專題12.3 二次根式的加減【八大題型】 【蘇科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc17513" 【題型1 同類二次根式的判斷】  PAGEREF _Toc17513 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc16179" 【題型2 求同類二次根式中的參數(shù)】  PAGEREF _Toc16179 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc23646" 【題型3 二次根式的加減運(yùn)算】  PAGEREF _Toc23646 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc17779" 【題型4 二次根式的混合運(yùn)算】  PAGEREF _Toc17779 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc19681" 【題型5 已知字母的值化簡(jiǎn)求值】  PAGEREF _Toc19681 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc8513" 【題型6 已知條件式化簡(jiǎn)求值】  PAGEREF _Toc8513 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc3094" 【題型7 二次根式的新定義運(yùn)算】  PAGEREF _Toc3094 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc23532" 【題型8 二次根式的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc23532 \h 4  【知識(shí)點(diǎn)1 同類二次根式】 把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式． ①同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)； ②幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡(jiǎn)之前，被開方數(shù)完全可以互不相同； ③判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同． 【題型1 同類二次根式的判斷】 【例1】（2022春?西華縣期末）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后可以合并的是（　?。?A．3與32 B．6與12 C．5與75 D．12與27 【變式1-1】（2022春?郯城縣期中）下列根式中，與6x不是同類二次根式的是（　　） A．x6 B．6x C．16x D．6+x 【變式1-2】（2022春?肥城市期中）若兩個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后被開方數(shù)相同，則稱這樣的二次根式為同類二次根式，那么下列各組二次根式，不是同類二次根式的一組是（　　） A．8與32 B．45與20 C．27與75 D．24與80 【變式1-3】（2022春?河西區(qū)校級(jí)月考）下列各式中與a+b是同類二次根式的是（　?。?1a(a+b)2 B．133(a+b) C．a(chǎn)+b2 D．9a+b 【題型2 求同類二次根式中的參數(shù)】 【例2】（2022春?懷遠(yuǎn)縣期中）已知二次根式?x?2． （1）求使得該二次根式有意義的x的取值范圍； （2）已知?x?2為最簡(jiǎn)二次根式，且與52為同類二次根式，求x的值，并求出這兩個(gè)二次根式的積． 【變式2-1】（2022秋?倉山區(qū)校級(jí)期末）如果最簡(jiǎn)二次根式3a+8與12?a是同類二次根式，那么3a的值為　 ?。?【變式2-2】（2022春?西華縣期末）先閱讀下面的解題過程，再回答后面的問題： 如果16(2m+n)和m?n?1m+7在二次根式的加減運(yùn)算中可以合并成一項(xiàng)，求m、n的值． 解：因?yàn)?6(2m+n)與m?n?1m+7可以合并 所以m?n?1=216(2m+n)=m+7即m?n=331m+16n=7 解得m=5547n=?8647 問： （1）以上解是否正確？答　 ?。?（2）若以上解法不正確，請(qǐng)給出正確解法． 【變式2-3】（2022春?孟村縣期中）若最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11是同類二次根式． （1）求x，y的值； （2）求x2+y2的值． 【知識(shí)點(diǎn)2 二次根式的加減法則】 二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方 法為系數(shù)相加減，根式不變． 【題型3 二次根式的加減運(yùn)算】 【例3】（2022春?普蘭店區(qū)期中）計(jì)算： （1）18?32+2 （2）7a8a?4a218a+7a2a． 【變式3-1】（2022春?高密市校級(jí)月考）計(jì)算： （1）0.25+925+0.49+|?1100| （2）0.01?1100+（﹣1）3(?0.01)2+0 （3）45+45?8+42． 【變式3-2】（2022秋?浦東新區(qū)期中）化簡(jiǎn)：8ab?b2ab?ab2a（a＞0，b＞0） 【變式3-3】（2022秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算下列各式： （1）5?6?20+23+95 （2）12?0.5?213?18+18 （3）27a?a3a+3a3+12a75a3 （4）23x9x+6xyx+yxy?x21x． 