教學(xué)基本信息
課題
直線與平面垂直的概念及判定
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：高中
年級(jí)
高一
教材
書名：普通高中教科書 數(shù)學(xué) 必修 第二冊(cè)
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 6 月
姓名
單位
設(shè)計(jì)者
馬旭
北京市順義牛欄山第一中學(xué)
實(shí)施者
馬旭
北京市順義牛欄山第一中學(xué)
指導(dǎo)者
李淑敬、孫楓、趙賀
北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心
北京市順義牛欄山第一中學(xué)
課件制作者
馬旭
北京市順義牛欄山第一中學(xué)
其他參與者
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
本節(jié)課主要了解直線與平面垂直，點(diǎn)到平面的距離及直線與平面所成角等概念；掌握線面垂直的判定定理，能夠應(yīng)用判定定理證明直線與平面垂直；從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”，發(fā)展邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
引入
日常生活中，直線與平面垂直的例子有很多.
比如，廣場上的旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋墩與海面的位置關(guān)系，相鄰墻面的交線與地面，門軸所在直線與地面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的形象..
通過生活實(shí)例，讓學(xué)生直觀感知直線與平面垂直這種位置關(guān)系.
新課
如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC. 隨時(shí)間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與影子BC所在直線是否保持垂直？

事實(shí)上，隨著時(shí)間的變化，盡管影子BC的位置在不斷變化，但是旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直. 也就是說，旗桿AB所在直線與地面上任意一條過點(diǎn)B的直線垂直.
那么，對(duì)于不過點(diǎn)B的任意一條直線，它與旗桿AB所在直線垂直嗎？
垂直，因?yàn)閷?duì)于不過點(diǎn)B的任意一條直線，總能在地面上找到過點(diǎn)B的一條直線與之平行，根據(jù)異面直線垂直的定義，可知旗桿AB所在直線與直線也垂直. 因此我們可以說，旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直.
于是我們得到直線與平面垂直的概念：
一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.
直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.
直線l與平面α垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.

畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示：

接下來請(qǐng)同學(xué)們思考：
在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直. 將這一結(jié)論推廣到空間，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？
直觀觀察可以發(fā)現(xiàn)，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.
我們給出下面兩個(gè)小概念：
過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.
同學(xué)們回憶一下，之前我們學(xué)習(xí)過棱錐，在它的體積公式中，哪個(gè)量體現(xiàn)了點(diǎn)到平面的距離呢？
（棱錐的高----就是頂點(diǎn)到底面的距離.）
算一算
若棱錐P-ABC的體積是18，底面ABC面積為9，那么頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為_____？
那么，我們?nèi)绾蝸砼袛嘀本€與平面垂直呢？
依據(jù)定義可以進(jìn)行判斷，但你怎樣驗(yàn)證一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直？
那么，你還有其他方法嗎？
讓我們來做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)，如圖，準(zhǔn)備一塊三角形的紙片ABC，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）.
B
C
A
D
（1）折痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？
不難發(fā)現(xiàn)，AD所在直線與桌面所在平面垂直的充要條件是折痕AD是BC邊上的高. 這時(shí)，由于翻折后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD，DC都垂直.
B
C
A
D
由基本事實(shí)的推論2，平面α可以看成是由兩條相交直線BD，DC所唯一確定，所以當(dāng)直線AD垂直于這兩條相交直線時(shí)，就能保證直線AD與α內(nèi)所有直線都垂直.
一般地，我們有如下判定直線與平面垂直的定理.
定理 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
同學(xué)們，你能用圖形語言和符號(hào)語言表示判定定理的內(nèi)容嗎？
l

請(qǐng)大家想一想，判定定理中包含了哪幾類垂直關(guān)系呢？
兩類垂直關(guān)系：線與線垂直、線與面垂直.
再結(jié)合線面垂直的定義，請(qǐng)大家體會(huì)一下，線面垂直與線線垂直具有怎樣的關(guān)系呢?
由判定定理可知，直線與直線垂直可以得到直線與平面垂直，而由定義，直線與平面垂直又可得到直線與直線垂直，所以說，線線垂直與線面垂直是可以相互轉(zhuǎn)化的.
請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考：
兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，兩條平行直線也可以確定一個(gè)平面，那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？
改為“兩條平行直線”不可以.
由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量都可由不共線的兩個(gè)向量唯一表示. 因此，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線垂直，那么無法判定該直線是否與此平面的所有直線都垂直，也就無法判斷直線與平面垂直.
如果改為“無數(shù)條直線”可不可以呢？
“無數(shù)條直線”不等同于“任意一條直線”.
若“無數(shù)條直線”彼此相互平行，則無法判定直線是否與該平面垂直.
隨堂檢測：
1、若一條直線與三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直與三角形第三邊的位置關(guān)系是（ ）
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 不確定
解：由直線與平面垂直的判定定理知，該直線與三角形所在平面垂直，進(jìn)而與三角形第三邊垂直，所以答案為B.
2、某旗桿高24m，在它的頂端系兩條長26m的繩子，拉緊繩子并把它們固定在地面上兩點(diǎn)（兩點(diǎn)與旗桿腳不共線），請(qǐng)問這兩點(diǎn)與旗桿距離多少米時(shí)，旗桿與地面垂直？
解：若要旗桿AB與地面垂直，只需AB垂直地面兩條相交直線BC、BD.
在Rt△ABC中，由勾股定理，

