學(xué)生用書P177
1.直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則
常用結(jié)論
與圓的切線有關(guān)的結(jié)論
（1）過圓（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一點P（x0，y0）的切線方程為（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（2）過圓C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一點P（x0，y0）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則P，A，B，C四點共圓，且AB所在直線的方程為（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（3）若圓的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），則過圓外一點P（x0，y0）的切線長d＝（x0－a）2＋（y0－b）2－r2.
2.圓與圓的位置關(guān)系
（1）設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R，r（R＞r），則
（2）兩圓相交時，公共弦所在直線的方程
設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 （*），圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 （**），若兩圓相交，則兩圓有一條公共弦，由（*）－（**），得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0 （***）.方程（***）表示圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程.
注意 （1）方程（***）存在的前提是兩圓相交；（2）兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心.
規(guī)律總結(jié)
圓系方程
1.[多選]下列說法正確的是（ AD ）
A.若直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切
B.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交
C.“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件
D.過圓O：x2＋y2＝r2外一點P（x0，y0）作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2
2.[易錯題]若半徑為1的圓C與圓（x＋1）2＋（y－2）2＝9相切，則圓C的圓心C的軌跡方程為 （x＋1）2＋（y－2）2＝16或（x＋1）2＋（y－2）2＝4 .
解析 若兩圓外切，則點C與點（－1，2）間的距離為4，點C在以（－1，2）為圓心，4為半徑的圓上，此時點C的軌跡方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝16；若兩圓內(nèi)切，則點C與點（－1，2）間的距離為2，點C在以（－1，2）為圓心，2為半徑的圓上，此時點C的軌跡方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝4.
3.[易錯題]已知圓C：x2＋y2＝9，過點P（3，1）作圓C的切線，則切線方程為 x＝3或4x＋3y－15＝0 .
解析 由題意知P在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x＝3，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)斜率為k，則切線方程為y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由｜k×0－0+1－3k｜k2＋（－1）2＝3，解得k＝－43，所以切線方程為4x＋3y－15＝0.綜上，切線方程為x＝3或4x＋3y－15＝0.
4.過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程為 x2＋y2－3x＋y－1＝0 .
解析 易知x2＋y2－2y－4＝0不符合題意，設(shè)所求圓的方程為x2+y2-4x+2y+λx2+y2-2y－4=0λ≠-1，
則（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，
把圓心坐標（21+λ，λ－11+λ）代入直線l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝13，故所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0.
5.[浙江高考]已知直線y＝kx＋b（k＞0）與圓x2＋y2＝1和圓（x－4）2＋y2＝1均相切，則k＝ 33 ，b＝ -233 .
解析 解法一 因為直線y＝kx＋b（k＞0）與圓x2＋y2＝1，圓（x－4）2＋y2＝1都相切，所以｜b｜1+k2＝｜4k＋b｜1+k2＝1，得k＝33，b＝－233.
解法二 因為直線y＝kx＋b（k＞0）與圓x2＋y2＝1，圓（x－4）2＋y2＝1都相切，
所以直線y＝kx＋b必過兩圓心連線的中點（2，0），
所以2k＋b＝0.設(shè)直線y＝kx＋b的傾斜角為θ，則sin θ＝12，又k＞0，所以θ＝π6，所以k＝tan π6＝33，b＝－2k＝－233.
學(xué)生用書P178
命題點1 直線與圓的位置關(guān)系
例1 （1）[多選/2021新高考卷Ⅱ]已知直線l：ax＋by－r2＝0（r＞0）與圓C：x2＋y2＝r2，點A（a，b），則下列說法正確的是（ ABD ）
A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切
B.若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離
D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
解析 對于A，若點A（a，b）在圓C上，則a2＋b2＝r2，所以圓心C（0，0）到直線l的距離d＝r2a2＋b2＝r，所以直線l與圓C相切，故A正確；對于B，若點A（a，b）在圓C內(nèi)，則a2＋b2＜r2，所以圓心C（0，0）到直線l的距離d＝r2a2＋b2＞r，所以直線l與圓C相離，故B正確；對于C，若點A（a，b）在圓C外，則a2＋b2＞r2，所以圓心C（0，0）到直線l的距離d＝r2a2＋b2＜r，所以直線l與圓C相交，故C不正確；對于D，因為點A在直線l上，所以a2＋b2＝r2，圓心C（0，0）到直線l的距離d＝r2a2＋b2＝r，所以直線l與圓C相切，D正確.故選ABD.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]設(shè)點A（－2，3），B（0，a），若直線AB關(guān)于y＝a對稱的直線與圓（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共點，則a的取值范圍是 [13,32] .
解析 解法一 由題意知點A（－2，3）關(guān)于直線y＝a的對稱點為A'（－2，2a－3），所以kA'B＝3－a2，所以直線A'B的方程為y＝3－a2x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由題意知直線A'B與圓（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共點，易知圓心為（－3，－2），半徑為1，所以｜－3（3－a）＋（－2）×（－2）+2a｜（3－a）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32，所以實數(shù)a的取值范圍是[13，32].
解法二 設(shè)已知圓關(guān)于直線y＝a的對稱圓為圓C，則易知圓心C（－3，2a＋2），半徑r=1.
又直線AB的方程為y＝a－32x＋a，即（a－3）x－2y＋2a＝0.
于是，根據(jù)題意可知直線AB與圓C有公共點，從而可得|(a－3)(－3）－2（2a+2）+2a｜（a－3）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32.故所求a的取值范圍是[13，32].
方法技巧
直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法
注意 在直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法中，若直線和圓的方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若直線或圓的方程中含有參數(shù)，且圓心到直線的距離不易表達，則用代數(shù)法.
訓(xùn)練1 （1）直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋（y－1）2＝5的位置關(guān)系是 （ A ）
A.相交B.相切
C.相離D.不確定
解析 解法一（代數(shù)法） 由mx－y+1－m=0，x2＋（y－1）2=5，消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，
因為Δ＝16m2＋20＞0，所以直線l與圓C相交.
解法二（幾何法） 由題意知，圓心C（0，1）到直線l的距離d＝｜m｜m2+1＜1＜5，故直線l與圓C相交.
解法三（點與圓的位置關(guān)系法） 直線l：mx－y＋1－m＝0過定點（1，1），因為點（1，1）在圓x2＋（y－1）2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓C相交.
（2）[2023重慶市調(diào)研質(zhì)量抽測（一）]已知圓C：x2＋y2＝16上恰有3個點到直線l：y＝3x＋b（b＞0）的距離等于2，則b的值為 4 .
解析 如圖，分別作直線l1，l2與直線l平行，且與直線l的距離均為2.圓C：x2＋y2＝16，則圓心坐標為（0，0），半徑r＝4.圓心（0，0）到直線l：3x－y＋b＝0的距離d＝｜b｜2.因為圓C上恰有3個點到直線l的距離等于2，由圖可知，圓C與l2相切，與l1有2個交點，（轉(zhuǎn)化為圓C與直線l1，l2的位置關(guān)系）
則d+2=4，d－2

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