命題點(diǎn)1 代數(shù)法確定隱形圓
角度1 與數(shù)量積相關(guān)的隱形圓
例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－12，0），B（0，6），點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上.若PA·PB≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 [－52，1] .
解析 設(shè)P（x，y），則由PA·PB≤20可得，-12-x-x+－y·6－y≤20，即（x＋6）2＋（y－3）2≤65，所以P為圓（x＋6）2＋（y－3）2＝65上或其內(nèi)部一點(diǎn).又點(diǎn)P在圓x2＋y2＝50上，故聯(lián)立得x2＋y2=50，(x+6)2＋(y－3)2=65，
解得x=1，y=7或x＝－5，y＝－5，即P為圓x2＋y2＝50的劣弧MN上的一點(diǎn)（如圖），易知－52≤x≤1.
角度2 由｜PA｜2＋｜PB｜2是定值確定隱形圓（其中A，B是兩定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)）
例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，點(diǎn)A（0，2）.若圓C上存在點(diǎn)M，滿足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 [0，3] .
解析 設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題知點(diǎn)A（0，2），O（0，0）.因?yàn)椋麺A｜2＋｜MO｜2＝10，所以x2＋（y－2）2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋（y－1）2＝4，即點(diǎn)M在圓E：x2+y-12=4上.因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)M滿足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10等價(jià)于圓E與圓C有公共點(diǎn)，所以｜2－1｜≤｜CE｜≤2＋1，即1≤a2＋（a－3）2≤3，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，3].
角度3 阿波羅尼斯圓
例3 在△ABC中，若AB＝2，AC＝2BC，則S△ABC的最大值為 22 .
解析 以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，令A(yù)（－1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），y≠0，由｜AC｜＝2｜BC｜可得（x+1）2＋y2＝2×（x－1）2＋y2，化簡(jiǎn)可得（x－3）2＋y2＝8（y≠0），即點(diǎn)C在以（3，0）為圓心，22為半徑的圓上（不含圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），則｜yC｜的最大值為22，S△ABC＝12｜AB｜·｜yC｜＝｜yC｜，所以S△ABC的最大值為22.
方法技巧
（1）代數(shù)法確定隱形圓往往是通過設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)已知條件列方程，根據(jù)方程確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，進(jìn)而解決與圓相關(guān)的問題.
（2）已知平面上相異兩點(diǎn)A，B，則滿足｜PA｜｜PB｜＝k（k＞0，k≠1）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.
訓(xùn)練1 （1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（－t，0），B（t，0），t＞0，點(diǎn)C滿足AC·BC＝8，且點(diǎn)C到直線l：3x－4y＋24＝0的距離最小值為95，則實(shí)數(shù)t的取值的集合是 {1} .
解析 設(shè)C（x，y），由AC·BC＝8知，x2＋y2＝8＋t2.點(diǎn)（0，0）到直線l：3x－4y＋24＝0的距離d1＝｜24｜32＋42＝245，圓x2＋y2＝8＋t2上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值dmin=d1-8+t2=245－8+t2＝95，解得t＝1（負(fù)值舍去）.故實(shí)數(shù)t的取值的集合是{1}.
（2）設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足CP＝λCA＋μCB，3λ＋4μ＝2（λ，μ∈R），｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜.若｜AB｜＝3，則△ABC的面積的最大值為 9 .
解析 由3λ＋4μ＝2得32λ＋2μ＝1，則CP＝λCA＋μCB＝3λ2（23CA）＋2μ（12CB），設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，BC上的點(diǎn)，且CE＝23CA，CF＝12CB，則P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.因?yàn)镻A=PB=PC，所以P是△ABC的外心，即三邊中垂線的交點(diǎn)，由F是CB的中點(diǎn)得直線EF是邊BC的中垂線，則｜EB｜＝｜EC｜＝2｜EA｜.以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向，過點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），設(shè)E（x，y）（y≠0），則（x－3）2＋y2＝2x2＋y2，化簡(jiǎn)得（x＋1）2＋y2＝4（y≠0），所以點(diǎn)E在以（－1，0）為圓心，2為半徑的圓上，則｜yE｜≤2.所以S△ABC＝12｜AB｜×｜yC｜＝12｜AB｜×3｜yE｜≤12×3×3×2＝9，即△ABC的面積的最大值為9.