所以兩點(diǎn)與旗桿距離10米時(shí)，旗桿與地面垂直.
通過分析旗桿與它在地面影子的位置關(guān)系，引出直線與平面垂直的概念.
借助幾何直觀，獲得直線與平面垂直的概念.
通過直觀感知及已有經(jīng)驗(yàn)獲得點(diǎn)到該平面的距離的概念.
借助已學(xué)知識(shí)，理解
點(diǎn)到平面的距離.
通過實(shí)驗(yàn)操作，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)直線和平面垂直的條件.
根據(jù)直觀感知及已有經(jīng)驗(yàn)，獲得線面垂直判定定理.
三種語言轉(zhuǎn)換，加深對(duì)判定定理的理解.
概念辨析，突出線面垂直判定定理的關(guān)鍵之處.
檢測對(duì)判定定理的理解.
應(yīng)用判定定理時(shí)一定要注意關(guān)鍵條件：“垂直兩條相交直線”.
例題
下面我們應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理研究空間直線與平面的垂直關(guān)系.
例題 求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.
我們首先將自然語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言.
已知：如圖，，，求證：.

分析：要證明直線，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知，只需證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可.

證明：如圖，在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n.
直線，



又是兩條相交直線，
.
判定直線與平面垂直的關(guān)鍵，要讓直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線.
你能用直線與平面垂直的定義證明這個(gè)結(jié)論嗎？
利用定義證明，需要證明直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直.
證明：在平面內(nèi)任取一條直線m
因?yàn)橹本€， 由直線與平面垂直定義，
所以.
因?yàn)椋?
所以.
又因?yàn)閙是平面內(nèi)的任意一條直線，
由直線與平面垂直定義，
所以有
鞏固練習(xí)（一）：
1、設(shè) l，m，n均為直線，其中m，n 在平面內(nèi)，則是，的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解：當(dāng)時(shí)，由線面垂直定義可知，且，所以充分性成立；反之，若，則無法判斷l(xiāng)是否與垂直，故必要性不成立，所以，本題答案為A.
2、在三棱錐V-ABC中，VA=VC，BA=BC，K是AC的
中點(diǎn). 求證：AC 平面VKB.
要證AC 平面VKB，由線面垂直判定定理可知，需證明AC垂直平面VKB內(nèi)兩條相交直線. 證明過程如下：
∵VA=VC，
∴三角形VAC是等腰三角形
∵K是AC中點(diǎn)，
∴VK⊥AC
又BA=BC，
∴BK⊥AC.
∵VK與BK交于點(diǎn)K，由線面垂直判定定理:
∴AC⊥平面VKB. 證明完畢.
3、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時(shí)，A1C⊥B1D1.
分析：研究空間中兩條直線的垂直關(guān)系，通常借助線面垂直關(guān)系，所以本題考慮研究直線B1D1與平面A1CC1垂直.
解：當(dāng)AC⊥BD時(shí)，A1C⊥B1D1，理由如下：
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
∵ BB1//DD1，且BB1=DD1，
∴ 四邊形BB1D1D是平行四邊形．
∴ B1D1//BD．
同理，A1C1//AC．
∵ AC⊥BD，
∴ B1D1⊥A1C1．
又 側(cè)棱CC1⊥平面A1B1C1D1，
且B1D1平面A1B1C1D1，
∴ CC1⊥B1D1．
∵A1C1CC1=C1，
∴ B1D1⊥平面A1CC1．
∵ A1C平面A1CC1，
∴ B1D1⊥A1C．
4、如圖，在三棱錐P-ABC中，CD⊥AB，垂足為D，PO⊥底面ABC，垂足為O，且O在CD上，求證AB⊥PC.
要證AB⊥PC，只需證AB⊥平面POC.
證明：因?yàn)镻O⊥底面ABC，且AB在底面ABC內(nèi)，
由線面垂直定義，
所以PO⊥AB.
又因?yàn)镃D⊥AB，且CD與PO交于點(diǎn)O，
由線面垂直判定定理
所以AB⊥平面POC.
所以AB⊥PC.
直線與平面垂直，是直線與平面相交的一種特殊情況，當(dāng)直線與平面相交但不垂直時(shí)，不同的直線與平面相交，情況也是不同的，那么，如何刻畫這種不同情況呢？
我們知道，角度常用來刻畫幾何對(duì)象的相對(duì)位置，前面我們學(xué)習(xí)了異面直線成角，那么，直線與平面所成的角如何定義呢？
如圖，當(dāng)一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直時(shí)，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足. 過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.
由定義可知，研究直線和平面所成角的關(guān)鍵，需要確定出斜線在平面上的射影.
