學(xué)生用書P181
1.橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于① 常數(shù) （大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的② 焦點 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的③ 焦距 .
集合語言：P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a＞c＞0，且a，c為常數(shù).
注意 若2a＝｜F1F2｜，則動點的軌跡是線段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，則動點的軌跡不存在.
（2）標(biāo)準(zhǔn)方程
a.中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為④ x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）；
b.中心在坐標(biāo)原點，焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑤ y2a2+x2b2=1 （a＞b＞0）.
思維拓展
橢圓的第二定義、第三定義
橢圓的第二定義：{P｜｜PF｜d＝e，0＜e＜1，其中F為定點，l為定直線，e為離心率，F(xiàn)?l，d表示點P到直線l的距離}.
橢圓的第三定義：{P｜kPA·kPB＝e2－1，0＜e＜1，其中kPA，kPB分別表示點P與兩定點A，B連線的斜率，e為離心率}.
注意 橢圓的第三定義中的兩個定點（橢圓的頂點）在x軸上，且利用橢圓第三定義得出的軌跡方程不包括這兩個定點.
2.橢圓的幾何性質(zhì)
說明 離心率表示橢圓的扁平程度，當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，從而b＝a2－c2越小，因此橢圓越扁平；當(dāng)e越接近于0時，c越接近于0，從而b＝a2－c2越大，因此橢圓越接近于圓.
常用結(jié)論
1.橢圓的焦點三角形
以橢圓上的點P（x0，y0）與兩焦點F1，F(xiàn)2為頂點的△PF1F2叫做焦點三角形.
如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.
（1）當(dāng)P為短軸端點時，θ最大.（2）S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2tanθ2=c｜y0｜，當(dāng)｜y0｜＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取最大值，最大值為bc.（3）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c.（4）焦點三角形的周長為2（a＋c）.
2.設(shè)橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），則當(dāng)點Px0,y0在橢圓上時，｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（e為橢圓的離心率）.
1.（1）的推導(dǎo)過程：在焦點三角形PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cs θ，
則cs θ＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝(|PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1||PF2｜－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝（2a）2－4c2－2｜PF1||PF2｜2｜PF1||PF2｜
＝2b2｜PF1||PF2｜－1，
∵｜PF1｜｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2，當(dāng)且僅當(dāng)｜PF1｜＝｜PF2｜，即點P是短軸端點時取等號，
∴cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1≥2b2a2－1.
又函數(shù)y＝cs x在（0，π）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)P為短軸的端點時，θ最大.
1.（2）的推導(dǎo)過程：由上條結(jié)論的推導(dǎo)過程得cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1，∴｜PF1｜｜PF2｜＝2b21+csθ，
∴S△PF1F2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝12·2b21+csθ·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2·2sin θ2cs θ22cs2 θ2＝b2tan θ2.
1.設(shè)P是橢圓C：x25＋y23＝1上的動點，則P到橢圓的兩個焦點的距離之和為（ C ）
A.22B.23C.25D.42
解析 根據(jù)橢圓的定義，可知點P到橢圓的兩個焦點的距離之和為25.故選C.
2.已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的離心率為12，則（ B ）
A.a2＝2b2B.3a2＝4b2C.a＝2bD.3a＝4b
解析 由題意得，ca＝12，∴c2a2＝14，又a2＝b2＋c2，∴a2－b2a2＝14，∴b2a2＝34，∴4b2＝3a2.故選B.
3.[多選]下列說法正確的是（ CD ）
A.平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓
B.橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓
C.關(guān)于x，y的方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲線是橢圓
D.x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）與y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同
4.[易錯題]平面內(nèi)一點M到兩定點F1（－6，0），F(xiàn)2（6，0）的距離之和等于12，則點M的軌跡是 線段F1F2 .
解析 由題意知｜MF1｜＋｜MF2｜＝12，但｜F1F2｜＝12，即｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，所以點M的軌跡是線段F1F2.
5.[易錯題]橢圓x210－m＋y2m－2＝1的焦距為4，則m＝ 4或8 .
解析 當(dāng)焦點在x軸上時，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.當(dāng)焦點在y軸上時，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.
6.已知橢圓的一個焦點為F（6，0），且B1，B2是短軸的兩個端點，△FB1B2是等邊三角形，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x248＋y212＝1 .
