2、答第Ⅰ卷時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；答第Ⅱ卷時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作答，字體工整，筆記清楚；不能答在試題卷上.
3、考試結(jié)束后，監(jiān)考人將答題卡收回.
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，每小題有且只有一個(gè)正確答案.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先將給定直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程，從而得到直線的斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系以及傾斜角的取值范圍求出傾斜角.
【詳解】對于直線方程，得到,斜率.
設(shè)直線的傾斜角為，，根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系，
已知斜率，所以.
在這個(gè)范圍內(nèi)，正切值等于的角只有，所以.
故選：B
2. 已知平面的一個(gè)法向量為，若直線滿足（），則（ ）
A.
B.
C. 直線與平面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)
D. 直線與平面的位置關(guān)系不確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件可得直線平面，由此可得答案.
【詳解】∵，∴，
∵為平面的一個(gè)法向量，∴平面，
∴直線與平面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
故選：C.
3. 一個(gè)長、寬、高分別為80cm、60cm、100cm的長方體形狀的水槽裝有適量的水，現(xiàn)放入一個(gè)直徑為40cm的木球（水沒有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（ ）
A. cmB. cmC. cmD. cm
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)木球在水中的體積等于水槽上升的體積，即可求解出水槽中水面上升的高度.
【詳解】直徑為40cm的木球，一半在水中，一半在水上，
可得木球在水中的體積V＝＝；
∵木球在水中的體積等于水槽上升的體積，
水槽上升的體積為Sh．
∴水槽上升的高度h＝
故選：B．
4. 當(dāng)從到變化時(shí)，方程不可能表示的曲線是（ ）
A. 圓B. 橢圓
C. 拋物線D. 雙曲線
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)符號(hào), 對角分五類進(jìn)行討論, 由圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對應(yīng)曲線的具體形狀即可.
【詳解】當(dāng) 時(shí), , 方程 ,得
表示與 軸平行的兩條直線；
當(dāng) 時(shí), , 方程，
表示圓心在原點(diǎn)的單位圓；
當(dāng) 時(shí), , 方程 ，
表示中心在原點(diǎn), 焦點(diǎn)在 軸上的橢圓；
當(dāng) 時(shí), , 方程 ，
表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線；
當(dāng) 時(shí), , 方程 ，
表示焦點(diǎn)在 軸上的等軸雙曲線.
故選：C
5. 設(shè)，，是空間中三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，，且，不平行，則，，相交于同一點(diǎn)
【答案】D
【解析】
【分析】本題可根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理，對每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷.
【詳解】對于A選項(xiàng),在空間中，若，，則與可能平行、相交或異面.
例如墻角處的三條交線，兩兩垂直，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于B選項(xiàng),若，，則與可能平行、相交或.
比如當(dāng)，時(shí)，可以在與平行的平面內(nèi)，所以不能得出，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于C選項(xiàng),若，，則與可能平行也可能相交.
例如墻角處的三個(gè)平面，兩兩垂直，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于D選項(xiàng),因?yàn)?，，，且，不平行，，，與相交于直線.
由于，不平行且都在平面內(nèi)，所以，必相交，設(shè)交點(diǎn)為.
因?yàn)?，，所以；又因?yàn)椋?，所?
而，根據(jù)兩個(gè)平面相交，其公共點(diǎn)必在交線上，所以.
這就說明，，相交于同一點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確.
故選：D.
6. 如圖，矩形中，，，、、、分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，且都在坐標(biāo)軸上，、、是線段的四等分點(diǎn)，、、是線段的四等分點(diǎn)，直線與、與、與的交點(diǎn)、、都在以下哪條曲線上（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出點(diǎn)、、的坐標(biāo)，設(shè)曲線的方程為，將這三點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，求出、的值，即可得出曲線的方程.
