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，并求出平移后的函數(shù)解析式，利用所得函數(shù)圖象過原點(diǎn)，求出的表達(dá)式，即可得出正數(shù)的最小值.
【詳解】，
將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象的函數(shù)解析式為，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，
，，
由于，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)的最值，同時(shí)也考查了三角函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵就是要結(jié)合對(duì)稱性得出參數(shù)的表達(dá)式，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.
15. 已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，存在唯一的零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，存在最小值；
③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，；
④的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)椋?br>其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
【答案】①④
【解析】
【分析】①根據(jù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)求的最值判斷；②由函數(shù)零點(diǎn)概念求解；③討論，分析各段上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷；④用特殊值判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，令得，則有唯一零點(diǎn)，故①正確;
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故的值域?yàn)?；綜上：的值域?yàn)椋瑹o最小值；故②不正確；
當(dāng)時(shí)，，則，，，則，故③不正確；
至多有一個(gè)零點(diǎn)，至多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，則由可得：或，故恒有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，若，則存在一個(gè)零點(diǎn)；若，不存在零點(diǎn)，則時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為2或3個(gè)；
若時(shí)，，當(dāng)，，不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，即；
若時(shí)，則，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，也沒有零點(diǎn)，即；
綜上：的值域?yàn)椋盛苷_.
故答案為：①④.
三、解答題（本大題共6小題，共85.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值及取得最值時(shí)自變量的值.
【答案】（1）周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）時(shí)，函數(shù)有最大值；時(shí)，函數(shù)有最小值.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角降冪公式以及輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由，可計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的的值.
【詳解】（1），
所以，函數(shù)的最小正周期為.
解不等式，得，
因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為.
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值，且最小值為.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)基本性質(zhì)的求解，解題時(shí)要將三角函數(shù)解析式利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，并結(jié)合正余弦函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
17. 設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）再?gòu)囊韵氯M條件中選擇一組條件作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積．
第①組條件：，；
第②組條件：邊上的高，；
第③組條件：，．
【答案】（1）
（2）選①不符合題意；選②；選③
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化即可求解；
（2）選①利用余弦定理可求出邊，可判斷不滿足題意；選②先利用高和角列式可求出，然后利用余弦定理可求出邊，進(jìn)而求出面積；選③先求，然后利用正弦定理求出邊，再結(jié)合兩角和的正弦公式求，進(jìn)而可求出面積.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以由正弦定理?
又因?yàn)?，所以，所以?br>顯然，則，
又因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
若選①，由余弦定理得，即，即，
解得或，不符合題意；
若選②，因?yàn)檫吷系母撸?，則，
由余弦定理得，即，即，
解得（舍去），
故唯一，符合題意，
此時(shí)的面積；
若選③，因?yàn)橹澜?，，邊，所以唯一，符合題意，
因?yàn)?，，所以?br>由正弦定理得，
則，
此時(shí)的面積.
18. 設(shè)函數(shù)．
（1）若，求的值．
（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）.
（2）條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.
【解析】
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．
【小問1詳解】
因?yàn)?br>所以，
因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐?，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，因?yàn)椋?
所以，；
若選條件③：因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
19. 甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場(chǎng)，規(guī)定每場(chǎng)比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：
（1）從上述10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求甲獲勝的概率；
（2）在上述10場(chǎng)比賽中，從甲得分不低于10分的場(chǎng)次中隨機(jī)選擇兩場(chǎng)，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場(chǎng)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）假設(shè)每場(chǎng)比賽獲勝者唯一，且各場(chǎng)相互獨(dú)立，用上述10場(chǎng)比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場(chǎng)投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場(chǎng)數(shù)，為乙獲勝的場(chǎng)數(shù)，為丙獲勝的場(chǎng)數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）從表格中可以發(fā)現(xiàn)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為3場(chǎng)，從而得到甲獲勝的概率；
（2）從表格中可以發(fā)現(xiàn)在10場(chǎng)比賽中，甲得分不低于10分場(chǎng)次有6場(chǎng)，分別是第2場(chǎng)，第3場(chǎng)，第5場(chǎng)，第8場(chǎng)，第9場(chǎng)，第10場(chǎng)。乙得分大于丙得分的場(chǎng)數(shù)的取值為0，1，2，通過超幾何分布的知識(shí)點(diǎn)，得到的分布列及數(shù)學(xué)期望.
