1. （2024黑龍江綏化）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境
在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片為操作對(duì)象．
紙片和滿足，．
下面是創(chuàng)新小組的探究過(guò)程．
操作發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，取的中點(diǎn)，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合．當(dāng)旋轉(zhuǎn)紙片交邊于點(diǎn)、交邊于點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，請(qǐng)你探究出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出解答過(guò)程．
問(wèn)題解決
（2）如圖2，在（1）的條件下連接，發(fā)現(xiàn)的周長(zhǎng)是一個(gè)定值．請(qǐng)你寫出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．
拓展延伸
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)、），且始終保持．請(qǐng)你直接寫出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】（1），見解析；（2）2，見解析；（3）或
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明，得出關(guān)系式，進(jìn)而求得，代入比例式，即可求解；
（2）方法一：勾股定理求得，將將（1）中代入得，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式，即可求解；
方法二：證明，，過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．證明，，得出，得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式可得的周長(zhǎng)．
方法三：過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使，連接．得出，，則，同方法二求得，進(jìn)而即可求解；
（3）分兩種情況討論，于的夾角；①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，由勾股定理得，，進(jìn)而根據(jù)正確的定義，即可求解；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，同①即可求解．．
【詳解】操作發(fā)現(xiàn)
解：（1）∵，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，
∴，
∴．

問(wèn)題解決
（2）方法一：
解：的周長(zhǎng)定值為2．
理由如下：∵，，，
∴，，
在中，∴
．
將（1）中代入得：
∴．
∵，又∵，
∴，
∴．
∵的周長(zhǎng)，
∴的周長(zhǎng)．
方法二：
解：的周長(zhǎng)定值為2．
理由如下：∵和等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，，
∴過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
∴．
又∵，，
∴，，
∴，，
∴．
∵的周長(zhǎng)．
又∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)．
∴，
∴的周長(zhǎng)．

方法三：
解：的周長(zhǎng)定值為2．
理由如下：過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使，連接．
∵是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，
∴平分，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴周長(zhǎng)．
又∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)．
∴，
∴的周長(zhǎng)．

拓展延伸
（3）或
①解：∵，，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，設(shè)，
∴，由勾股定理得，
，
∴，
∴在中，．