解析 由已知得橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.由一個焦點為F（6，0），知c＝6，又△FB1B2為等邊三角形，得b＝23，所以a2＝b2＋c2＝48，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x248＋y212＝1.
學(xué)生用書P183
命題點1 橢圓的定義及其應(yīng)用
例1 （1）[2023全國卷甲]設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x25＋y2＝1的兩個焦點，點P在C上，若PF1·PF2＝0，則｜PF1｜·｜PF2｜＝（ B ）
A.1B.2C.4D.5
解析 解法一 因為PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，則S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝b2tan∠F1PF22，得12｜PF1｜·｜PF2｜＝1×tan90°2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故選B.
解法二 因為PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF12+PF22=F1F22＝2c2=16.因為｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝25，所以(|PF1｜＋｜PF2|)2＝20，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故選B.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29＋y24＝1的兩個焦點，點M在C上，則｜MF1｜·｜MF2｜的最大值為（ C ）
A.13B.12C.9D.6
解析 由橢圓C：x29＋y24＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
則｜MF1｜·｜MF2｜≤（｜MF1｜＋｜MF2｜2）2＝32＝9，當(dāng)且僅當(dāng)｜MF1｜＝｜MF2｜＝3時等號成立.
（3）動圓M與圓M1：（x＋1）2＋y2＝1外切，與圓M2：（x－1）2＋y2＝25內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡是 橢圓 .
解析 設(shè)圓M的半徑為R.因為圓M與圓M1外切，與圓M2內(nèi)切，所以MM1=1+R,｜MM2｜＝5－R，所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6＞｜M1M2｜＝2，所以M的軌跡是橢圓.
方法技巧
1.橢圓定義的主要應(yīng)用
（1）確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的動點軌跡是否為橢圓；（2）解決與焦點有關(guān)的距離或范圍問題.
2.解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義以及余弦定理.
訓(xùn)練1 （1）[2023全國卷甲]設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：x29＋y26＝1的兩個焦點，點P在C上，cs∠F1PF2＝35，則｜OP｜＝（ B ）
A.135B.302C.145D.352
解析 解法一 依題意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如圖，不妨令F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）.設(shè)｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝m2＋n2－122mn＝35 ①，由橢圓的定義可得m+n=2a=6 ②.由①②，解得mn＝152.設(shè)｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2+3－m223x＝－x2+3－n223x，得x2＝m2＋n2－62＝（m＋n）2－2mn－62＝152，所以｜OP｜＝302.（也可由PO＝12（PF1＋PF2），兩邊同時平方求｜OP｜）
解法二 依題意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如圖（圖同解法一），設(shè)點P的坐標(biāo)為（x0，y0），利用焦點三角形面積公式知S△F1PF2＝b2sin∠F1PF21+cs∠F1PF2.因為cs∠F1PF2＝35，所以sin∠F1PF2＝45，故S△F1PF2＝6×451+35＝3.又S△F1PF2＝12×2c｜y0｜＝3｜y0｜，故y02＝3，又x029＋y026＝1，所以x02＝92，故｜OP｜2＝x02＋y02＝152，得｜OP｜＝302.
（2）已知橢圓x24＋y23＝1，F(xiàn)是橢圓的左焦點，P是橢圓上一點，若點A的坐標(biāo)為（1，1），則｜PA｜＋｜PF｜的最小值為（ A ）
A.3B.10C.5＋12D.5＋1
解析 設(shè)橢圓的右焦點為F2（1，0），則｜AF2｜＝1，PA+PF=PA+4-PF2=4+PA-PF2.又｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝1，所以-1≤PA-PF2≤1，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值為3（此時點P是射線F2A與橢圓的交點）.
（3）已知△ABC 的周長為20，且頂點B（0，－4），C（0，4），則頂點A的軌跡方程是 x220＋y236＝1（x≠0） .
解析 因為△ABC的周長為20，頂點B（0，－4），C（0，4），所以｜BC｜＝8，｜AB｜＋｜AC｜＝20－8＝12，因為12＞8，所以點A到兩個定點的距離之和等于定值，所以點A的軌跡是焦點在y軸上的橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為x2b2＋y2a2＝1（a＞b＞0），易得a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以點A的軌跡方程是x220＋y236＝1（x≠0）.
