北京市第十四中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

班級(jí)：______姓名：______
注意事項(xiàng)：
1.本試卷共4頁(yè)，共21道小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.
2.在答題卡上指定位置貼好條形碼，或填涂考號(hào).
3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.
4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.
5.答題不得使用任何涂改工具.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由三角函數(shù)定義求解即可.
【詳解】由三角函數(shù)定義可知.
故選：A.
2. 的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式二將化簡(jiǎn)為，計(jì)算即可.
【詳解】由誘導(dǎo)公式二，得
.
故選：D.
3. 在中，若，，，則等于（）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，
即，
又由，且，
所以或，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦定理，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
4. 已知向量滿足，則（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.
【詳解】向量滿足，
所以.
故選：B
5. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象，則函數(shù)的解析式是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．
【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得.
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.
6. 在△中，若，則△為
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，得到，由此得到，進(jìn)而判斷出正確選項(xiàng).
【詳解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形為等腰三角形，故選A.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知向量和都是非零向量，則“”是“為銳角”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先由及向量夾角范圍推斷充分性，再由數(shù)量積定義以及“為銳角”即可推斷必要性.
【詳解】因?yàn)椋蛄亢投挤橇阆蛄浚?br>則由得，
所以由向量夾角范圍為，得“”或“為銳角”；
反之，若為銳角，則，
故“”是“為銳角”的必要不充分條件.
故選：B.
8. 函數(shù)是
A. 奇函數(shù)，且最大值為2B. 偶函數(shù)，且最大值為2
C. 奇函數(shù)，且最大值為D. 偶函數(shù)，且最大值為
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.
【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值.
故選：D.
9. 底與腰（或腰與底）之比為黃金分割比等腰三角形稱為黃金三角形，其中頂角為36°的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形．據(jù)此可得的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求出，再根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，為一個(gè)黃金三角形，
其中，為的中點(diǎn)，
根據(jù)題意可知，
則，
即，
又，
則，
解得，
所以.
故選：B.
10. 已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
則，，，
設(shè)，則，，，
則
當(dāng)，時(shí)，取得最小值，
故選：．
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分.
11. 若一個(gè)扇形的圓心角為2弧度，半徑為2cm，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是______cm.
【答案】4
【解析】
【分析】由扇形弧長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】由扇形弧長(zhǎng)公式得這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是.
故答案為：4.
12. 正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為邊中點(diǎn)，則=______.
【答案】
【解析】
【分析】先由題意讀出，，且即可求解.
【詳解】由題可得，，且，

所以.
故答案為：.
13. 若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為___．
【答案】（滿足即可）
【解析】
【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對(duì)稱，得出求解.
【詳解】與關(guān)于軸對(duì)稱，
即關(guān)于軸對(duì)稱，
，
則，
當(dāng)時(shí)，可取的一個(gè)值為.
故答案為：（滿足即可）.
14. 已知，則______；若且，則的取值為______.
【答案】 ①. ②. 0，，
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)，接著將代入即可求解；令結(jié)合即可求出的取值.
【詳解】由題
，
故，
令，即，
，
或，
即或，又，
所以.
故答案為：；
15. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)的最小正周期是；
②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
③函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)；
④直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而求出函數(shù)的零點(diǎn)，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想依次判斷結(jié)論即可.
【詳解】由圖象得，，
又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，所以，
由，得，所以，
所以，令，
所以函數(shù)的零點(diǎn)有，作出圖象，如圖，
由圖象可得，
的最小正周期為，故①正確；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，故②正確；
令，得，即函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
由函數(shù)圖象知直線是圖象的一條對(duì)稱軸，故④正確.
故答案為：①②④
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，以及兩角差的正弦公式即可求出，
（2）根據(jù)二倍角公式和兩角和的正切公式即可求出.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以.
所以.
（2）因?yàn)?，?br>所以.
所以.
17. 已知平面向量，滿足，，.
（1）求；
（2）求；
（3）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由數(shù)量積定義即可求解.
（2）根據(jù)模長(zhǎng)公式結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律即可求解.
（3）根據(jù)向量的運(yùn)算律以及垂直關(guān)系的向量表示即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題.
小問(wèn)2詳解】
由（1），
所以
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
整理得，解得.
18. 在中，．
（1）求；
（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)?，則，由已知可得，
可得，因此，.
【小問(wèn)2詳解】
解：由三角形面積公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周長(zhǎng)為.
19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而由三角函數(shù)定義以及兩角和余弦公式即可求解.
（2）根據(jù)已知用余弦定理求出向量夾角，再結(jié)合數(shù)量積定義公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題點(diǎn)A、B在單位圓上，且分別在第一象限和第二象限.
故由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，得，，
所以，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以.
20. 設(shè)函數(shù).
（1）若，求的值；
（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求，的值.
條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）直接用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，然后代入計(jì)算即可；
（2）選擇①，函數(shù)不存在；選擇②，根據(jù)，計(jì)算即可；選擇③，根據(jù)，計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?
由，得.
又因?yàn)椋裕?br>【小問(wèn)2詳解】
選擇條件①：，
因?yàn)椋?，不可能?br>選擇條件②：，且，
因?yàn)?，所以的最小值為，最大值?，
又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且，，
所以由三角函數(shù)的性質(zhì)得，故.
因?yàn)?，所以?
由，得.
又因?yàn)?，所?
選擇條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以的最小值為，最大值?.
由題意得，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且.
所以由三角函數(shù)的性質(zhì)得，故.
因?yàn)椋裕?
由，得.
又因?yàn)椋?
21. 若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點(diǎn)．函數(shù)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為的集．
（1）判斷是否是函數(shù)的點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)的集為，求的最大值；
（3）若定義域?yàn)榈倪B續(xù)函數(shù)的集滿足，求證：．
【答案】（1）不是，理由見解析；
（2）；
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）直接求出，再判斷出，即可得到，即可得到結(jié)論；
（2）先說(shuō)明，若，則，由題設(shè)得到，推出矛盾即可證得；再說(shuō)明的值可以等于，令，利用三角函數(shù)的值域加以證明即可；
（3）由題設(shè)知，必存在，使得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)必存在零點(diǎn)，即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
不是函數(shù)的點(diǎn)，理由如下：設(shè)，則，，
因?yàn)?，所以，所以，所以不是函?shù)的點(diǎn)；
【小問(wèn)2詳解】
先證明，若，則函數(shù)的最小正周期，因?yàn)楹瘮?shù)的集為，
所以對(duì)，是的點(diǎn)，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，必有，即對(duì)于恒成立，
所以，即的最小正周期，與矛盾；
再證明的值可以等于，令，對(duì)，當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，，所以是的點(diǎn)，
即函數(shù)的集為；綜上所述，的最大值是；
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的集滿足，所以存在，使得且，即，
因?yàn)槿?，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，
不妨設(shè)，由零點(diǎn)存在定理知，必存在使得，所以存在零點(diǎn)，即.
【點(diǎn)睛】本題的第二小問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于先假設(shè)，利用周期推出矛盾，進(jìn)而證得，再利用三角函數(shù)的值域說(shuō)明的值可以等于即可；第三小問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于得到存在，使得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可證明.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多