②解：∵，，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接．
∵，
∴，
∴，
在中，設(shè)，
∴，由勾股定理得，，
∴，
∴在中，．
∴或．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，函數(shù)解析式，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2. （2024福建?。┰谑止ぶ谱髡n上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒．小明按照?qǐng)D2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個(gè)禮品盒，如圖3所示．
圖1 圖2 圖3
（1）直接寫出的值；
（2）如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（ ）
圖4
A． B．
C． D．
（3）
現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整，的比例，制作棱長(zhǎng)為的正方體禮品盒，如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒，請(qǐng)你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計(jì)示意圖（包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．
（要求：①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計(jì)方案；②沒(méi)有用到的卡紙，不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì)；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）
【答案】（1）2； （2）C； （3）見解析．
【解析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識(shí)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）由折疊和題意可知，，，四邊形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；
（3）由題意可得，每張型號(hào)卡紙可制作10個(gè)正方體，每張型號(hào)卡紙可制作2個(gè)正方體，每張型號(hào)卡紙可制作1個(gè)正方體，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖：
上述圖形折疊后變成：
由折疊和題意可知，，，
∵四邊形正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對(duì)應(yīng)面上，“祥”和“意”在對(duì)應(yīng)面上，而對(duì)應(yīng)面上的字中間相隔一個(gè)幾何圖形，且字體相反，
∴C選項(xiàng)符合題意，
故選：C．
【小問(wèn)3詳解】
解：
根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長(zhǎng)為，則要制作一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體的展開圖形為：
∴型號(hào)卡紙，每張卡紙可制作10個(gè)正方體，如圖：
型號(hào)卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個(gè)正方體，如圖：
型號(hào)卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個(gè)正方體，如圖：
∴可選擇型號(hào)卡紙2張，型號(hào)卡紙3張，型號(hào)卡紙1張，則
（個(gè)），
∴所用卡紙總費(fèi)用為：
（元）．
3. （2024甘肅威武）【模型建立】
（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型遷移】
（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1），理由見詳解，（2），理由見詳解，（3），理由見詳解
【解析】
【分析】（1）直接證明，即可證明；
（2）過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)N，先證明，可得，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得：， ，即有，，進(jìn)而可得，即可證；
（3）過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過(guò)F點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證明，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可證明．
【詳解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)N，如圖，
∵四邊形是正方形，是正方形的對(duì)角線，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四邊形是正方形，
∴是正方形對(duì)角線，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過(guò)F點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準(zhǔn)確表示出各個(gè)邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．
4. （2024廣西）綜合與實(shí)踐
在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．
【洗衣過(guò)程】
步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo)．
假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都?xì)埩羲?br>濃度關(guān)系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）
【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過(guò)漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于
【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：
（1）如果只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？
（2）如果把清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？
（3）比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說(shuō)說(shuō)你的想法．
【答案】（1）只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．
（2）進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；
（3）兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)
【解析】
【分析】本題考查的是分式方程的實(shí)際應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關(guān)鍵；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分別計(jì)算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：把，代入
得，
解得．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
∴只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．
【小問(wèn)2詳解】
解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；
【小問(wèn)3詳解】
解：由（1）（2）的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)兩次漂洗既能達(dá)到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約用水，
∴從洗衣用水策略方面來(lái)講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)．
5. （2024貴州省）綜合與探究：如圖，，點(diǎn)P在的平分線上，于點(diǎn)A．
（1）【操作判斷】
如圖①，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)C，根據(jù)題意在圖①中畫出，圖中的度數(shù)為______度；
（2）【問(wèn)題探究】
如圖②，點(diǎn)M在線段上，連接，過(guò)點(diǎn)P作交射線于點(diǎn)N，求證：；
（3）【拓展延伸】
點(diǎn)M在射線上，連接，過(guò)點(diǎn)P作交射線于點(diǎn)N，射線與射線相交于點(diǎn)F，若，求的值．
【答案】（1）畫圖見解析，90 （2）見解析 （3）或
【解析】【分析】（1）依題意畫出圖形即可，證明四邊形是矩形，即可求解；
（2）過(guò)P作于C，證明矩形是正方形，得出，利用證明，得出，然后利用線段的和差關(guān)系以及等量代換即可得證；
（3）分M在線段，線段的延長(zhǎng)線討論，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可；
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，即為所求，
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，
故答案為：90；
【小問(wèn)2詳解】
證明：過(guò)P作于C，
由（1）知：四邊形是矩形，
∵點(diǎn)P在的平分線上，，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
；
【小問(wèn)3詳解】
解：①當(dāng)M在線段上時(shí)，如圖，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)G，
由（2）知，
設(shè)，則，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)M在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)P作于C，并延長(zhǎng)交于G
由（2）知：四邊形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上，的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．
6. （2024河北?。┣榫? 圖1是由正方形紙片去掉一個(gè)以中心O為頂點(diǎn)的等腰直角三角形后得到的．
該紙片通過(guò)裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．
（說(shuō)明：紙片不折疊，拼接不重疊無(wú)縫隙無(wú)剩余）
操作 嘉嘉將圖1所示的紙片通過(guò)裁剪，拼成了鉆石型五邊形．
如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照?qǐng)D4所示進(jìn)行拼接．根據(jù)嘉嘉的剪拼過(guò)程，解答問(wèn)題：
（1）直接寫出線段的長(zhǎng)；
（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計(jì)算的長(zhǎng)．
探究淇淇說(shuō)：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．
請(qǐng)你按照淇淇的說(shuō)法設(shè)計(jì)一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點(diǎn)P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2），；的長(zhǎng)為或．
【解析】【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，本題要求學(xué)生的操作能力要好，想象能力強(qiáng)，有一定的難度．
（1）如圖，過(guò)作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，可得，由拼接可得：，可得，，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，設(shè)，則，再進(jìn)一步解答即可；
（2）由為等腰直角三角形，；求解，再分別求解；可得答案，如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，再進(jìn)一步求解的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)作于，
結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，
∴，
由拼接可得：，
由正方形的性質(zhì)可得：，
∴，，為等腰直角三角形，
∴為等腰直角三角形，
設(shè)，
∴，
∴，，
∵正方形的邊長(zhǎng)為，
∴對(duì)角線的長(zhǎng)，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵為等腰直角三角形，；
∴，
∴，
∵，
，
∴；
如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，
此時(shí)，，符合要求，
或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，
此時(shí)，，
∴，
綜上：的長(zhǎng)為或．
7. （2024河南?。┚C合與實(shí)踐
在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究
定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．