命題點2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2 （1）[2023南京模擬]已知橢圓的兩個焦點分別為F1（0，2）， F2（0，－2），P為橢圓上任意一點，若｜F1F2｜是｜PF1｜，｜PF2｜的等差中項，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ D ）
A.x264＋y260＝1B.y264＋x260＝1
C.x216＋y212＝1D.y216＋x212＝1
解析 由題意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，則b＝23，又焦點在y軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216＋x212＝1.
（2）[2022全國卷甲]已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的離心率為13，A1，A2分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點.若BA1·BA2＝－1，則C的方程為（ B ）
A.x218＋y216＝1B.x29＋y28＝1
C.x23＋y22＝1D.x22＋y2＝1
解析 依題意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以BA1＝（－a，－b），BA2＝（a，－b），BA1·BA2＝－a2＋b2＝－c2＝－1，故c＝1，又C的離心率e＝ca＝13，所以a＝3，故a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程為x29＋y28＝1，故選B.
方法技巧
求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
1.定義法
先根據(jù)橢圓的定義確定a，b，c的值，再結(jié)合焦點位置求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.待定系數(shù)法
若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b的值；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，用待定系數(shù)法求出m，n的值.
訓(xùn)練2 （1）[2023銀川市質(zhì)檢]已知A是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右頂點，焦距為4，直線y＝kx（k≠0）與C相交于P，Q兩點，若直線AP與直線AQ的斜率之積為－12，則橢圓C的方程為（ B ）
A.x26＋y22＝1B.x28＋y24＝1
C.x29＋y25＝1D.x232＋y216＝1
解析 解法一 因為A是橢圓C的右頂點，所以點A的坐標(biāo)為（a，0），因為直線y＝kx（k≠0）過原點，所以與橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的交點P，Q關(guān)于原點對稱，因此可設(shè)P，Q兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（－x1，－y1），則kAP·kAQ＝y(tǒng)1x1－a·－y1－x1－a＝y(tǒng)1x1－a·y1x1＋a=y12x12－a2.因為點P（x1，y1）在橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，所以x12a2＋y12b2＝1，故y12＝b2（1－x12a2）＝b2a2（a2－x12），所以kAP·kAQ＝y(tǒng)12x12－a2＝b2a2（a2－x12）x12－a2＝－b2a2，由已知可得－b2a2＝－12，所以a2＝2b2.由焦距2c＝4，得c＝2，再結(jié)合橢圓中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2=4，故橢圓C的方程為x28＋y24＝1，故選B.
解法二 由二級結(jié)論可知，直線AP和AQ的斜率之積為－b2a2，所以－b2a2＝－12，所以a2＝2b2，由焦距2c＝4，得c＝2，再結(jié)合橢圓中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2＝4，故橢圓C的方程為x28＋y24＝1，故選B.（二級結(jié)論：過原點的直線與橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）相交于P，Q兩點，A為橢圓上任意一點，且直線AP和AQ與坐標(biāo)軸不垂直，則直線AP和AQ的斜率之積為定值－b2a2）
（2）若橢圓經(jīng)過兩點（1，32）和（2，22），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24+y2=1 .
解析 解法一 當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1 （a＞b＞0）.∵橢圓經(jīng)過兩點（1，32）和（2，22），∴1a2＋34b2=1，2a2＋12b2=1，解得a=2，b=1.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2＝1.當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）.∵橢圓經(jīng)過兩點（1，32）和（2，22），∴34a2＋1b2=1，12a2＋2b2=1，解得a=1，b=2，與a＞b矛盾，故舍去.
綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2＝1.
解法二 設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1 （m＞0，n＞0，m≠n）.
∵橢圓過（1，32）和（2，22）兩點，∴m＋3n4=1，2m＋n2=1，解得m＝14，n=1.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2＝1.
命題點3 橢圓的幾何性質(zhì)
角度1 離心率
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]設(shè)橢圓C1：x2a2＋y2＝1（a＞1），C2：x24＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝3e1，則 a＝（ A ）
A.233B.2C.3D.6
解析 解法一（直接求解法） 由已知得e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因為e2＝3e1，所以32＝3×a2－1a，得a＝233.故選A.
