1．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)集合，集合，若中含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，若，則實數(shù)（ ）
A．2B．1C．0D．
5．已知函數(shù)，滿足為正實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
6．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且f-1=2，則（ ）
A．B．-2C．4D．2
7．若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．滿足的互不相似的的個數(shù)為（ ）
A．0B．1個C．2個D．前三個答案都不對
二、多選題
9．已知、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，能作為基底的一組是（ ）
A．和B．和C．和D．和
10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若這兩函數(shù)圖象的對稱軸都相同，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．
C．與的零點相同D．與的單調(diào)遞增區(qū)間相同
11．已知函數(shù)，設(shè)為實數(shù)，且．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
B．不等式的解集為
C．若，則
D．若，則
三、填空題
12．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為 .
13．已知矩形滿足，若分別是線段上的動點，且，則的最小值為 .
(*）14.設(shè)三角形的外心為，重心為，且滿足，則的最大值為 .
四、解答題
15．已知向量，設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；
(2)已知在中，內(nèi)角的對邊分別為，若 ，且，求面積的最大值.
16．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的值域；
(2)若時，恒有，求實數(shù)a的取值范圍．
17．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若是上的一點，且，求的最小值．
(*）18．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）設(shè)，恒成立，求的最大值；
（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù).
（參考數(shù)據(jù)：）
高三數(shù)學(xué)滾動練習(xí)卷1
一、單選題
1．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】判斷兩個等式的、關(guān)系，利用充分必要條件判斷即可.
【詳解】，由等價于；若等價于；
所以，則“”是“”的充分必要條件.
故選：C
2．曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用導(dǎo)數(shù)幾何意義去求切線方程即可.
【詳解】由，得，
所以該曲線在點處的切線斜率為，
故所求切線方程為，
即．
故選：C.
3．設(shè)集合，集合，若中含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出中不等式的解集確定出，由與交集中恰有一個整數(shù)，得到且，解不等式即得解．
【詳解】由解得或，故或，
因為的開口向上，對稱軸為，，
根據(jù)對稱性可知：要使中含有一個整數(shù)，則這個整數(shù)解為2，
所以且，即，解得：．
故選：A．
4．已知向量，若，則實數(shù)（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【分析】借助向量坐標運算與向量平行的坐標表示計算即可得.
【詳解】，，
由，則有，
解得.
故選：D.
5．已知函數(shù)，滿足為正實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【分析】由已知構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，進而求得，再利用基本不等式求解即得.
【詳解】令，由，得定義域為，
，即函數(shù)是奇函數(shù)，
而，
當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，又是增函數(shù)，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，
得，即，
所以，則，即，又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2.
故選：B.
6．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且f-1=2，則（ ）
A．B．-2C．4D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，求得且，結(jié)合函數(shù)的周期性，即可求解.
【詳解】因為且f-1=2，可得，
由，可得，
所以函數(shù)的一個周期為，則.
故選：B.
7．若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由知，由兩角和的正弦公式展開并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.
【詳解】若，則，
所以，
所以，即，
，
若使得取得最大值，不妨設(shè)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
故選：D.
【點睛】方法點睛：三角函數(shù)中的湊角技巧
；
；
.
8．滿足的互不相似的的個數(shù)為（ ）
A．0B．1個C．2個D．前三個答案都不對
【答案】B
【分析】根據(jù)三角變換公式可得，令，利用導(dǎo)數(shù)判別其單調(diào)性后可得零點個數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，有，
于是．因此．
考慮函數(shù)，，
其導(dǎo)函數(shù)，
因此函數(shù)單調(diào)遞增．又，，
于是函數(shù)在上有且僅有1個零點，
所以只有一組解符合題意．
故選：B
二、多選題
9．已知、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，能作為基底的一組是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】ACD
【分析】根據(jù)定義由待定系數(shù)法判斷每組向量是否共線，判斷.
【詳解】因為，則和共線，不滿足條件；
設(shè)，則，無解，故和不共線，能作為基底；
同理可知和不共線，和也不共線，CD選項均能作為基底．
故選：ACD．
10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若這兩函數(shù)圖象的對稱軸都相同，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．
C．與的零點相同D．與的單調(diào)遞增區(qū)間相同
【答案】BC
【分析】求出函數(shù)，求出對稱軸判斷AB；探討與的關(guān)系判斷C；舉例說明判斷D.
【詳解】對于AB，，函數(shù)圖象的對稱軸滿足，
函數(shù)圖象的對稱軸滿足，兩式相減得，
因此，A錯誤，B正確；
對于C，，因此與的零點相同，C正確；
對于D，取，函數(shù)的遞增區(qū)間為，
函數(shù)的遞增區(qū)間為，D錯誤.
故選：BC
11．已知函數(shù)，設(shè)為實數(shù)，且．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
B．不等式的解集為
C．若，則
D．若，則
【答案】ABD
【分析】對A，由可判斷；對B，根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增可求解；對CD，根據(jù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，表示出直線的方程，根據(jù)均在直線上方建立不等關(guān)系可得.
