知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
2．?dāng)?shù)列的表示方法
3．?dāng)?shù)列的分類
典型例題分析
考向一 利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
1．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，則S2 022＝( )
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 024
2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，則an＝( )
A．5×6n B．5×6n＋1
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,5×6n－2，n≥2)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,5×6n－2＋1，n≥2))
方法總結(jié)
(1)已知Sn求an，注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2時(shí)的表達(dá)式合并．
(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
考向二 由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
方法(一) 累加法
[例1] (1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
方法(二) 累乘法
[例2] 已知數(shù)列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
方法(三) 構(gòu)造法
[例3] (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝eq \f(1,3)an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N，n≥1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝______.
方法技巧
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng)．
(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq \f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng)．
(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵．
(4)形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．
考向三 數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用

角度1 數(shù)列的周期性
[例1] 數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq \f(1,1－an)(n∈N*)，則a2 023等于( )
A．－2 B．－1 C．2 D.eq \f(1,2)
角度2 數(shù)列的單調(diào)性
[例2] 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)a＋\f(17,4)))n＋\f(17,2)，n≤2，,an，n>2，))若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1.5，＋∞) B．(1.8，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(2.25，＋∞)
角度3 數(shù)列的最值
[例3] 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n＋4)eq \f(2,3)n，若數(shù)列最大項(xiàng)為ak，則k＝________.
[方法技巧]
1．解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法
用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．
2．解決數(shù)列周期性問題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．
3．求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法
(1)函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知數(shù)列的前項(xiàng)依次為，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知數(shù)列，則6是這個(gè)數(shù)列的（ ）
A．第6項(xiàng)B．第12項(xiàng)C．第18項(xiàng)D．第36項(xiàng)
3．若表示正整數(shù)n的個(gè)位數(shù)字，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．0C．1009D．1011
4．已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．D．
5．?dāng)?shù)列中，且滿足，則的值為( )
A．bB．b－aC．－bD．－a
6．設(shè)數(shù)列滿足，，記前項(xiàng)之積為，則（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
二、多選題
7．(多選題)古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式為（ ）

A．B．
C．D．
8．斐波那刻螺旋線被骨為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵，鸚鵡螺等.如圖，小正方形的邊長分別為斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，，從內(nèi)到外依次連接通過小正方形的圓弧，就得到了一條被稱為“斐波那契螺旋”的弧線，現(xiàn)將每一段“斐波那契螺旋”弧線所在的正方形邊長設(shè)為，數(shù)列滿足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧線與其所在的正方形圍成的扇形面積設(shè)為，則下列說法正確的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
9．在數(shù)列中，第項(xiàng)是________．
10．已知數(shù)列滿足，（），則______．
11．函數(shù)由下表定義：
若，，，2，3，…，則______．
12．已知數(shù)列滿足，且其前n項(xiàng)和滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式______．（寫出一個(gè)即可）
四、解答題
13．已知數(shù)列中，，，求.
14．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5項(xiàng)．
15．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
16．在數(shù)列中，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為數(shù)列中的最小項(xiàng)，求的取值范圍.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．?dāng)?shù)列、、、的下一項(xiàng)應(yīng)該是（ ）
A．B．C．D．
2．?dāng)?shù)列中，，則等于（ ）
A．900B．9902C．9904D．10100
3．?已知中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是( )
A．B．C．D．
4．若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知滿足，且，則的最小值為
A．B．C．D．10
6．已知數(shù)列中，，且，若存在正整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
二、多選題
7．“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”．例如：取第一項(xiàng)為，將其外觀描述為“個(gè)”，則第二項(xiàng)為；將描述為“個(gè)”，則第三項(xiàng)為；將描述為“個(gè)，個(gè)”，則第四項(xiàng)為；將描述為“個(gè)，個(gè)，個(gè)”，則第五項(xiàng)為，…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng)．對(duì)于外觀數(shù)列，下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則的最后一個(gè)數(shù)字為6D．若，則中沒有數(shù)字
8．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．D．
三、填空題
9．在數(shù)列中，，，，則______．
10．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為______．
11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和，，則正整數(shù)的最大值為_________.