【題型4 二次根式的混合運(yùn)算】 【例4】（2022春?安慶期末）計(jì)算： （1）48÷3+215×30?（22+3）2 （2）（?12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π?2)0?(?4)2+25 【變式4-1】（2022春?岳池縣期中）計(jì)算：2×63+（3?2）2?2（2?6） 【變式4-2】（2022春?天心區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算： （1）（20+5+5）÷5?13×24?5； （2）18?92?3+63+（3?2）0+(1?2)2． 【變式4-3】（2022秋?昌江區(qū)校級(jí)期末）（a+b?aba+b）÷（aab+b+bab?a?a+bab）（a≠b）． 【題型5 已知字母的值化簡(jiǎn)求值】 【例5】（2022秋?如東縣期末）已知x＝1?3，求代數(shù)式（4+23）x2+（1?3）x+83． 【變式5-1】（2022秋?楊浦區(qū)期中）計(jì)算與求值． 已知a=12+3，求a2?2a+1a?1?a2?2a+1a2?a的值． 【變式5-2】（2022春?容縣校級(jí)月考）已知a＝2，b＝3，求式子a3b?ab+a3b3的值． 【變式5-3】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)月考）已知x=12021?2020，則x6﹣22020x5?x4+x3?22021x2+2x?2021的值為（　?。?A．0 B．1 C．2020 D．2021 那么這個(gè)三角形的面積S=p(p?a)(p?b)(p?c)．這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式．中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫﹣﹣秦九韶公式”．完成下列問題： 如圖，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8． （1）求△ABC的面積； （2）設(shè)AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，求h1+h2的值． 【變式8-3】（2022秋?長安區(qū)校級(jí)期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為83米，寬AB為98米，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個(gè)長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為13+1米，寬為13?1米． （1）長方形ABCD的周長是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式） （2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購買地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式） 專題12.3 二次根式的加減【八大題型】 【蘇科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc17513" 【題型1 同類二次根式的判斷】  PAGEREF _Toc17513 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc16179" 【題型2 求同類二次根式中的參數(shù)】  PAGEREF _Toc16179 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc23646" 【題型3 二次根式的加減運(yùn)算】  PAGEREF _Toc23646 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc17779" 【題型4 二次根式的混合運(yùn)算】  PAGEREF _Toc17779 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc19681" 【題型5 已知字母的值化簡(jiǎn)求值】  PAGEREF _Toc19681 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc8513" 【題型6 已知條件式化簡(jiǎn)求值】  PAGEREF _Toc8513 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc3094" 【題型7 二次根式的新定義運(yùn)算】  PAGEREF _Toc3094 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc23532" 【題型8 二次根式的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc23532 \h 12  【知識(shí)點(diǎn)1 同類二次根式】 把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式． ①同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)； ②幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡(jiǎn)之前，被開方數(shù)完全可以互不相同； ③判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同． 【題型1 同類二次根式的判斷】 【例1】（2022春?西華縣期末）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后可以合并的是（　?。?A．