（1）操作判斷
用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有________（填序號(hào)）．
（2）性質(zhì)探究
根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．
如圖2，四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，，是它的一條對(duì)角線．
①寫出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；
②若，，，求的長(zhǎng)（用含m，n，的式子表示）．
（3）拓展應(yīng)用
如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點(diǎn)M，N，使四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】（1）②④ （2）①．理由見解析；②
（3）或
【解析】【分析】（1）根據(jù)鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的定義判斷即可；
（2）①延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，根據(jù)鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形定義、補(bǔ)角的性質(zhì)可得出，證明，得出，，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，即可得出結(jié)論；
②過(guò)A作于F，根據(jù)三線合一性質(zhì)可求出，由①可得，在中，根據(jù)余弦的定義求解即可；
（3）分，，，四種情況討論即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對(duì)角互補(bǔ)，圖2和圖4中存在對(duì)角互補(bǔ)且鄰邊相等，
故圖②和圖④中四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，
故答案為：②④；
【小問(wèn)2詳解】
解：①，理由：
延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，
∵四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②過(guò)A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，，，
∴，
∵四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖，連接，過(guò)N作于H，
∴，
在中，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖，連接，
∵，
∴，
∴，故不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)N作于H，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖，連接，
∵，
∴，
∴，故不符合題意，舍去；
綜上，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解題的關(guān)鍵．
8. （2024黑龍江齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐：如圖1，這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）【觀察感知】如圖2，通過(guò)觀察，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）【問(wèn)題解決】如圖3，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求的面積；
（3）【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點(diǎn)，則______；
（4）【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)度．
【答案】（1） （2）10 （3） （4）或
【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的方法證明，進(jìn)而證明，求得，則，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，證明，設(shè)，則，代入比例式，得出，進(jìn)而即可求解；
（4）當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別解直角三角形，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