【詳解】由已知得、、、，
因?yàn)椤?、是線段的四等分點(diǎn)，則、、，
因?yàn)?、、是線段的四等分點(diǎn)，則、、，
，則直線的方程為，
，則直線的方程為，
聯(lián)立這兩直線方程，解得，，即點(diǎn)，
同理可得點(diǎn)、，
設(shè)、、在曲線上，
則，解得，
因此，點(diǎn)、、都在曲線.
故選：D.
7. 一棱長為的正四面體木塊如下圖所示，點(diǎn)在平面內(nèi)，過點(diǎn)將木塊鋸開，且使截面平行于直線和，則在木塊表面畫線的總長度為（ ）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，通過構(gòu)造平行線確定截面，截面周長即為所求.
【詳解】
如圖，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，則，.
在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，則，，
∴，故截面為平行四邊形，
∴在木塊表面畫線的總長度為.
故選：B.
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上、下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)D在線段上，且．若，則C的離心率為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】由題可得，點(diǎn)，，，
∴，∵，則點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，
故，，，
由得：，化簡得．
故選：B．
二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)直線，則（ ）
A. 直線在軸上的截距為
B. 直線與直線：一定垂直
C. 直線過定點(diǎn)
D. 當(dāng)點(diǎn)在直線的右下方時(shí)，
【答案】CD
【解析】
【分析】令計(jì)算直線在軸上的截距可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用兩直線垂直公式可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直線方程變形可得選項(xiàng)C正確；數(shù)形結(jié)合可得選項(xiàng)D正確.
【詳解】A.令得，，
當(dāng)時(shí)，直線在軸上無截距，當(dāng)時(shí)，，直線在軸上的截距為，A錯(cuò)誤.
B.，當(dāng)時(shí)，直線與直線不垂直，B錯(cuò)誤.
C.直線可化為，
由得，，故直線過定點(diǎn)，C正確.
D.由點(diǎn)在直線的右下方得，.
由得，
∴，解得，D正確.
故選：CD.
10. 如圖，圓柱的底面直徑為2，高為為下底面的一條直徑，為圓柱的一條母線，點(diǎn)沿著由向運(yùn)動(dòng)（與端點(diǎn)不重合），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 三棱錐的體積逐漸變大
B. 為平面的一個(gè)法向量
C. 的值先變小后變大
D. 若為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)三棱錐的體積判斷A，應(yīng)用線面垂直判定定理判斷B，應(yīng)用向量數(shù)量積公式計(jì)算判斷C，建系應(yīng)用空間向量法得出線線角的余弦值判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)點(diǎn)沿著由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積，即三棱錐的體積先變大后變小，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又，平面，所以平面?br>所以為平面的一個(gè)法向量，故B正確；
對于C，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；
對于D，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸軸軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
所以，故D正確.
故選：BD.
11. 材料1：在空間解析幾何中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：
①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；
②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上.則稱曲面的方程為，方程的曲面為.
材料2：稱之為“小蠻腰”的廣州塔和雙曲線型冷卻塔的外形，都可近似看作雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，這種曲面稱為單葉雙曲面.

已知單葉雙曲面的方程為，可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，直線過上一點(diǎn)，且以為方向向量，則（ ）
A. 坐標(biāo)平面，，截曲面所得曲線均為雙曲線
B. 點(diǎn)在曲面上
C. 坐標(biāo)平面截曲面所得曲線的一條漸近線與平行
D. 直線曲面內(nèi)
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A：通過令可判斷，對于B，代入曲面方程可判斷，對于C，直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，通過向量共線求出，，即可判斷，對于D，由C求得的任意一點(diǎn)坐標(biāo)代入曲面方程即可判斷；
【詳解】對于A，坐標(biāo)平面截曲面所得曲線，即令，得到，是圓，故A錯(cuò)誤；
對于B，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得：成立，故B正確；
對于C，坐標(biāo)平面截曲面所得曲線，即令，得到，
其漸進(jìn)性方程為：，，
由直線過上一點(diǎn)，且以，設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，
由向量共線可得：，由此可得：，
所以坐標(biāo)平面截曲面所得曲線的一條漸近線與平行，故C正確；
對于D：由得：，代入
可得：，恒成立，
即直線在曲面內(nèi)上，故D正確，
故選：BCD
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12. 直線：與：之間的距離為_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)兩平行直線的距離公式計(jì)算直接得出結(jié)果.