命題點(diǎn)2 幾何法確定隱形圓
例4 （1）已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得∠APB＝60°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 [2-22,2+22] .
解析 由題意得圓心M（a，a－4）在直線x－y－4＝0上運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)圓M是圓心在直線x－y－4＝0上，半徑為1的圓.又圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得∠APB＝60°，所以｜OP｜＝2，即點(diǎn)P也在圓x2＋y2＝4上，于是2－1≤a2＋（a－4）2≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）2≤3，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2－22，2＋22].
（2）已知圓C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和兩點(diǎn)A（－m，0），B（m，0），m＞0，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的取值范圍是 [4，6] .
解析 由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)（0，0）為圓心，m為半徑的圓O：x2＋y2＝m2上，又點(diǎn)P在已知圓C上，所以兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，所以5－1≤m≤5＋1，故4≤m≤6.
方法技巧
（1）利用圓的定義判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，從而根據(jù)圓心及半徑得出圓的方程.
（2）見直徑，想垂直；見垂直，想直徑.
訓(xùn)練2 已知A，B是圓C1：x2＋y2＝1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且｜AB｜＝3，P是圓C2：（x－3）2＋（y－4）2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則｜PA＋PB｜的取值范圍是 [7，13] .
解析 取AB的中點(diǎn)M，則｜C1M｜＝1－（32）2＝12，所以M在以C1為圓心，半徑為12的圓上.因?yàn)椋黀A＋PB｜＝2｜PM｜，所以｜PA＋PB｜的取值范圍是2｜PM｜的取值范圍.又｜C1C2｜－1－12≤｜PM｜≤｜C1C2｜＋1＋12，且｜C1C2｜＝5，則7≤2｜PM｜≤13，即｜PA＋PB｜的取值范圍是[7，13].
學(xué)生用書·練習(xí)幫P354
1.已知直線l：y＝k（x－2）＋1（k∈R）上存在一點(diǎn)P，滿足｜OP｜＝1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ C ）
A.（0，12）B.[0，34]
C.[0，43]D.[12，43]
解析 解法一 由｜OP｜＝1，知點(diǎn)P在單位圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，則由題意知直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則｜－2k+1｜k2+1≤1，解得0≤k≤43，即k的取值范圍是[0，43]，故選C.
解法二 因?yàn)橹本€l：y＝k（x－2）＋1（k∈R）上存在一點(diǎn)P，使得｜OP｜＝1，所以原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為1，即｜－2k+1｜k2+1≤1，解得0≤k≤43，即k的取值范圍是[0，43]，故選C.
2.已知點(diǎn)A（－1，0），B（2，0），若動(dòng)點(diǎn)M滿足｜MB｜＝2｜MA｜，直線l:x+y-2=0與x軸、y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，則△MPQ的面積的最小值為（ D ）
A.4＋22B.4C.22D.4－22
解析 如圖，設(shè)M（x，y），由｜MB｜＝2｜MA｜，得（x－2）2＋y2＝2（x+1）2＋y2，化簡(jiǎn)得（x＋2）2＋y2＝4，所以點(diǎn)M的軌跡是圓.由題意可知P（2，0），Q（0，2），則｜PQ｜＝22，圓（x＋2）2＋y2＝4的圓心N（－2，0）到直線l的距離d＝｜－2+0－2｜2＝22，所以點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為22－2，所以S△MPQmin =12×22×22－2=4-22.故選D.