3與32 B．6與12 C．5與75 D．12與27 【分析】化簡(jiǎn)二次根式，判斷被開方數(shù)是否相同即可得出答案． 【解答】解：A選項(xiàng)，3與42不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意； B選項(xiàng)，6與23不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意； C選項(xiàng)，5與53不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意； D選項(xiàng)，23與33是同類二次根式，可以合并，故該選項(xiàng)符合題意； 故選：D． 【變式1-1】（2022春?郯城縣期中）下列根式中，與6x不是同類二次根式的是（　?。?A．x6 B．6x C．16x D．6+x 【分析】根據(jù)同類二次根式的概念進(jìn)行分析排除，即幾個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)相同，則它們是同類二次根式． 【解答】解：A、x6=166x，與6x是同類二次根式； B、6x=1x6x，與6x是同類二次根式； C、16x=16x6x，與6x是同類二次根式； D、6+x與6x不是同類二次根式， 故選：D． 【變式1-2】（2022春?肥城市期中）若兩個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后被開方數(shù)相同，則稱這樣的二次根式為同類二次根式，那么下列各組二次根式，不是同類二次根式的一組是（　?。?A．8與32 B．45與20 C．27與75 D．24與80 【分析】幾個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)定義逐個(gè)判斷可知答案為D 【解答】解：∵24=26，80=45， ∵5≠6， ∴24與 80不是同類二次根式， 故選：D． 【變式1-3】（2022春?河西區(qū)校級(jí)月考）下列各式中與a+b是同類二次根式的是（　?。?A．1a(a+b)2 B．133(a+b) C．a(chǎn)+b2 D．9a+b 【分析】根據(jù)同類二次根式的定義逐個(gè)判斷即可． 【解答】解：A、1a(a+b)2=a+ba與a+b不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意； B、133(a+b)=133a+3b與a+b不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意； C、a+b2=2a+2b2與a+b不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意； D、9a+b=3a+ba+b與a+b是同類二次根式，故本選項(xiàng)符合題意； 故選：D． 【題型2 求同類二次根式中的參數(shù)】 【例2】（2022春?懷遠(yuǎn)縣期中）已知二次根式?x?2． （1）求使得該二次根式有意義的x的取值范圍； （2）已知?x?2為最簡(jiǎn)二次根式，且與52為同類二次根式，求x的值，并求出這兩個(gè)二次根式的積． 【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件得出x﹣2≥0，求出不等式的解集即可； （2）先求出52=1210，得出x﹣2＝10，求出x即可． 【解答】解：（1）要使?x?2有意義，必須x﹣2≥0， 即x≥2， 所以使得該二次根式有意義的x的取值范圍是x≥2； （2）52=1210， 所以x﹣2＝10， 解得：x＝12， 這兩個(gè)二次根式的積為?10×52=?5． 【變式2-1】（2022秋?倉山區(qū)校級(jí)期末）如果最簡(jiǎn)二次根式3a+8與12?a是同類二次根式，那么3a的值為　3?。?【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式及同類二次根式概念作答． 【解答】解：由題意得3a+8＝12﹣a， 解得a＝1， 當(dāng)a＝1時(shí)3a=3． 故答案為：3． 【變式2-2】（2022春?西華縣期末）先閱讀下面的解題過程，再回答后面的問題： 如果16(2m+n)和m?n?1m+7在二次根式的加減運(yùn)算中可以合并成一項(xiàng)，求m、n的值． 解：因?yàn)?6(2m+n)與m?n?1m+7可以合并 所以m?n?1=216(2m+n)=m+7即m?n=331m+16n=7 解得m=5547n=?8647 問： （1）以上解是否正確？答　不正確　． （2）若以上解法不正確，請(qǐng)給出正確解法． 【分析】（1）要知道，同類二次根式是化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同，故要分兩種情況討論． （2）分兩種情況討論：被開方數(shù)相同和化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同． 【解答】解：（1）不正確； （2）∵16(2m+n)與m?n?1m+7可以合并， ∴m?n?1=22m+n=m+7或m?n?1=216(2m+n)=m+7或m?n?1=24(2m+n)=m+7 解得m=5n=2或m=5547n=?8647或m=1911n=?1411． 故答案為：不正確． 【變式2-3】（2022春?孟村縣期中）若最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11是同類二次根式． （1）求x，y的值； （2）求x2+y2的值． 【分析】（1）根據(jù)同類二次根式的定義：①被開方數(shù)相同；②均為二次根式；列方程解組求解； （2）根據(jù)x，y的值和算術(shù)平方根的定義即可求解． 