【詳解】由可得，
又，所以，
所以兩直線的距離為.
故答案為：2
13. 已知圓臺(tái)的上下底面直徑分別為，，且其軸截面的兩腰所在直線互相垂直，則該圓臺(tái)的體積為_________.
【答案】##
【解析】
【分析】先根據(jù)軸截面兩腰垂直求出高，再代入體積公式計(jì)算.
【詳解】圓臺(tái)的上下底面直徑分別為，，則上下底面半徑分別為，.
圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，設(shè)圓臺(tái)的高為，因?yàn)檩S截面的兩腰所在直線互相垂直，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，從圓臺(tái)軸截面等腰梯形上底的兩個(gè)端點(diǎn)向下底作垂線，得到兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形.
則由等腰直角三角形的性質(zhì)可知，圓臺(tái)的高等于上下底面半徑之差，即.
根據(jù)圓臺(tái)體積公式，將，，代入可得：
.
故答案為：.
14. 如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），當(dāng)直線與平面所成角取得最大值時(shí)，的長度為_________.
【答案】1
【解析】
【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量坐標(biāo)；然后設(shè)出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面內(nèi)向量的關(guān)系求出法向量；再利用向量的夾角公式表示出直線與平面所成角的正弦值，最后通過分析正弦值取最大值時(shí)的情況，求出的長度.
【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
已知正方體棱長為，則，，.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，可得.設(shè)，.
可得：；；
.
設(shè)平面的法向量,
因?yàn)榉ㄏ蛄颗c平面內(nèi)的向量垂直，則且.
由，即；由，令，則，，所以.
設(shè)直線與平面所成角為，根據(jù)直線與平面所成角的向量公式.
；
；.
則，因?yàn)?，所?
令（），則.
.
兩邊平方得，
令（），則.
對于二次函數(shù)，其對稱軸為，開口向上，
在時(shí)取得最小值.此時(shí)，. 則，，
可得.
故答案為：1.
四、解答題：共77分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)滿足（為參數(shù)），
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）求曲線：與曲線公共弦的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）對曲線的參數(shù)方程平方消參，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；
（2）在直角坐標(biāo)系下，用曲線和曲線的方程作差可得它們公共弦所在的直線方程，然后聯(lián)立公共弦所在的直線方程和曲線的方程可求得交點(diǎn)，用兩點(diǎn)間的距離公式即可得到兩曲線的公共弦長.
【小問1詳解】
由，得，
兩式平方再相加得.
【小問2詳解】
曲線：和曲線：
的方程作差得：，將代入曲線：中得，
所以兩個(gè)交點(diǎn)分別：，所以公共弦長為
16. 已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，，
（1）求拋物線的方程及的坐標(biāo)；
（2）設(shè)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)街本€的距離最大時(shí)，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將代入可得，進(jìn)而求出，即可求解；
（2）由（1）知，確定當(dāng)時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大，根據(jù)兩直線的位置關(guān)系和直線的點(diǎn)斜式方程求出的方程，聯(lián)立拋物線方程。利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)軸時(shí)，的橫坐標(biāo)均為，代入方程，
得，所以，又，則，解得，
所以拋物線的方程為，；
【小問2詳解】
由（1）知，拋物線的準(zhǔn)線為，所以，即.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，
又，所以，所以直線的斜率為1，
得直線方程為，即，
由，得，設(shè)，
則.
由拋物線的定義知，又，
所以.
17. 在三棱錐中，
（1）若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，求證：平面；
（2）若，，，
①當(dāng)時(shí)，求到平面的距離；
②若，，，的面積分別為，，，，類比勾股定理，寫出一個(gè)關(guān)于，，，的正確等式（無需證明）.
【答案】（1）證明見解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）通過構(gòu)造輔助線，結(jié)合中位線性質(zhì)，證明面面平行，從而證明平面.