3.[2024江蘇省常熟中學(xué)校考]設(shè)λ∈R，動(dòng)直線l1：λx－y＋λ＝0過定點(diǎn)A，動(dòng)直線l2：x＋λy－3－2λ＝0過定點(diǎn)B，若P為l1與l2的交點(diǎn)，則｜PA｜·｜PB｜的最大值為（ A ）
A.10B.20C.10D.25
解析 直線l1的方程可整理為λ（x＋1）－y＝0，令x+1=0，－y=0，解得x＝－1，y=0，所以A－1，0.直線l2的方程可整理為λ（y－2）＋x－3＝0，令x－3=0，y－2=0，解得x=3，y=2，所以B（3，2）.因?yàn)棣恕?－1×λ＝0，所以l1⊥l2，所以點(diǎn)P是以AB為直徑的圓上的點(diǎn)，又｜AB｜＝（－1－3）2＋（0－2）2＝25，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝20，所以｜PA｜·｜PB｜≤｜PA｜2＋｜PB｜22＝10，當(dāng)且僅當(dāng)｜PA｜＝｜PB｜＝10時(shí)等號(hào)成立.故選A.
4.[多選/2023湖南益陽聯(lián)考]在平面直角坐標(biāo)系中，M（－2，0），N（1，0），A（3，1），｜PM｜＝2｜PN｜，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，下列說法正確的是（ BD ）
A.C的方程為（x＋4）2＋y2＝12
B.△PMN面積的最大值為922
C.｜AP｜的最小值為42
D.若直線y＝2x＋1與C交于D，E兩點(diǎn)，則｜DE｜＝655
解析 設(shè)點(diǎn)P（x，y），由｜PM｜＝2｜PN｜，得（x+2）2＋y2＝2×（x－1）2＋y2，化簡(jiǎn)得（x－4）2＋y2＝18，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)點(diǎn)P縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大時(shí)，△PMN的面積最大，此時(shí)S△PMN＝12×3×32＝922，故B正確；
設(shè)軌跡C的圓心為E，半徑為r，則E（4，0），r＝32，點(diǎn)A在圓內(nèi)，所以｜AP｜min＝r-｜AE｜＝32－1+1＝22，故C錯(cuò)誤；
易知軌跡C的圓心E到直線y＝2x＋1的距離為d＝95，｜DE｜＝2（32）2－（95）2=655，故D正確.故選BD.
5.已知圓O：x2＋y2＝1，過平面區(qū)域D內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)均存在兩條互相垂直的直線，它們均與圓O相交，則區(qū)域D的面積為 2π .
解析 如圖所示，過點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，此時(shí)PA⊥PB，連接OA，OB，則四邊形PAOB是正方形，所以｜OP｜＝2，那么平面區(qū)域D就是以O(shè)為圓心、2為半徑的圓及其內(nèi)部，故區(qū)域D的面積為π（2）2＝2π.
6.[2023安徽合肥質(zhì)檢]已知AB為圓C：（x－2）2＋（y－m）2＝3的一條弦，M為線段AB的中點(diǎn).若｜CM｜2＋｜OM｜2＝3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 -[2,2] .
解析 由題意可知C（2，m），設(shè)M（x，y），因?yàn)椋麮M｜2＋｜OM｜2＝3，所以（x－2）2＋（y－m）2＋x2＋y2＝3，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－my＋m22＋12＝0，即（x－1）2＋（y－m2）2＝2－m24，當(dāng)2－m2＞0時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以D（1，m2）為圓心，半徑r＝2－m22的圓；當(dāng)2－m2＝0時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為點(diǎn)（1，m2）.因?yàn)辄c(diǎn)M是圓C的一條弦的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M在圓C的內(nèi)部，所以圓D或點(diǎn)（1，m2）在圓C的內(nèi)部，所以2－m2>0，（2－1）2＋（m－m2）2＜3－2－m22或2－m2=0，（1－2）2＋（m2－m）2

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