12．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和______．
四、解答題
13．已知.若是常數(shù)數(shù)列，求的值.
14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－21n＋20.
（1）n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；
（2）數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)，若沒有說明理由．
15．已知函數(shù)，.
（1）求證：對(duì)任意，.
（2）試判斷數(shù)列是否是遞增數(shù)列，或是遞減數(shù)列？
16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
6.1 數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式
思維導(dǎo)圖
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
2．?dāng)?shù)列的表示方法
3．?dāng)?shù)列的分類
典型例題分析
考向一 利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)
1．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，則S2 022＝( )
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 024
解析：選C 當(dāng)n＝1時(shí)，a2＋2S1＝2＋1?a2＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋1＋2Sn＝2n＋1得an＋2Sn－1＝2n－1，兩式相減可得an＋1－an＋2an＝2，即an＋an＋1＝2，所以an＝1，可得Sn＝n，所以S2 022＝2 022.故選C.
2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，則an＝( )
A．5×6n B．5×6n＋1
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,5×6n－2，n≥2)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,5×6n－2＋1，n≥2))
解析：選C 當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝5S1＝5a1＝5，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝5Sn－1，所以an＋1－an＝5(Sn－Sn－1)＝5an?an＋1＝6an，而a2＝5a1≠6a1，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起是以5為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列，所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,5×6n－2，n≥2.))
方法總結(jié)
(1)已知Sn求an，注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2時(shí)的表達(dá)式合并．
(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
考向二 由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
方法(一) 累加法
[例1] (1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
[解析] (1)根據(jù)題意，an－a1＝(2n－1＋1)＋(2n－2＋1)＋…＋(2＋1)＝eq \f(2?1－2n－1?,1－2)＋n－1＝2n＋n－3.故an＝2n＋n－2.
(2)由an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，得an＋1－an＝lneq \f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－ln n．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n(n∈N*)；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2＋ln 1＝2成立．故an＝2＋ln n(n∈N*)．
[答案] (1)2n＋n－2 (2)2＋ln n
方法(二) 累乘法
[例2] 已知數(shù)列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
[解析] ∵eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋1,2n)，∴當(dāng)n≥2時(shí)，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n,2?n－1?)，an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \f(n,2?n－1?)·eq \f(n－1,2?n－2?)·…·eq \f(3,2?3－1?)·eq \f(2,2?2－1?)·1＝eq \f(n,2n－1)，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n＝1時(shí)也符合上式，∴an＝eq \f(n,2n－1).
[答案] eq \f(n,2n－1)
方法(三) 構(gòu)造法
[例3] (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝eq \f(1,3)an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N，n≥1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝______.
[解析] (1)∵an＝eq \f(1,3)an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n(n≥2)，
∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1·an－1＝1(n≥2)．又a1＝1,31·a1＝3，∴數(shù)列{3nan}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq \f(n＋2,3n).
(2)令an＋1＋C＝3(an＋C)，則an＋1＝3an＋2C，又an＋1＝3an＋1，∴C＝eq \f(1,2)，故an＋1＋eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))，而a1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，∴數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))是以公比為3，首項(xiàng)為eq \f(3,2)的等比數(shù)列，則an＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)·3n－1，∴an＝eq \f(1,2)·(3n－1)．
[答案] (1)eq \f(n＋2,3n) (2)eq \f(1,2)·(3n－1)
方法技巧
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng)．
(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq \f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng)．
(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵．
(4)形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．
考向三 數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用

角度1 數(shù)列的周期性
[例1] (2023·廣州四校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq \f(1,1－an)(n∈N*)，則a2 023等于( )
A．－2 B．－1 C．2 D.eq \f(1,2)
[解析] ∵數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq \f(1,1－an)(n∈N*)，∴a2＝eq \f(1,1－2)＝－1，a3＝eq \f(1,1－?－1?)＝eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,1－\f(1,2))＝2，…，可知此數(shù)列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，則a2 023＝a1＝2.