（2）①運(yùn)用等體積法計(jì)算即可；②類比平面勾股定理，得出結(jié)論即可.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)，連接.
在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，
根據(jù)三角形中位線定理，可得.
又因?yàn)槠矫鍭BC，平面，
根據(jù)直線與平面平行的判定定理，所以平面.
因?yàn)?，即，且是中點(diǎn)（是中點(diǎn)），
所以在中，可得，
根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理（如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，
那么這條直線平行于三角形的第三邊），可知.
又因?yàn)槠矫鍭BC，平面，
根據(jù)直線與平面平行的判定定理，所以平面.
因?yàn)槠矫?，平面，?br>且平面，平面，根據(jù)平面與平面平行的判定定理，
可得平面平面.
又因?yàn)槠矫?，根?jù)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面，
所以平面.
【小問2詳解】
①已知， 在中，，將
其代入面積公式可得：.
在三棱錐中，高，
將其代入體積公式可得：.
，，，且，
則根據(jù)勾股定理可求得.
則為等邊三角形.
面積.
根據(jù)等體積法知道：，設(shè)到平面的距離，
代入求知，得到，即，
解得.
②類比平面勾股定理，得出結(jié)論.下面計(jì)算證明：
設(shè)，則，
而，，，
故
，
故.
18. 如圖，在等腰梯形中，，，將沿翻折至，使得平面平面.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）點(diǎn)在棱（不包含端點(diǎn)）上，且平面與平面所成角余弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理，求得，結(jié)合勾股定理，可證，又根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直，可證平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得線面角的正弦值；
（3）先設(shè)，再計(jì)算二面角計(jì)算余弦值為，計(jì)算求參.
【小問1詳解】
由等腰梯形中，，
過C做，交于，連接AC，如圖所示
根據(jù)對稱性可得，，
所以，可得，
又由，
所以，即，
所以，即，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，又由平面，
所以平面平面.
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸正方向建立空間坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，則，令，得一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成角為
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為；
【小問3詳解】
點(diǎn)在棱（不包含端點(diǎn)）上，設(shè)，
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br>因?yàn)椋?br>設(shè)平面的法向量為，
則，則，
令，得一個(gè)法向量，
因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，
所以，所以，計(jì)算得；
所以，即得.
19. 定義：一般地，當(dāng)且時(shí)，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓，已知橢圓的相似橢圓為．
（1）求證：橢圓與橢圓的離心率相等；
（2）直線與橢圓均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且的斜率之積為，求證：的交點(diǎn)在橢圓的相似橢圓上；
（3）若為橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）5
【解析】
【分析】（1）分別求出橢圓的離心率可得結(jié)論；
（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立方程組，利用，化簡可得結(jié)論；
（3）由已知，設(shè)為，聯(lián)立方程組求得，同理求得，進(jìn)而可得結(jié)論．
【小問1詳解】
橢圓的離心率為
可化為
其離心率為
所以，即：橢圓與橢圓的離心率相等．
【小問2詳解】
設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，
直線的方程為：與橢圓聯(lián)立得：
，
，
即：亦即：①，
用代換①的得：②，
①式乘4+②式得：，
兩邊同除得：，
即點(diǎn)在橢圓上，
亦即：在橢圓的相似橢圓上，
【小問3詳解】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
所以，，
設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，
所以，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，
所以．
設(shè)直線的斜率為，則直線PN的斜率為，
所以直線的方程為．
由，得，
設(shè)，則，
所以
，
由替換可得，
所以
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：高考中解析幾何解答題一般圍繞直線和圓錐曲線的位置關(guān)系進(jìn)行設(shè)題，對考生的代數(shù)運(yùn)算能力、邏輯思維能力要求較高，挖掘幾何圖形的性質(zhì)是求解有幾何背景的圓錐曲線問題的主要思路，在解決與橢圓有關(guān)的問題時(shí)要重視圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用．

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2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江市第一中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）：

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