1．已知向量，.若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，則包含的元素個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知且，則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．函數(shù)，若對任意、（），都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知定義在上的函數(shù)(為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記，，，則??的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
8．已知直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題（每小題6分，共18分）
9．（多選）為了更好地支持中小型企業(yè)的發(fā)展，某市決定對部分中小型企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，現(xiàn)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐?00家中小型企業(yè)的年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．樣本在區(qū)間[500,700]內(nèi)的頻數(shù)為18
B．如果規(guī)定年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅收政策，估計當(dāng)?shù)赜?0％的中小型企業(yè)能享受到減免稅收政策
C．樣本的中位數(shù)小于350萬元
D．可估計當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)不超過400萬元（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
10．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（ ）
A．。B．的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱。
C．。D．。
11．如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值。
B．平面。
C．的最小值為。
D．當(dāng)，C，，P四點(diǎn)共面時，四面體的外接球的體積為。
三、填空題（每小題5分，共15分）
12．已知為虛數(shù)單位，，若，則a-b=
13．已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率為 .
14．已知正數(shù)a，b，c滿足，，則的最小值為 .
四、解答題
15．（13分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)求； (2)若，求的面積.
16．（15分）某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
(1)計算，的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較高）
(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測若想收益超過20（億元），則需研發(fā)投入至少多少億元？（結(jié)果保留一位小數(shù)）
參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為，，.
參考數(shù)據(jù)：，，.
（15分）如圖，在四棱錐中，，，
平面，，、分別是棱、的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的正弦值．
18．（17分）已知函數(shù)，定義域?yàn)?
(1)討論的單調(diào)性； (2)求當(dāng)函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)時，的取值范圍.
19．（17分）已知雙曲線的兩條漸近線分別為和，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)（在的上方），過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為4的直線與雙曲線交于點(diǎn)（在的上方），再過點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，這樣一直操作下去，可以得到一列點(diǎn).
（i）證明：共線；
（ii）判斷是否為定值，若是定值求出定值；若不是定值，說明理由.
姓名： 彭山一中2025屆9月入學(xué)數(shù)學(xué)測試參考答案
5．C由對任意、（），都有成立，可知在上單調(diào)遞減，
所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 故選：C.
6．A因?yàn)椋?，，?故選：A.
7．D【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故，
即對任意的恒成立，故，所以，，
則，
當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，
因?yàn)?，故，所?故選：D.
8．由題意知直線是曲線與曲線的公切線，
設(shè)是圖象上的切點(diǎn)，，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即①
令，解得，
即直線與曲線的切點(diǎn)為，
所以，即，解得或，
當(dāng)時，①為，不符合題意，舍去，
所以，此時①可化為，所以，故選：A
9．解，即可判斷A，求出年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)的頻率，即可判斷B，利用頻率分布直方圖中位數(shù)的求解方法，求出中位數(shù)，即可判斷C，利用頻率分布直方圖中平均數(shù)的求解方法，求出平均數(shù)，即可判斷D．
【詳解】由頻率分布直方圖可得，，解得，
所以樣本在區(qū)間,內(nèi)的頻數(shù)為，故A正確；
年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)的頻率為，故B正確；
，故中位數(shù)再,之間，設(shè)中位數(shù)為，
則有，解得，故C錯誤；
收入的平均數(shù)為，故D正確．
故選：ABD．
10．對A：令，則有，即，故A正確；
對B：令，則有，又f1=0，故，
令，，則有，故，故B錯誤；
對C：令，則有，即，
則
，故C正確；
對D：令，則有，即，
則，即，
又，故，
則，故D正確.故選：ACD.
11．對于A，因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，
所以平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，
又為定值， 故定值，A正確；
對于B，因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>同理可知平面，又，平面，
所以平面平面，
由于平面，故平面，B正確.
對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
連接，交于點(diǎn)，此時最小，最小值即為的長，
過點(diǎn)作⊥，交的延長線于點(diǎn)，
其中，
故，又勾股定理得，C正確；
對于D，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，，C，，P四點(diǎn)共面，
四面體的外接球即正方體的外接球，
故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確. 故選：ABD
12．4
13、取橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)，由為等邊三角形，則，
可知為直角三角形，且，設(shè)，則，，
可得，則，
所以橢圓的離心率是．故答案為：.
14．由題意知，當(dāng)時取等號，
故
，當(dāng)時取等號，
綜上，當(dāng)時，的最小值為2. 故答案為：2
15（1）因?yàn)?，由正弦定理可?
可化為. 又由余弦定理，有. 又，所以.
（2）因?yàn)椋桑?）有. 可化為.
又由，有. 所以.
16．（1）由表中數(shù)據(jù)可知，，，
，，，
則， 故相關(guān)程度較高；
（2），， 則，，
故， 令，解得， 故研發(fā)投入至少9.3億元.
17、（1）如圖所示，連接．
因?yàn)椋謩e是棱，的中點(diǎn)， 所以，
因?yàn)?，? 所以，，
所以四邊形是平行四邊形， 則．
因?yàn)槠矫?，平面? 所以平面．
（2）因?yàn)槠矫妫矫?所以，
又因?yàn)椋?，，兩兩垂直?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由題中數(shù)據(jù)可得，，，．
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得．
因?yàn)椋? 所以平面
平面的一個法向量為． 設(shè)平面與平面的夾角為，
則． 故，
即平面與平面的夾角的正弦值為．
18．（1）因?yàn)椋?br>（?。┊?dāng)，即時，則f'x≥0在0,+∞內(nèi)恒成立， 可知在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增；
（ⅱ）當(dāng)，即或時，可知有兩個不相等的根，
不妨令，可知，
①若，因?yàn)椋芍?br>令f'x>0，解得；令f'x

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