【解答】解：（1）根據(jù)題意知3x?10=22x+y?5=x?3y+11， 解得：x=4y=3； （2）當(dāng)x＝4、y＝3時(shí)， x2+y2=42+32=25=5． 【知識(shí)點(diǎn)2 二次根式的加減法則】 二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方 法為系數(shù)相加減，根式不變． 【題型3 二次根式的加減運(yùn)算】 【例3】（2022春?普蘭店區(qū)期中）計(jì)算： （1）18?32+2 （2）7a8a?4a218a+7a2a． 【分析】（1）首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而利用二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案； （2）首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而利用二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案． 【解答】解：（1）18?32+2 ＝32?42+2 ＝0 （2）7a8a?4a218a+7a2a ＝7a×22a?4a2×2a4a+7a2a ＝14a2a?a2a+7a2a ＝20a2a． 【變式3-1】（2022春?高密市校級(jí)月考）計(jì)算： （1）0.25+925+0.49+|?1100| （2）0.01?1100+（﹣1）3(?0.01)2+0 （3）45+45?8+42． 【分析】（1）先去絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)數(shù)的開方法則計(jì)算出各數(shù)，再由有理數(shù)的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可； （2）先根據(jù)數(shù)的開方法則計(jì)算出各數(shù)，再由有理數(shù)的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可； （3）先把各式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可． 【解答】解：（1）原式＝0.5+35+0.7+110 ＝1.9； （2）原式＝0.1?110?0.01+0 ＝﹣0.01； （3）原式＝45+35?22+42 ＝75+22． 【變式3-2】（2022秋?浦東新區(qū)期中）化簡(jiǎn)：8ab?b2ab?ab2a（a＞0，b＞0） 【分析】本題較簡(jiǎn)單，分別將各二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可． 【解答】解：原式＝22ab?2ab?2ab2 =2ab2． 【變式3-3】（2022秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算下列各式： （1）5?6?20+23+95 （2）12?0.5?213?18+18 （3）27a?a3a+3a3+12a75a3 （4）23x9x+6xyx+yxy?x21x． 【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可． 【解答】解：（1）原式=5?6?25+63+355 =?255?263； （2）原式＝23?22?233?24+32 =433+924； （3）原式＝33a?3a+3a+523a =113a2； （4）原式＝2xx+6xy+xy?xx ＝xx+7xy． 【題型4 二次根式的混合運(yùn)算】 【例4】（2022春?安慶期末）計(jì)算： （1）48÷3+215×30?（22+3）2 （2）（?12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π?2)0?(?4)2+25 【分析】（1）先利用二次根式的乘除法則運(yùn)算，再利用完全平方公式計(jì)算，然后合并即可； （2）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和二次根式的性質(zhì)計(jì)算． 【解答】解：（1）原式=48÷3+215×30?（8+46+3） ＝4+26?11﹣46 ＝﹣7﹣26； （2）原式＝4﹣1×1﹣4+5 ＝4﹣1﹣4+5 ＝4． 【變式4-1】（2022春?岳池縣期中）計(jì)算：2×63+（3?2）2?2（2?6） 【分析】利用乘法公式展開，化簡(jiǎn)后合并同類二次根式即可． 【解答】解：2×63+（3?2）2?2（2?6） ＝2+3﹣43+4﹣2+23 ＝7﹣23 【變式4-2】（2022春?天心區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算： （1）（20+5+5）÷5?13×24?5； （2）18?92?3+63+（3?2）0+(1?2)2． 【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法則計(jì)算即可得到結(jié)果； （2）原式各項(xiàng)后，計(jì)算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝（4+1+5）?8?5=3+5?22?5=3﹣22； （2）原式＝32?322?（1+2）+1+（2?1）=322?1?2+1+2?1=322?1． 【變式4-3】（2022秋?昌江區(qū)校級(jí)期末）（a+b?aba+b）÷（aab+b+bab?a?a+bab）（a≠b）． 【分析】先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的分式分別通分，然后分解因式并約分． 【解答】解：原式=a+ab+b?aba+b÷aab(ab?a)+bab(ab+b)?