，
，
，
，
，
又且
，
；
【小問(wèn)2詳解】
解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
設(shè)，則，
解得：
∴；
【小問(wèn)4詳解】
解：如圖所示，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵
∴，設(shè)，則，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如圖所示，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵
∴
∵
∴
設(shè)，則，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
9. （2024黑龍江綏化）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．
（2）過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)使．若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）
（3）將該拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為，，補(bǔ)圖見解析
（3）、、、
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進(jìn)而分別求得，，根據(jù)可得，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，．進(jìn)而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進(jìn)而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．
（3）①以為對(duì)角線，如圖作的垂直平分線交于點(diǎn)交直線于，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，②以為邊，如圖以為圓心，為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以為邊，如圖以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，連接，，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，和相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；
【小問(wèn)1詳解】
解：∵把點(diǎn)，代入得
，
解得，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
存在．
理由：∵軸且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
，，
∴，．
連接交拋物線于，連接交拋物線于，
∴，的解析式為，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，．
【小問(wèn)3詳解】
、、、．
方法一：
①以為對(duì)角線，如圖作垂直平分線交于點(diǎn)交直線于
∵，，
∴．
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
．
②以為邊
如圖以為圓心，為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，
過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，和相交于點(diǎn)，同理可得
，，
，
．
過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
點(diǎn)是由點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，
，，
③以為邊
如圖以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，
連接，，則，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三點(diǎn)共線，
過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，
和相交于點(diǎn)，
∵、，
的中點(diǎn)．
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
．
綜上所述：、、、．
10. （2024吉林?。┚C合與實(shí)踐
某班同學(xué)分三個(gè)小組進(jìn)行“板凳中的數(shù)學(xué)”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究，第一小組負(fù)責(zé)調(diào)查板凳的歷史及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；第二小組負(fù)責(zé)研究板凳中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)：第三小組負(fù)責(zé)匯報(bào)和交流，下面是第三小組匯報(bào)的部分內(nèi)容，請(qǐng)你閱讀相關(guān)信息，并解答“建立模型”中的問(wèn)題．
【背景調(diào)查】
圖①中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國(guó)傳統(tǒng)家具，其榫卯結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了古人含蓄內(nèi)斂的審美觀．榫眼的設(shè)計(jì)很有講究，木工一般用鉛筆畫出凳面的對(duì)稱軸，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度，確定榫眼的位置，如圖②所示．板凳的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．
【收集數(shù)據(jù)】
小組收集了一些板凳并進(jìn)行了測(cè)量．設(shè)以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度為，凳面的寬度為，記錄如下：
【分析數(shù)據(jù)】
如圖③，小組根據(jù)表中x，y的數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)．
【建立模型】
請(qǐng)你幫助小組解決下列問(wèn)題：
（1）觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，它們是否在同一條直線上？如果在同一條直線上，求出這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；如果不在同一條直線上，說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)?shù)拭鎸挾葹闀r(shí)，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度是多少？
【答案】（1）在同一條直線上，函數(shù)解析式為： （2）
【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）將代入函數(shù)解析式，解方程即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)函數(shù)解析式為：，
∵當(dāng)，，
∴，
解得：，
∴函數(shù)解析式為：，
經(jīng)檢驗(yàn)其余點(diǎn)均在直線上，
∴函數(shù)解析式為，這些點(diǎn)在同一條直線上；
【小問(wèn)2詳解】
解：把代入得：
，
解得：，
∴當(dāng)?shù)拭鎸挾葹闀r(shí)，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度為．
11. （2024江蘇鹽城）請(qǐng)根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．
【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：；任務(wù)3：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤(rùn)
【解析】【分析】題目主要考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．
任務(wù)1：根據(jù)題意安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，得出加工“正”服裝的有人，然后利用“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，得出關(guān)系式即可得出結(jié)果；
任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：，然后將2種服裝的獲利求和即可得出結(jié)果；
任務(wù)3：根據(jù)任務(wù)2結(jié)果化為頂點(diǎn)式，然后結(jié)合題意，求解即可．
【詳解】解：任務(wù)1：根據(jù)題意安排70名工人加工一批夏季服裝，
∵安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，
∴加工“正”服裝的有人，
∵“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，
∴，
整理得：；
任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：，
∴，
整理得：
∴
任務(wù)3：由任務(wù)2得，
∴當(dāng)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，
，
∴，
∵開口向下，
∴取或，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
∴，
綜上：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤(rùn)．
12. （2024江蘇鹽城）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題
小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．
提出問(wèn)題
銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？
分析問(wèn)題
某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，，），如圖1所示．
小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案．
方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為________；
方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為________；
方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)．
解決問(wèn)題
在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？請(qǐng)寫出比較過(guò)程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià)．
【答案】分析問(wèn)題：方案1：；；；方案2：；方案3：；解決問(wèn)題：方案3路徑最短，理由見解析
【解析】【分析】分析問(wèn)題：方案1：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案2：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案3：根據(jù)圖得出斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為，根據(jù)題意得一共有列，行，斜著鏟相當(dāng)于有n條線段長(zhǎng)，同時(shí)有個(gè)，即可得出總路徑長(zhǎng)；
解決問(wèn)題：利用作差法比較三種方案即可．
題目主要考查列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：方案1：根據(jù)題意每行有n個(gè)籽，行上相鄰兩籽的間距為d，
∴每行鏟的路徑長(zhǎng)為，
∵每列有k個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，
∴相當(dāng)于有行，
∴鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為，
故答案為：；；；
方案2：根據(jù)題意每列有k個(gè)籽，列上相鄰兩籽的間距為d，
∴每列鏟路徑長(zhǎng)為，
∵每行有n個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，，
∴相當(dāng)于有列，
∴鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為，
故答案為：；
方案3：由圖得斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為，
根據(jù)題意得一共有列，行，
斜著鏟相當(dāng)于有n條線段長(zhǎng)，同時(shí)有個(gè)，
∴鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為：；
解決問(wèn)題
由上得：，
∴方案1的路徑總長(zhǎng)大于方案2的路徑總長(zhǎng)；
，
∵，
當(dāng)時(shí)，
，
，
∴方案3鏟籽路徑總長(zhǎng)最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對(duì)菠蘿的損耗．
13. （2024內(nèi)蒙古赤峰）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論，提出探究問(wèn)題．如圖1，在中，，點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
請(qǐng)你解決下面各組提出的問(wèn)題：
（1）求證：；
（2）探究與的關(guān)系；
某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
請(qǐng)你繼續(xù)探究：
①當(dāng)時(shí)，直接寫出的值；
②當(dāng)時(shí)，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；
（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)P，連接，得到圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）見解析 （2）①②，證明見解析
（3）
【解析】【分析】（1）等邊對(duì)等角，得到，等角的余角的相等，結(jié)合對(duì)頂角相等，得到，即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)給定的信息，得到是的2倍，即可得出結(jié)果；
②猜想，作于點(diǎn)，證明，得到，三線合一得到，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)作，角平分線的性質(zhì)，得到，推出，等角的余角相等，得到，進(jìn)而得到，得到，根據(jù)，即可得出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴總結(jié)規(guī)律得：是的2倍，
∴當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，猜想，
證明：作于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
，理由如下：
過(guò)點(diǎn)作，
∵，，
∴，
由（2）知，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．
卡紙型號(hào)
型號(hào)Ⅰ
型號(hào)Ⅱ
型號(hào)Ⅲ
規(guī)格（單位：cm）
單價(jià)（單位：元）
3
5
20
卡紙型號(hào)
型號(hào)
型號(hào)
型號(hào)
需卡紙的數(shù)量（單位：張）
1
3
2
所用卡紙總費(fèi)用（單位：元）
58
以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度
16.5
198
23.1
26.4
29.7
凳面的寬度
115.5
132
148.5
165
181.5
制定加工方案
生產(chǎn)背景
背景1
◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式．
◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件．
◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.
背景2
每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：
①“風(fēng)”服裝：24元/件；
②“正”服裝：48元/件；
③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時(shí)，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理
現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：
服裝種類
加工人數(shù)（人）
每人每天加工量（件）
平均每件獲利（元）
風(fēng)
y
2
24
雅
x
1
正
1
48
探究任務(wù)
任務(wù)1
探尋變量關(guān)系
求x、y之間的數(shù)量關(guān)系．
任務(wù)2
建立數(shù)學(xué)模型
設(shè)該工廠每天的總利潤(rùn)為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)3
擬定加工方案
制定使每天總利潤(rùn)最大的加工方案．

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