1. 已知全集是實(shí)數(shù)集R，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得且，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由不等式，解得或，所以或，
又由，可得且，
又因?yàn)?
故選：B.
2. 若，是第二象限角，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】解：因?yàn)榍沂堑诙笙藿牵傻茫?br>又由.
故選：D.
3. 已知，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】原函數(shù)求導(dǎo)，再令可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?
令得：.
故選：A
4. 已知為奇函數(shù)，則（ ）
A 1B. 2C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)建立方程，求解參數(shù)，再求值即可.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
所以，而，得到，
解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，
所以，故A正確.
故選：A
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判斷出，，，即可求解.
【詳解】
，故；
，故，故.
故選：B.
6. 曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】令求得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在點(diǎn)1,0的切線斜率為3，然后利用點(diǎn)到線距離公式求出最小距離.
【詳解】直線的斜率為，
所以，令得，，
將代入可得，則在點(diǎn)1,0的切線斜率為，
所以切點(diǎn)1,0到直線的距離為：.
故選：B.
7. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡(jiǎn)求值可得答案.
【詳解】由題干得
所以 ，
故選：B.
8. 設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，有，在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用的奇偶性和條件得到在上單調(diào)遞減，再將變形得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，得到?br>因?yàn)?，所以，令，g0=f0=0
所以，
因?yàn)椋?，所以為奇函?shù)；
，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞減；
，，
所以
，
因?yàn)椋?
即，所以，
由于在上單調(diào)遞減，所以，解之得.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是構(gòu)造了函數(shù)，從而分析得的性質(zhì)，由此得解.
二、多項(xiàng)選擇題．
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用兩角和差的正弦公式、正切公式的逆運(yùn)用可以分別計(jì)算出A、D選項(xiàng)，利用二倍角正弦公式的逆運(yùn)用可以計(jì)算出B選項(xiàng)，根據(jù)降冪公式可以化簡(jiǎn)病求出C選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，所以B不正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，所以C不正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，所以D正確；
故選：AD.
10. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 若是R上的增函數(shù)，則
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值
C. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)
D. 當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線與只有唯一個(gè)公共點(diǎn)
【答案】AB
【解析】
【分析】求導(dǎo)得，根據(jù)判別式確定導(dǎo)函數(shù)的根，即可結(jié)合極值定義求解ABC，求解函數(shù)的切線方程，聯(lián)立方程求解交點(diǎn)，即可判斷D．
【詳解】對(duì)于A，是上的增函數(shù)，
，，解得，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)異根，
函數(shù)有兩個(gè)極值，B正確；
對(duì)于C，令，則或，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，有相等的根，
此時(shí)有兩零點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，有相異的兩根，
此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
，又，
在點(diǎn),處的切線方程為，
由，得或，
當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線與有2個(gè)公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤．
故選：AB．
11. 已知實(shí)數(shù)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由得到，由與的圖象，可以直接判斷，；再由得到，結(jié)合進(jìn)一步得到.
【詳解】令，則，分別作函數(shù)與的圖象，如圖所示.

不妨設(shè)，則由圖可得，所以成立，故D正確.
因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤.
又因?yàn)?，所以，即，所以，故A錯(cuò)誤，B正確.
故選：BD.
三、填空題．
12. 當(dāng)時(shí)，求的最小值為_(kāi)__________.
【答案】10
【解析】
【分析】化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.
∴的最小值為10.
故答案：10.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
13. 已知函數(shù)是定義在R上的的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)可得函數(shù)的周期性，即可結(jié)合奇偶性代入求解.
【詳解】由可得，故的周期為2，
故.
故答案為：
14. 設(shè)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有______個(gè)零點(diǎn)；若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)方程的根，結(jié)合復(fù)合函數(shù)，即可求根求解空1，令，先考慮時(shí)，函數(shù)在,上有2個(gè)零點(diǎn)，再考慮，分與兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象，得到不等式，求出答案．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，解得或，
令，則，則，故或或，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
由得，即，解得或，
所以在,上有2個(gè)零點(diǎn)，
時(shí)，若，，對(duì)稱軸為，
函數(shù)的大致圖象如下：
此時(shí)，即，則，
所以無(wú)解，則無(wú)零點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)，
綜上，此時(shí)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
若，此時(shí)的大致圖象如下：
令，解得，
顯然令在上存在唯一負(fù)解，
要使恰有3個(gè)零點(diǎn)，
只需在上除或外不能再有其他解，
即不能再有除或外的其他解，
故，即，解得，所以．
故答案為：3，
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
四、解答題．
15. 已知函數(shù)處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
【答案】（1）3 （2）?
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在處取得極值，求出的值；再根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)的極值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的在上的單調(diào)性，求出最值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得的定義域，且
因?yàn)楹瘮?shù)在處取值得極值，所以
解得
此時(shí)，，
令得或，令得，
故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意
所以．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，，
令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取極小值，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為
16. 已知，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化成關(guān)于的齊次式即可求解；
（2）根據(jù)平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系以及角的范圍可得，由兩角和的正切公式以及角的范圍即可得解.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，?br>所以，
又，所以由，解得，
所以，又，，故，
所以.
17. 如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）若，求直線BM與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面法向量數(shù)量積為，證明面面垂直；
（2）利用法向量方法求解線面角.
【小問(wèn)1詳解】
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則A0,0,0，，，，
，，.
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，則，
即，不妨令，則，，
所以，
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，
即，不妨令，則，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以平面平面．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，所以，，
因?yàn)?，所以，即，解得?br>故，所以，由（1）知，
設(shè)直線BM與平面PCD所成的角為，
則，
故直線BM與平面PCD所成角的正弦值為.
18. 已知函數(shù)，其中．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）可得，令，利用導(dǎo)數(shù)解不等式即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知：的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的最小值為．
因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，所以．
設(shè)，
則的定義域?yàn)?，且恒成立?br>可知：在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以?br>即，可得，即．
綜上所述：的取值范圍是．
19. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，若存在非零?shí)數(shù)使得任意都有，且，則稱為上的-增長(zhǎng)函數(shù).
(1)已知函數(shù)，函數(shù)，判斷和是否為區(qū)間上的增長(zhǎng)函數(shù)，并說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)，且是區(qū)間上的-增長(zhǎng)函數(shù)，求正整數(shù)的最小值；
(3)如果是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且為上的增長(zhǎng)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)是，不是，理由見(jiàn)解析；(2)；(3).
【解析】
【分析】(1)利用給定定義推理判斷或者反例判斷而得；
(2)把恒成立的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，再求函數(shù)最小值而得解；
(3)根據(jù)題設(shè)條件，寫出函數(shù)f(x)的解析式，再分段討論求得，最后證明即為所求.
【詳解】(1)g(x)定義域R，，g(x)是，
取x=-1，，h(x)不是，
函數(shù)是區(qū)間上的增長(zhǎng)函數(shù)，函數(shù)不是；
(2)依題意，，
而n>0，關(guān)于x的一次函數(shù)是增函數(shù)，x=-4時(shí)，
所以n2-8n>0得n>8，從而正整數(shù)n的最小值為9；
(3)依題意，，而，
f(x)在區(qū)間[-a2,a2]上是遞減的，則x，x+4不能同在區(qū)間[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，
又x∈[-2a2，0]時(shí)，f(x)≥0，x∈[0，2a2]時(shí)，f(x)≤0，
若2a2

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