例如，正方體ABCD-A1B1C1D1中，
A1B在平面AC上的射影為AB，
故A1B與平面AC所成的角為∠A1BA；
A1C在平面AC上的射影為AC，
故A1C與平面AC所成的角為∠A1CA.
同學(xué)們可以仿照著再舉出幾個(gè)線面角的例子，加深對(duì)線面角的認(rèn)識(shí).
請(qǐng)同學(xué)們觀察圖形，隨著直線l的變化，你能說出直線與平面所成角的范圍嗎？
一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；
一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°；
直線與平面所成的角的取值范圍是.
請(qǐng)同學(xué)們想一想：
如果是平面內(nèi)的任意一條不與直線重合的直線，那么直線與直線所成的角和直線與這個(gè)平面所成的角的大小關(guān)系是什么？
比較兩個(gè)角的大小關(guān)系，一般地，我們把角放到三角形中，利用三角函數(shù)值的大小關(guān)系比較角的大小，所以我們這樣來研究，
由O向直線AB作垂線，垂足記作B.
連接PB.
想一想，AB⊥PB嗎？
∵PO⊥α，且AB在平面α內(nèi)，
∴PO⊥AB.
∵AB⊥OB，且OB與PO相交于點(diǎn)O，
根據(jù)線面垂直判定定理
∴AB⊥平面PBO.
因?yàn)镻B在平面PBO內(nèi)，
∴AB⊥PB. 因此三角形ABP為直角三角形.
在Rt△POA中，
在Rt△ABO中，
在Rt△ABP中，
大家注意觀察這三個(gè)余弦值的關(guān)系，
我們得到
由AB的任意性可知：
斜線與平面所成的角是它與該平面內(nèi)所有直線所成的角中的最小角.
下面我們應(yīng)用概念求解一個(gè)線面角.
例題 如圖，在正方體中.
求直線和平面所成的角.
分析：問題的關(guān)鍵是找出直線A1B在平面A1DCB1上的射影，而要找射影，需要先找到平面A1DCB1的垂線.
解：連接，與相交于點(diǎn)，連接.
設(shè)正方體的棱長為.
，，，
平面.
平面.
為斜線在平面上的射影，為和平面所成的角.
在中，，
.
直線與平面所成的角為.
類似求解異面直線所成角，一般地，我們將線面角也轉(zhuǎn)化為平面角，通常在三角形中求解它的大小.
鞏固練習(xí)（二）：
1、判斷：如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎？
2、正三棱錐A-OBC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，
求直線OA與平面OBC所成角的余弦值.
3、如圖，菱形ABCD邊長為2，PC⊥平面ABCD，
∠ABC=60°，PC=2，求PA與平面PBC所成角的正弦
值.
應(yīng)用判定定理解決空間線面垂直問題，同時(shí)也體現(xiàn)平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間聯(lián)系.
借助練習(xí)，鞏固線面垂直判定定理，考查學(xué)生對(duì)線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化能力.
應(yīng)用判定定理，證明直線與平面垂直.
本題以直四棱柱為載體，考查學(xué)生對(duì)“線面垂直”與“線線垂直”相互轉(zhuǎn)化的能力.
本題從線面垂直出發(fā)，先推出線線垂直，再推出線面垂直，最后又推出線線垂直，充分體現(xiàn)了線面垂直與線線垂直之間的相互轉(zhuǎn)化.
承前啟后，引出直線與平面所成的角，提高學(xué)生對(duì)空間位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生空間想象能力.
以正方體為例，直觀呈現(xiàn)什么線面角.
探究線面角的取值范圍.
線面角性質(zhì)探究，培養(yǎng)空間想象能力和推理論證能力.
以正方體為背景，求直線與平面所成的角.
借助練習(xí)，鞏固線面角概念及直線與平面垂直的判定定理.
總結(jié)
下面我們總結(jié)一下今天學(xué)到了哪些內(nèi)容.
本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的概念，以及如何判定直線與平面垂直；認(rèn)識(shí)了什么是直線和平面所成的角.
注意：判定直線與平面垂直的關(guān)鍵，直線一定要與平面內(nèi)的兩條“相交”直線垂直.
本節(jié)課還蘊(yùn)含著“轉(zhuǎn)化”的思想，空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，線面垂直與線線垂直也可以相互轉(zhuǎn)化.
梳理知識(shí)，點(diǎn)明主題
作業(yè)
作業(yè)1
如圖，四棱錐的底面是正方形，
平面. 求證：平面.
作業(yè)2
本節(jié)課，你覺得哪個(gè)知識(shí)最重要，它有什么作用，需要注意的關(guān)鍵是什么？
【課后作業(yè)參考答案】
證明：平面，
.
又在正方形中，，
且，
平面.
應(yīng)用線面垂直判定定理解決數(shù)學(xué)問題.
引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注判定定理的條件要求，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

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