(a+b)(ab+b)(ab?a)ab(ab+b)(ab?a) =a+ba+b÷a2?aab?bab?b2?a2+b2ab(a+b)(a?b) =a+ba+b?ab(a?b)(a+b)?ab(a+b) =?a+b． 【題型5 已知字母的值化簡(jiǎn)求值】 【例5】（2022秋?如東縣期末）已知x＝1?3，求代數(shù)式（4+23）x2+（1?3）x+83． 【分析】將x＝1?3代入原式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則計(jì)算可得． 【解答】解：當(dāng)x＝1?3時(shí)， 原式＝（4+23）×（1?3）2+（1?3）2+83 ＝（4+23）×（4﹣23）+4﹣23+83 ＝16﹣12+4﹣23+83 ＝8+63． 【變式5-1】（2022秋?楊浦區(qū)期中）計(jì)算與求值． 已知a=12+3，求a2?2a+1a?1?a2?2a+1a2?a的值． 【分析】首先關(guān)鍵a的值求得1a=2+3，a﹣1＝1?3＜0，然后把原代數(shù)式變形為a﹣1+1a，再進(jìn)一步代入求得數(shù)值即可． 【解答】解：∵a=12+3， ∴a＝2?3， ∴1a=2+3，a﹣1＝1?3＜0， ∴a2?2a+1a?1?a2?2a+1a2?a =(a?1)2a?1+a?1a(a?1) ＝a﹣1+1a ＝1?3+2+3 ＝3． 【變式5-2】（2022春?容縣校級(jí)月考）已知a＝2，b＝3，求式子a3b?ab+a3b3的值． 【分析】根據(jù)題目中a、b的值可以求得所求式子的值，本題得以解決． 【解答】解：∵a＝2，b＝3， a3b?ab+a3b3 =aab?ab+abab ＝（a﹣1+ab）ab ＝（2﹣1+2×3）×2×3 ＝76． 【變式5-3】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)月考）已知x=12021?2020，則x6﹣22020x5?x4+x3?22021x2+2x?2021的值為（　?。?A．0 B．1 C．2020 D．2021 【分析】把已知的條件進(jìn)行分母有理化，再把所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可． 【解答】解：∵x=12021?2020， ∴x=2021+2020， ∴x6﹣22020x5?x4+x3?22021x2+2x?2021 =x4(x2?22020x?1)+x（x2?22021x+2）?2021 =x4[(x?2020)2?2021]+x[(x?2021)2?2019]?2021 =x4[(2021+2020?2020)2?2021]+x[(2021+2020?2021)2?2019]?2021 =x4(2021?2021)+x(2020?2019)?2021 ＝x?2021 =2021+2020?2021 =2020． 故選：C． 【題型6 已知條件式化簡(jiǎn)求值】 【例6】（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）已知x?ba=2?x?ab，且a+b＝2，請(qǐng)化簡(jiǎn)并求值以下代數(shù)式：x+1?xx+1+x+x+1+xx+1?x． 【分析】解方程得出x＝2，再分母有理化，化簡(jiǎn)得出原式＝4x+2，最后代入求出即可． 【解答】解：x?ba=2?x?ab， b（x﹣b）＝2ab﹣a（x﹣a）， bx+ax＝（a+b）2， ∵a+b＝2， ∴2x＝4， ∴x＝2， ∴x+1?xx+1+x+x+1+xx+1?x =(x+1?x)2(x+1+x)(x+1?x)+(x+1+x)2(x+1?x)(x+1+x) ＝x+1﹣2x(x+1)+x+x+1+2x(x+1)+x ＝4x+2 ＝4×2+2 ＝10． 【變式6-1】（2022春?陽信縣期中）已知x?69?x=x?69?x，且x為奇數(shù)，求（1+x）?x2?5x+4x2?1的值． 【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法則求出x的值，再把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：∵x?69?x=x?69?x， ∴x?6≥09?x＞0， 解得6≤x＜9． 又∵x是奇數(shù)，∴x＝7． ∴（1+x）?x2?5x+4x2?1 ＝（1+x）(x?1)(x?4)(x+1)(x?1) ＝（1+x）x?4x+1 ∴當(dāng)x＝7時(shí)， 原式＝（1+7）7?47+1 ＝26． 【變式6-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）若三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足a+4ab+3b﹣2bc?c＝0，則a+bc的值是　1?。?【分析】直接將原式湊成平方差公式，即可得出答案正數(shù)． 【解答】解：a+4ab+3b﹣2bc?c＝0， (a+2b)2?(b+c)2=0， ∵a，b，c是正數(shù)， ∴a+2b=b+c， ∴a+b=c， ∴a+bc=1． 故答案為：1． 【變式6-3】（2022春?芝罘區(qū)期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足（a+b）（a+b?2）＝3，則a+b的值是 　3　． 【分析】求出（a+b）2﹣2（a+b）﹣3＝0，再分解因式（a+b?3）（a+b+1）＝0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出a+b≥0，求出a+b?3＝0即可． 【解答】解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足（a+b）（a+b?2）＝3， ∴（a+b）2﹣2（a+b）﹣3＝0， ∴（a+b?3）（a+b+1）＝0， ∵a+b≥0， ∴a+b?3＝0， ∴a+b=3， 故答案為：3． 【題型7 二次根式的新定義運(yùn)算】 【例7】（2022春?