一、單選題（本大題共8小題）
1．已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
2．已知事件A，B相互獨(dú)立，且，，則（ ）
A．B．C．D．23
3．設(shè)曲線，的離心率分別為，若，則a＝（ ）
A．B．C．D．2
4．已知四面體中，設(shè)，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則用向量可表示為（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖是一個(gè)中國(guó)古典園林建筑中常見的圓形過徑門，已知該門的最高點(diǎn)到地面的距離為米，門在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系中，以地面所在的直線為軸，過圓心的豎直直線為軸，則門的輪廓所在圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，線段的中垂線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．8B．12C．16D．24
7．2025蛇年央視春晚中，四川大涼山妞妞合唱團(tuán)帶來(lái)節(jié)目《玉盤》唱出了對(duì)月亮的呼喚，舞臺(tái)的“月亮”元素惟妙惟肖，若將其中的一個(gè)“月亮”元素看作圓C，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP斜率的取值范圍，則直線OC的斜率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為母線與底面所成角為為下底面的一條直徑，點(diǎn)為側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．某人連續(xù)投籃三次，每次投一球，記事件為“三次都投中”，事件為“三次都沒投中”，事件為“恰有二次投中”，事件為“至少有二次投中”，則（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與所成角的余弦值為
B．平面
C．點(diǎn)到直線的距離為1
D．在上的投影向量為
11．已知橢圓的離心率為，雙曲線的頂點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，一條漸近線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，則（ ）
A．橢圓的方程為
B．雙曲線的離心率為
C．過橢圓右頂點(diǎn)且垂直于軸的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為
D．橢圓上到直線（為原點(diǎn)）距離最大的點(diǎn)有2個(gè)
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知空間向量，若，則 .
13．已知圓：與圓：外切，此時(shí)直線：被圓所截的弦長(zhǎng)為 .
14．2025春節(jié)檔國(guó)產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧?！方舆B破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以用來(lái)表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，C上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之積為定值.當(dāng)時(shí)，C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足的面積為，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓C的圓心為，且過點(diǎn)
(1)求圓C的半徑及標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)P的軌跡方程.
16．骰子通常作為桌游小道具，最常見的骰子是一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為1，2，3，4，5，
(1)先后拋擲骰子兩次，記“兩次點(diǎn)數(shù)之和為4”，求事件A的概率；
(2)甲、乙兩人玩游戲，雙方約定：游戲有2關(guān)，第一關(guān)拋擲一次，所得的點(diǎn)數(shù)不小于2，則算闖過第1關(guān)；第二關(guān)拋擲兩次，所得的點(diǎn)數(shù)之和不小于7，則算闖過第2關(guān).假定每次闖關(guān)互不影響.由甲連續(xù)挑戰(zhàn)兩關(guān)并均過關(guān)，則甲勝；否則，乙獲勝.這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由.
17．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，直線與交于，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線與交于，兩點(diǎn)，求的面積．
18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，N分別為AB，PC的中點(diǎn).
(1)求證：平面PAD；
(2)平面PAD與平面MND夾角的余弦值；
(3)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得直線DE與平面PBC所成角為若存在，確定點(diǎn)E的位置，若不存在，說明理由.
19．已知橢圓：過點(diǎn)，離心率為
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)；
（i）若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程；
（ii）若原點(diǎn)O總在以AB為直徑的圓外，求直線l斜率的取值范圍.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.
故選：C.
2．【答案】A
【詳解】解：由，得，
則.
故選：A.
3．【答案】A
【詳解】由題設(shè)，，又，
所以且，則.
故選：A
4．【答案】A
【詳解】
如圖，，
故選：A
5．【答案】A
【詳解】設(shè)該圓的半徑為，如圖，
由題意知：，，，
由勾股定理得：，即，解得：，
，即圓的圓心為，則圓的方程為.
故選：A.
6．【答案】C
【詳解】如圖：

由橢圓方程可知，，.
所以，
所以為等邊三角形，
因此的中垂線過，
結(jié)合橢圓的定義，可得周長(zhǎng).