解法二（選項代入驗證法） 若a＝233，則e1＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又e2＝32，所以e2＝3e1，所以a＝233符合題意，由于是單選題，故選A.
（2）[2022全國卷甲]橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若直線AP，AQ的斜率之積為14，則C的離心率為（ A ）
A.32B.22C.12D.13
解析 解法一 設(shè)P（m，n）（n≠0），則Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14 ①.因為點P在橢圓C上，所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2（a2－m2），代入①式，得b2a2＝14，所以e＝1－b2a2＝32.故選A.
解法二 設(shè)橢圓C的右頂點為B，則直線BP與直線AQ關(guān)于y軸對稱，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－14＝e2－1，所以e＝32.故選A.
（3）[2021全國卷乙]設(shè)B是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足｜PB｜≤2b，則C的離心率的取值范圍是（ C ）
A.[22，1）B.[12，1）C.（0，22]D.（0，12]
解析 依題意，得B（0，b），設(shè)橢圓上一點P（x0，y0），則｜y0｜≤b，由x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，則｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝x02＋y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.因為當(dāng)y0＝－b時，｜PB｜2＝4b2，所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，所以離心率e＝ca≤22，故選C.
方法技巧
1.求橢圓離心率的方法
（1）直接利用公式求離心率.e＝ca＝1－（ba）2.
（2）由橢圓的定義求離心率.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，則e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜.
（3）構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次式求離心率.可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.
注意 將余弦定理與橢圓的定義結(jié)合列方程，是常見的構(gòu)造關(guān)于a，b，c的齊次式的方法.
2.求橢圓離心率范圍時，要注意對幾何圖形的臨界情況的應(yīng)用.
訓(xùn)練3 （1）已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，且△ABF是等腰三角形，則橢圓C的離心率為（ B ）
A.5－12B.3－12C.3－1D.5－1
解析 由題意知｜AB｜＞｜BF｜，｜AF｜＞｜BF｜，故｜AB｜＝｜AF｜，即a2＋b2＝a＋c，所以2a2－c2＝a2＋2ac＋c2，即2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝3－12（負(fù)值舍去），故選B.
（2）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為（ D ）
A.1－32B.2－3C.3－12D.3－1
解析 由題意可得，｜PF2｜∶｜PF1｜∶｜F1F2｜＝1∶3∶2.因為｜F1F2｜＝2c，所以｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，由橢圓的定義得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，故橢圓C的離心率e＝ca＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜＝23+1＝3－1.故選D.
角度2 與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問題
例4 （1）[2021全國卷乙]設(shè)B是橢圓C：x25＋y2＝1的上頂點，點P在C上，則｜PB｜的最大值為（ A ）
A.52B.6C.5D.2
解析 設(shè)點P（x，y），則根據(jù)點P在橢圓x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知點B（0，1），所以｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝254－（2y＋12）2（｜y｜≤1）.當(dāng)2y＋12＝0，即y＝－14時，｜PB｜2取得最大值254，所以｜PB｜max＝52.故選A.
（2）設(shè)A，B是橢圓C：x23＋y2m＝1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是（ A ）
A.（0，1]∪[9，＋∞）B.（0，3]∪[9，＋∞）
C.（0，1]∪[4，＋∞）D.（0，3]∪[4，＋∞）
解析 依題意得3m≥tan∠AMB2，00.若過F1的直線和圓（x－12c）2＋y2＝c2相切，與橢圓的第一象限交于點P，且PF2⊥x軸，則該直線的斜率是 255 ，橢圓的離心率是 55 .
解析 設(shè)過F1的直線與圓的切點為M，圓心A（12c，0），則｜AM｜＝c，｜AF1｜＝32c，所以｜MF1｜＝52c，所以該直線的斜率k＝｜AM｜｜MF1｜＝c52c＝255.因為PF2⊥x軸，所以PF2=b2a，又｜F1F2｜＝2c，所以k＝255＝b2a2c＝a2－c22ac＝1－e22e，得e＝55.