（3）通過題目條件得到10場(chǎng)比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，因?yàn)榧?、乙、丙獲勝的場(chǎng)數(shù)符合二項(xiàng)分布，從而得到方差，，的大小關(guān)系.
【小問1詳解】
根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，甲共獲勝3場(chǎng)，分別是第3場(chǎng)，第8場(chǎng)，第10場(chǎng).
設(shè)表示“從10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，甲獲勝”，則.
【小問2詳解】
根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，甲得分不低于10分的場(chǎng)次有6場(chǎng)，
分別是第2場(chǎng)，第3場(chǎng)，第5場(chǎng)，第8場(chǎng)，第9場(chǎng)，第10場(chǎng)，其中乙得分大于丙得分的場(chǎng)次有4場(chǎng)，
分別是第2場(chǎng)、第5場(chǎng)、第8場(chǎng)、第9場(chǎng).
所以的所有可能取值為0，1，2.
，，.
所以的分布列為
所以.
【小問3詳解】
由題意，每場(chǎng)比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進(jìn)行6場(chǎng)比賽，
而甲、乙、丙獲勝的場(chǎng)數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以
，，
故.
20. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．
【答案】（1）（2）答案見解析
（3）；理由見解析
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，然后求出，從而求解.
（2）由（1）知，然后求出導(dǎo)數(shù)，從而可求解.
（3）根據(jù)（2）中分類討論情況，然后求出相應(yīng)的解，從而求出fx單調(diào)區(qū)間，從而求解.
【小問1詳解】
由題意知，定義域?yàn)?，所以?br>所以直線的斜率，，
所以切線方程為，即.
【小問2詳解】
由（1）知，所以，
令，即，解得或，
當(dāng)，，
當(dāng)，，
當(dāng)，，
所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
個(gè)極值點(diǎn)，理由如下：
由（2）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，，
所以存在唯一，使；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，，
所以存在唯一，使；
當(dāng)時(shí)，，，所以
所以在區(qū)間無零點(diǎn)；
綜上，當(dāng)，，
當(dāng)，，
當(dāng)，，
所以當(dāng)時(shí)，fx取到極小值；當(dāng)時(shí)，fx取到極大值；
故fx有個(gè)極值點(diǎn).
21. 已知數(shù)集（），若對(duì)任意的（），與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．
（1）分別判斷數(shù)集B=與數(shù)集C=是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）若數(shù)集A具有性質(zhì)P．
①當(dāng)時(shí)，證明，且成等比數(shù)列；
②證明：．
【答案】（1）數(shù)集具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由見解析
（2）①證明見解析；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)P的定義帶入數(shù)值判斷即可；
（2）①根據(jù)題意分析可得，即可得結(jié)果；②采用構(gòu)造對(duì)應(yīng)的方法構(gòu)造一個(gè)新的相等的集合，對(duì)其元素進(jìn)行排序后對(duì)應(yīng)相等可解.
【小問1詳解】
數(shù)集具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由如下：
因?yàn)椋?，，，，都屬于?shù)集，所以具有性質(zhì)；
因?yàn)椋疾粚儆跀?shù)集，所以不具有性質(zhì)．
【小問2詳解】
①當(dāng)時(shí)，，．
因?yàn)?，所以，，所以與都不屬于A，
因此，，所以．
因?yàn)?，且，所以?br>且，所以，所以成等比數(shù)列．
②因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以，至少有一個(gè)屬于A，
因?yàn)?，所以，，因此，?br>因?yàn)椋裕ǎ?br>故當(dāng)時(shí)，，，（），
又因?yàn)椋?br>則，，，，，
可得，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新定義題目，必須先看清楚題目是如何定義的，然后依據(jù)定義小心驗(yàn)證自己的理解是否有偏差.題目了解之后再考慮提煉第二問的解決方法，本題采用了構(gòu)造一個(gè)新的集合與原集合相等，得到答案.
場(chǎng)次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
0
1
2

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多