故選：C
7．【答案】D
【詳解】如圖所示：
，
因?yàn)榈娜≈捣秶?br>所以直線的傾斜角的取值范圍是，
由題意可知，直線、為圓的兩條切線，
即直線，為圓的兩條切線，
由圖可知，直線的斜率為負(fù)數(shù)，
設(shè)圓心，則，，
整理可得，
即，
可得，
，解得，
因此，圓心一定在直線上，
即直線的斜率為
故選：D
8．【答案】C
【詳解】圓臺(tái)的母線記為，，
如圖所示建系，設(shè)點(diǎn)，且，
則，
如圖，母線，而，故，點(diǎn)為側(cè)面上的一點(diǎn)，且，
則由勾股定理得:，故為的中點(diǎn)，
故點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，其軌跡長(zhǎng)度為.
故選：C.
9．【答案】ACD
【詳解】設(shè)為三次投籃命中次，
則，可得，
所以，，，，
故ACD正確，B錯(cuò)誤.
故選ACD.
10．【答案】BC
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
且，分別為棱，的中點(diǎn)，可知，，
可得，，，，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?br>所以直線與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：，，設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得，
所以，，因?yàn)椋云矫?，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄康哪ｉL(zhǎng)為，且，
點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：在上的投影向量為，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．【答案】ACD
【詳解】解：
如圖所示：
由，得，
則橢圓的方程為：，故A項(xiàng)正確；
雙曲線的漸近線方程為：，
則，得，
則雙曲線的方程為：，
得雙曲線的離心率為：，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，的右頂點(diǎn)為，
由，得，
得被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為：，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，直線的方程為：，
設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為：，
由，消去得，，
由，
得，故D項(xiàng)正確．
故選：ACD
12．【答案】/-4.5
【詳解】空間向量，
則，解得
故答案為：
13．【答案】
【詳解】：的圓心和半徑分別為，，
：圓心和半徑分別為，，
由于兩圓外切，故，解得，
故直線的距離為，
故弦長(zhǎng)為，
故答案為：
14．【答案】
【詳解】因?yàn)樵c(diǎn)在上，
所以上的點(diǎn)到的距離之積為，
設(shè)為C上任意一點(diǎn)，
此時(shí)，
整理得，
因?yàn)榈拿娣e，
所以，
所以點(diǎn)是曲線C：與以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，
聯(lián)立，
解得，
所以
故答案為：
15．【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）由題意，圓心為，過點(diǎn)，
則半徑，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，則由題意可得，
化簡(jiǎn)可得
16．【答案】(1)
(2)不公平，理由見解析
【詳解】（1）先后拋擲骰子兩次，基本事件總數(shù)，
事件包含的基本事件有：共3個(gè)，
事件的概率為；
（2）拋擲1次骰子有共6種結(jié)果，
出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于2的情況有共5種，則挑戰(zhàn)第一關(guān)通過的概率為；
拋擲骰子兩次，基本事件總數(shù)，
拋擲2次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和不小于7的情況有
共21種，
則挑戰(zhàn)第2關(guān)通過的概率為，
則連續(xù)挑戰(zhàn)2關(guān)并過關(guān)的概率為，
所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，
因?yàn)?，所以這種游戲不公平．
17．【答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）由題意可設(shè)點(diǎn)，則，得①，
因?yàn)椋?，得②?br>將②代入①中，得，解得或8（舍去），
故拋物線的方程為．
（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，將直線與消元得：，
所以，，，
則，
由（1）知，又點(diǎn)到直線的距離為，
所以，即的面積為，
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，點(diǎn)E為PA中點(diǎn)
【詳解】（1）在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，，由，分別為，的中點(diǎn)，
，又四邊形是正方形，則，
于是四邊形是平行四邊形，，而平面，平面，
所以平面
（2）以為原點(diǎn)，直線，，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量，
所以，令則，所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為
（3），
假定在棱上存在一點(diǎn)，滿足條件，令，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，
則直線與平面所成角正弦值為，
解得，所以在棱上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，點(diǎn)為中點(diǎn)．
19．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，離心率為，
所以，
解得，
則橢圓的方程為；
（2）（i）易知直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得
，
由韋達(dá)定理得，
若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，此時(shí)，
解得，
則直線的方程為，即；
（ii）由題可知，
因?yàn)樵c(diǎn)總在以為直徑的圓外，
所以，
即，
解得
則直線l斜率的取值范圍為

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