【詳解】對A，，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；
對B，在上單調(diào)遞增，且，則化為，則，解得，故不等式的解集為，故B正確；
對CD，，則可得，且關(guān)于點對稱，在上單調(diào)遞增，可得函數(shù)圖象如下：
均在直線上方，其中直線的方程為，
則可得，，
所以，
，
，即，故C錯誤，D正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的對稱性和單調(diào)性畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.
三、填空題
12．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性并求導(dǎo)可得，因此可得，可構(gòu)造函數(shù)并求得其單調(diào)性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出結(jié)論.
【詳解】因為為奇函數(shù)，定義域為，
所以，兩邊同時求導(dǎo)可得，即且，
又因為當(dāng)時，，所以.
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
又因為，所以在上大于零，在上小于零，
又因為，所以在上大于零，在上小于零，
因為為奇函數(shù)，所以在上小于零，在上大于零，
綜上所述，的解集為.
故答案為：
13．已知矩形滿足，若分別是線段上的動點，且，則的最小值為 .
【答案】.
【分析】以為坐標原點，分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)，然后表示出點的坐標，從而可表示出，化簡后結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】解：以為坐標原點，分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
設(shè)，，，
設(shè)，則，
由，知，所以，
由，知，
所以，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立平面直角坐標系，將數(shù)量積用坐標表示，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計算能力，屬于較難題.
四、解答題
14．已知向量，設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；
(2)已知在中，內(nèi)角的對邊分別為，若 ，且，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用向量數(shù)量積公式和三角恒等變換得到，整體法求解函數(shù)的值域；
（2）在（1）基礎(chǔ)上，結(jié)合得到，由勾股定理和基本不等式得到，進而得到三角形面積的最大值.
【詳解】（1），
，
當(dāng)時，，
，
所以函數(shù)的值域為
（2）由（1）可知，
又，所以，
因為，所以，故，
因為，由可知，，
由基本不等式得，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故三角形面積，
即面積最大值為.
15．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的值域；
(2)若時，恒有，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得值域；
（2）將化為，利用換元法結(jié)合參變分離的思想即可求得a的范圍.
【詳解】（1）的定義域為，
當(dāng)時，，
因為，所以，所以；
當(dāng)時，，
因為，，所以，
綜上，可得函數(shù)的值域為．
（2）因為，，
，即
兩邊同時乘以的
即恒成立，
，
即，令，，
則，由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，
所以，
所以實數(shù)a的取值范圍是．
16．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若是上的一點，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡可得，再根據(jù)角度關(guān)系分析即可；
（2）根據(jù)平面向量基本定理可得，再兩邊平方可得，結(jié)合余弦定理可得，再令，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值求解即可.
【詳解】（1），
又，則或，
若，則；
若，則，又，不符合題意，舍去，
綜上所述.
（2）
①，又②，
①÷②得：
令，又，
，
令
令，
令，
當(dāng)時，當(dāng)時，
由對勾函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時，為減函數(shù)，故，
同理當(dāng)時，
所以當(dāng)三角形為等邊三角形時最小，最小值為
17．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）設(shè)，恒成立，求的最大值；
（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù).
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）3；（2）答案見解析.
【解析】（1）設(shè)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，再由得出的范圍，從而得其最大正整數(shù)值；
（2）先求出，， 設(shè)，用導(dǎo)數(shù)求得極大值，證明，即，然后分類求在上的零點個數(shù)和在上的零點個數(shù)．最終得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)函數(shù)，
所以，令得，（a>0）
且當(dāng)時，；當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以
因為要使得恒成立，只要恒成立
即 ①
設(shè)，且
，在上單調(diào)遞減
又，，
且圖象連續(xù)不斷，所以滿足①的的最大值為3.
（2），
設(shè)，則，
因為，所以在內(nèi)必存在唯一的實數(shù)，使得
所以為增函數(shù)
，，為減函數(shù)
下面先證明：. 因為，所以，
當(dāng)時，有，
，
下證，即證，即證.
.
接下來，求函數(shù)在上的零點個數(shù)
，且函數(shù)在上單調(diào)遞減
在上有唯一零點，即函數(shù)在上的零點個數(shù)為1
最后，求函數(shù)在上的零點個數(shù)
，且函數(shù)在上單調(diào)遞增
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上沒有零點，
即函數(shù)在上的零點個數(shù)為0
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上有唯一零點，
即函數(shù)在上的零點個數(shù)為1
綜上所述：當(dāng)時，在上的零點個數(shù)為1 ；
當(dāng)時，在上的零點個數(shù)為2．
【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，本題中恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值的表達式，再由最小值滿足的不等關(guān)系得出參數(shù)范圍．零點個數(shù)問題也是通過研究函數(shù)的極值，然后結(jié)合零點存在定理確定結(jié)論．本題旨在考查學(xué)生的邏輯推理能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力．屬于難題．

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