[答案] C
角度2 數(shù)列的單調(diào)性
[例2] (2023·樂山市教育科學(xué)研究所模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)a＋\f(17,4)))n＋\f(17,2)，n≤2，,an，n>2，))若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1.5，＋∞) B．(1.8，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(2.25，＋∞)
[解析] 因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，由n>2時(shí)，an＝an可得，a>1，所以當(dāng)n≤2時(shí)，a1a2，所以a3>4a－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)a＋\f(17,2)))＋eq \f(17,2)，解得a>eq \f(3,2)或a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞)．
[答案] C
角度3 數(shù)列的最值
[例3] 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n＋4)eq \f(2,3)n，若數(shù)列最大項(xiàng)為ak，則k＝________.
[解析] 由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak＋1，,ak≥ak－1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k?k＋4?\f(2,3)k≥?k＋1??k＋5?\f(2,3)k＋1，,k?k＋4?\f(2,3)k≥?k－1??k＋3?\f(2,3)k－1，))
化簡得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2≥10，,k2－2k－9≤0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤－\r(10)或k≥\r(10)，,1－\r(10)≤k≤1＋\r(10)，))
即eq \r(10)≤k≤1＋eq \r(10).又k∈N*，∴k＝4.
[答案] 4
[方法技巧]
1．解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法
用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．
2．解決數(shù)列周期性問題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．
3．求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法
(1)函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．
(2)利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng)．
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知數(shù)列的前項(xiàng)依次為，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用各選項(xiàng)中的數(shù)列逐項(xiàng)檢驗(yàn)可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，，
故C正確.
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
2．已知數(shù)列，則6是這個(gè)數(shù)列的（ ）
A．第6項(xiàng)B．第12項(xiàng)C．第18項(xiàng)D．第36項(xiàng)
【答案】C
【分析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
令解得，
故選:C.
3．若表示正整數(shù)n的個(gè)位數(shù)字，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．0C．1009D．1011
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可判斷數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為10，即可求解.
【詳解】由題意得，，，，，，，，，，，……
所以數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為10．
因?yàn)椋裕?br>故選：C.
4．已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入可得的值.
【詳解】由，得，
則有.
故選：B.
【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，知識(shí)點(diǎn)較為簡單.
5．?dāng)?shù)列中，且滿足，則的值為( )
A．bB．b－aC．－bD．－a
【答案】D
【分析】求出數(shù)列的周期，從而得到的值.
【詳解】，
因?yàn)椋?br>所以，
，
，
，
，
所以是以6為周期的數(shù)列，
.
故選：D
6．設(shè)數(shù)列滿足，，記前項(xiàng)之積為，則（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】D
【分析】先根據(jù)推出周期為3，再計(jì)算出，然后利用周期可得，代入計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由得，
所以，
所以，
所以數(shù)列是周期為3周期數(shù)列，
因?yàn)?，所以，?br>所以，
又，
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的周期性，利用周期將問題轉(zhuǎn)化為的值進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.
二、多選題
7．(多選題)古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由已知條件，得出三角形數(shù)前面是1，3，6，10，相鄰兩數(shù)后一個(gè)與前一個(gè)的差增加1，利用此規(guī)律，即可找出結(jié)果.
【詳解】這些三角形數(shù)的規(guī)律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，
且正方形數(shù)是這串?dāng)?shù)中相鄰兩數(shù)之和，容易得到：，，，，只有BD是對(duì)的．
故選：BD.
8．斐波那刻螺旋線被骨為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵，鸚鵡螺等.如圖，小正方形的邊長分別為斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，，從內(nèi)到外依次連接通過小正方形的圓弧，就得到了一條被稱為“斐波那契螺旋”的弧線，現(xiàn)將每一段“斐波那契螺旋”弧線所在的正方形邊長設(shè)為，數(shù)列滿足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧線與其所在的正方形圍成的扇形面積設(shè)為，則下列說法正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由題意可得的前9項(xiàng)分別為，根據(jù)運(yùn)算即可判斷AB,根據(jù)，利用平方差公式以及即可判斷選項(xiàng)C,代入計(jì)算即可判斷D.