18.[與立體幾何綜合/多選/2023安徽安慶模擬]如圖所示，一個底面半徑為2的圓柱被與其底面成45°角的平面所截，截面是一個橢圓，則下列說法正確的是（ ACD ）
A.橢圓的長軸長為4
B.橢圓的離心率為24
C.橢圓的方程可以為x24＋y22＝1
D.橢圓上的點到焦點的距離的最小值為2－2
解析 圓柱的底面半徑是2，直徑是22，所以橢圓的長軸長2a＝22cs45°＝4，故a＝2，短軸長2b＝22，b＝2，則c＝a2－b2＝2，離心率e＝ca＝22.以橢圓中心為原點，長軸與短軸所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得橢圓的方程為x24＋y22＝1.橢圓上的點到焦點的距離的最小值是a－c＝2－2.故選ACD.
19.[新定義“果圓”]我們把由半橢圓E1：x2a2＋y2b2＝1（x≥0）與半橢圓E2：y2b2＋x2c2＝1（x≤0）合成的曲線稱為“果圓”，其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0，如圖.設(shè)A1，A2，B1，B2是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點，C為半橢圓E1上一點，F(xiàn)為半橢圓E1的焦點.若CA1+CF=43，tan∠B1A1B2＝－22，則“果圓”的內(nèi)接矩形面積的最大值為 4（2＋6） .
解析 由已知得F（c，0），A1（－c，0），所以A1，F(xiàn)分別是橢圓x2a2＋y2b2＝1的左、右焦點.由｜CA1｜＋｜CF｜＝43及橢圓的定義可得2a＝43，即a＝23.
設(shè)∠B1A1O＝θ，則tan∠B1A1B2＝tan 2θ＝－22，tan 2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22，因為θ是銳角，所以tan θ＞0，所以tan θ＝2.
因為tan θ＝bc，所以b＝2c，因為a＝23，a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0，所以b＝22，c＝2.所以半橢圓E1：x212＋y28＝1（x≥0），半橢圓E2：y28＋x24＝1（x≤0）.
作“果圓”的內(nèi)接矩形為MNPQ（如圖）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y1），0＜x1＜23，－2＜x2＜0，0＜y1＜22，則滿足x1212＋y128＝1 ①，y128＋x224＝1 ②，①－②得x12＝3x22，即x1＝－3x2.
則“果圓”的內(nèi)接矩形的面積為2（x1－x2）y1＝2（－3x2－x2）8（1－x224）＝22×（3＋1）×（4－x22）x22≤2（6＋2）×4－x22＋x222＝4（2＋6），當(dāng)且僅當(dāng)4－x22＝x22，即x2＝－2時等號成立.所以“果圓”的內(nèi)接矩形面積的最大值為4（2＋6）.課標(biāo)要求
命題點
五年考情
命題分析預(yù)測
1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).
2.了解橢圓的簡單應(yīng)用.
3.體會數(shù)形結(jié)合的思想.
橢圓的定義及其應(yīng)用
2023全國卷甲T7；2023全國卷甲T12；2021新高考卷ⅠT5；2021全國卷甲T15；2020新高考卷ⅠT9
該講是高考命題的熱點，主要體現(xiàn)：（1）以定義作為命題思路求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率等；（2）以特殊的幾何圖形為命題背景，求解三角形的面積，弦長等.題型既有小題也有大題，難度中等偏上.在2025年高考的備考中，應(yīng)關(guān)注橢圓的定義和幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
2023全國卷乙T20；2022全國卷甲T11；2022全國卷乙T20；2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020新高考卷ⅡT21；2020全國卷ⅠT20；2020全國卷ⅡT19；2020全國卷ⅢT20；2019全國卷ⅠT10；2019全國卷ⅡT21
橢圓的幾何性質(zhì)
2023新高考卷ⅠT5；2022新高考卷ⅠT16；2022全國卷乙T20；2022全國卷甲T10；2021全國卷 乙T11；2020全國卷ⅡT19；2019全國卷ⅢT15
標(biāo)準(zhǔn)方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
幾
何
性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：⑥ x軸、y軸 .對稱中心：⑦ 原點
焦點
F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）
F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c）
頂點
A1－a，0,A2a，0,
B10，－b,B20，b
A10，－a,A20，a,
B1－b，0,B2b，0
軸
線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸，長軸長為⑧ 2a ，短軸長為⑨ 2b
焦距
｜F1F2｜＝2c
離心率
e＝ca＝1－b2a2∈⑩ （0，1）
a，b，c
的關(guān)系
? a2＝b2＋c2

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