鄖陽區(qū)期中）對(duì)于任意的正數(shù)m，n定義運(yùn)算*為：m*n=m?n(m≥n)m+n(m＜n)，計(jì)算（3*2）+（8*12）的結(jié)果為 　33+2?。?【分析】結(jié)合有理數(shù)的大小比較和新定義運(yùn)算法則及二次根式的加減法運(yùn)算法則先算小括號(hào)里面的，然后再算加法． 【解答】解：∵3＞2，8＜12， ∴原式＝（3?2）+（8+12） =3?2+22+23 ＝33+2， 故答案為：33+2． 【變式7-1】（2022春?江岸區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b作新定義：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定義下，計(jì)算：（43?32）@12?（75?43）※2＝　1﹣32?。?【分析】利用新定義：a@b＝ab，a※b＝ab求解即可． 【解答】解：（43?32）@12?（75?43）※2 ＝（233?62）×23?（75?43）2 ＝（4﹣32）﹣3 ＝1﹣32． 故答案為：1﹣32． 【變式7-2】（2022秋?內(nèi)江期末）我們規(guī)定運(yùn)算符號(hào)“△”的意義是：當(dāng)a＞b時(shí)，a△b＝a+b；當(dāng)a≤b時(shí)，a△b＝a﹣b，其它運(yùn)算符號(hào)的意義不變，計(jì)算：（3△2）﹣（23△32）＝　?3+42　． 【分析】根據(jù)已知將原式化簡(jiǎn)進(jìn)而求出即可． 【解答】解：∵當(dāng)a＞b時(shí)，a△b＝a+b；當(dāng)a≤b時(shí)，a△b＝a﹣b，3＞2，23＜32， ∴（3△2）﹣（23△32） =3+2?（23?32） =?3+42． 故答案為：?3+42． 【變式7-3】（2011秋?廈門期末）若a+b＝2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)． （1）3與　﹣1　是關(guān)于1的平衡數(shù)，5?2與　﹣3+2　是關(guān)于1的平衡數(shù)； （2）若（m+3）×（1?3）＝﹣5+33，判斷m+3與5?3是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說明理由． 【分析】（1）根據(jù)所給的例子，可得出平衡數(shù)的求法，由此可得出答案． （2）根據(jù)所給的等式，解出m的值，進(jìn)而再代入判斷即可． 【解答】解：（1）由題意得，3+（﹣1）＝2，5?2+（﹣3+2）＝2， ∴3與﹣1是關(guān)于1的平衡數(shù)，5?2與﹣3+2是關(guān)于1的平衡數(shù)． （2）不是． ∵（m+3）×（1?3） ＝m?3m+3?3，…（5分） 又∵（m+3）×（1?3）＝﹣5+33， ∴m?3m+3?3＝﹣5+33， ∴m?3m＝﹣2+23． 即 m（1?3）＝﹣2（1?3）． ∴m＝﹣2． ∴（m+3）+（5?3） ＝（﹣2+3）+（5?3） ＝3， ∴（﹣2+3）與（5?3）不是關(guān)于1的平衡數(shù)． 【題型8 二次根式的應(yīng)用】 【例8】（2022春?定州市校級(jí)月考）2016年6月4日葫蘆島日?qǐng)?bào)報(bào)道，南票區(qū)住建局已全面加大城鎮(zhèn)園林綠化力度，組織環(huán)衛(wèi)工作人員加緊開展9000m2的草坪種植，切實(shí)掀起了綠化城區(qū)的熱潮．若環(huán)衛(wèi)工人在一塊長方形的土地上種植草坪，已知該長方形土地的長為243m、寬為128m． （1）求該長方形土地的周長； （2）若在該長方形土地上種植造價(jià)為每平方米2元的草坪，求在該長方形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用（提示：6≈2.45） 【分析】（1）根據(jù)長方形的周長＝（長+寬）×2，可以解答本題； （2）根據(jù)長方形的面積＝長×寬和造價(jià)為每平方米2元的草坪，可以求得在該長方形土地上全部種植草 （2）∵S=12ch1=12bh2＝125， ∴12×8h1=12×7h2＝125， ∴h1＝35，h2=2475， ∴h1+h2=4575． 【變式8-3】（2022秋?長安區(qū)校級(jí)期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為83米，寬AB為98米，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個(gè)長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為13+1米，寬為13?1米． （1）長方形ABCD的周長是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式） （2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購買地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式） 【分析】（1）根據(jù)長方形ABCD的周長列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得； （2）先計(jì)算出空白部分面積，再計(jì)算即可， 【解答】解：（1）長方形ABCD的周長＝2×（83+98）＝2（83+72）＝163+142（米）， 答：長方形ABCD的周長是163+142（米）， （2）通道的面積=(83×98)?(13+1)(13?1) ＝566?（13﹣1） ＝566?12（平方米）， 購買地磚需要花費(fèi)＝6×（566?12）＝3366?72（元）． 答：購買地磚需要花費(fèi)3366?72元

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