（命題：湯曉燕 審題：陳生 時間：120分鐘 滿分：150分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則等于（ ）
A. B. C. D.
2.若，則（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，則（ ）
A. B. C. D.
4.下列四個命題為真命題的是（ ）
A.直線在軸上的截距為2
B.直線的傾斜角和斜率均存在
C.若兩直線的斜率滿足，則兩直線互相平行
D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等
5.在中，是中點且，則向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.某社區(qū)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊?己6名志愿者，計劃依次安排到該社區(qū)參加服務，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務，則不同的安排方案共有（ ）
A.72種 B.81種 C.144種 D.192種
8.若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知，下列結論正確的是（ ）
A.的最小值為9 B.的最小值為
C.的最小值為-3 D.的最小值為
10.已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A.
B.點是圖象的一個對稱中心
C.在上單調(diào)遞減
D.將的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得到的圖象
11.設，正項數(shù)列滿足，下列說法正確的有（ ）
A.為中的最小項
B.為中的最大項
C.存在，使得成等差數(shù)列
D.存在，使得成等差數(shù)列
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.的展開式中，所有項的系數(shù)和為__________.
13.在中，分別為內(nèi)角的對邊，若，且，則__________.
14.已知，若，則的最大值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)在甲?乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù).求：
（1）求袋中原有白球的個數(shù)；
（2）求隨機變量的概率分布.
16.（15分）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為的中點，，平面平面.
（1）證明：平面平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
17.（15分）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
18.（17分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；
（2）求證：：
（3）設，是否存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)均有恒成立？若存在求出的最大值；若不存在，請說明理由.
19.（17分）已知橢圓的焦點和上頂點分別為，定義：為橢圓的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點是橢圓的一個焦點，且上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4
（1）若橢圓與橢圓相似，且與的相似比為，求橢圓的方程.
（2）已知點是橢圓上的任意一點，若點是直線與拋物線異于原點的交點，證明：點一定在雙曲線上.
（3）已知直線，與橢圓相似且短半軸長為的橢圓為，是否存在正方形
，（設其面積為S），使得在直線上，在曲線上？若存在，求出函數(shù)的解析式及定義域；若不存在，請說明理由.
2024-2025學年秋學期高三年級期初調(diào)研考試
數(shù)學學科試卷
（命題：湯曉燕 審題：陳生 時間：120分鐘 滿分：150分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】C
6.【答案】C 7.【答案】D
8.【答案】C
【解析】，
故原命題等價于關于的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
即關于的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
令，則，
所以關于的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
令，
因為在上單調(diào)遞增，故在上的值域為，
因為在上單調(diào)遞減，故在上的值域為，
而，從而實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.【答案】AD 10.【答案】ABD
11.【答案】AB
【解析】由可得
令
當遞增；當遞減，
且
是最小的項；
所以A正確
令
，
在區(qū)間內(nèi)遞減，即即
即，
所以，綜上所述，是最大的項，所以B正確，
由于是最小的項，是最大的項，則不可能使得成等差數(shù)列，故C錯誤；
由C知，不成等差數(shù)列，當時，
因為，所以，則，
，所以不存在，成等差數(shù)列，故D錯誤
故選：AB
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】32 13.【答案】2
14.【答案】
【解析】設，則的圖象如圖所示，
即的圖象與的圖象有3個交點，橫坐標依次為，且
由余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，，
所以，
又因為，所以，
令，
則，令，解得或，
當時，在單調(diào)遞增，
當時，在單調(diào)遞減，
當時，在單調(diào)遞增，
又因為，
所以，
所以，故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.【解析】（1）設袋中原有個白球，由題意知：，所以，解得（舍去），即袋中原有3個白球.
（2）由題意，的可能取值為.
所以，取球次數(shù)的分布列為：
16.【解析】（1）設的中點為，連接，
因為為等邊三角形，所以，
又因為平面平面，
平面平面，且平面，
所以平面，
因為平面，所以，
又平面，
所以平面，又因為平面，
所以，
因為在等邊三角形中，為的中點，
，
因為平面，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面；
（2）連接，由（1）知，平面，
因為平面，所以，
因為，
所以四邊形為矩形，
即，所以，
設，
以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
所以，
，
所以，
，
設平面和平面的法向量分別為，
則，
即，
取，則，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
17.【解析】（1）依題意，函數(shù)的定義域為，
求導得，當且僅當時取等號，
在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的遞減區(qū)間為，無遞增區(qū)間.
（2）當時，恒成立，
令，求導得，
當時，，當時，，
即函數(shù)在上遞減，在上遞增，則當時，，
令，依題意，恒成立，
令，求導得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，因此，
所以實數(shù)的取值范圍.
18.【解析】（1）證明：因為，則當時，，
即，
而，有，即，
所以數(shù)列是以為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
于是得，即，
當時，，又滿足上式，
所以的通項公式為.
（2）由（1）知，
當時，，
則，
當時，，
即對任意的，都有.
（3）由（1）知，，
則有，
因，則數(shù)列單調(diào)遞增，，
因?qū)θ我庹麛?shù)均有成立，
于是得，解得，
而，則，
所以存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)均有總成立，的最大值為674.
19.【解析】（1）根據(jù)題意知，橢圓，橢圓
橢圓與橢圓相似，且與的相似比為，則
橢圓的方程為：
（2）點是橢圓上的一點，則，
設
故
所以點一定在雙曲線上
（3）根據(jù)題意：只需上存在兩點關于對稱即可
設，設的中點為
由韋達定理知：
在直線上，則
故，
此時正方形的邊長為
故1
2
3
4
5
.

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