【詳解】根據(jù)，，得數(shù)列的前9項(xiàng)分別為，
所以，，故A正確，B錯(cuò)誤，
由題意可得，即，
所以，故C正確，
，，
所以，故D錯(cuò)誤，
故選：AC.
三、填空題
9．在數(shù)列中，第項(xiàng)是________．
【答案】
【分析】直接代入的值即可求解.
【詳解】令，則.
故答案為：
10．已知數(shù)列滿足，（），則______．
【答案】
【分析】把已知數(shù)列遞推式裂項(xiàng)變形，然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】由，得，∵，
∴
∴．
故答案為:．
11．函數(shù)由下表定義：
若，，，2，3，…，則______．
【答案】1
【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)可得數(shù)列的周期可得答案.
【詳解】由題意，知，，，，，
則數(shù)列的周期為4，所以．
故答案為：1.
12．已知數(shù)列滿足，且其前n項(xiàng)和滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式______．（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先分析題干的兩個(gè)條件，寫出符合題意的一個(gè)數(shù)列即可.
【詳解】根據(jù)可知，，又，故數(shù)列為第二項(xiàng)起為負(fù)的遞增數(shù)列，通項(xiàng)公式可以為.
故答案為：
四、解答題
13．已知數(shù)列中，，，求.
【答案】， .
【分析】根據(jù)題意和遞推公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】由且，
知當(dāng)時(shí)，，∴，
∴.
當(dāng)時(shí)，，∴，
∴.
14．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5項(xiàng)．
【答案】a1＝1，a2＝3，a3＝10，a4＝33，a5＝109.
【分析】由遞推關(guān)系依次即求.
【詳解】由－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝，
又∵a1＝1，a2＝3，
∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109.
∴數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為1，3，10，33，109.
15．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】可得，進(jìn)而得，再討論是否滿足，分段表示即得解
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由已知，可得，
當(dāng)時(shí)，①
因?yàn)椋?br>所以②—①得，
所以．
顯然當(dāng)時(shí)不滿足上式，
所以
16．在數(shù)列中，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為數(shù)列中的最小項(xiàng)，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)已知數(shù)列的遞推公式，用累加法求通項(xiàng)即可;
(2)由(1)可得，則，化簡得到對(duì)任意恒成立，分類分別求出當(dāng)時(shí)的取值范圍，再證明出時(shí)為遞增數(shù)列，即，綜合求出的取值范圍.
【詳解】解：(1)，
，
，
……
，
上式累加可得:，
，
又，∴;
(2)由(1)可得，
∴，
因?yàn)闉閿?shù)列中的最小項(xiàng)，
所以，
即，
當(dāng)時(shí)，得，∴;
當(dāng)時(shí)，;
當(dāng)時(shí)，得，∴，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，，
∴，
又可驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，也成立，
∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，
∴，即.
綜上所述，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】①已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式有多種方法，答題時(shí)要仔細(xì)區(qū)分，且最后一定要注意檢驗(yàn);
②數(shù)列本質(zhì)上是函數(shù)，因此具有一些函數(shù)的性質(zhì)，解決某些數(shù)列問題時(shí)可以用上函數(shù)的相關(guān)方法.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．?dāng)?shù)列、、、的下一項(xiàng)應(yīng)該是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】觀察數(shù)列的項(xiàng)之間的變化規(guī)律，即可求得答案.
【詳解】觀察數(shù)列、、、的項(xiàng)之間的規(guī)律，
可得根號(hào)下的數(shù)依次增加4，故數(shù)列、、、的下一項(xiàng)應(yīng)該是，
故選：C
2．?dāng)?shù)列中，，則等于（ ）
A．900B．9902C．9904D．10100
【答案】B
【分析】利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)椋?，所?br>所以
故選：B
3．?已知中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】觀察式子可變形為：，再用疊乘法即可求解
【詳解】由nan+1=（n+1）an，可得：，
?又∵a1=1，∴?==n．
∴an=n，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查疊乘法求數(shù)列通向，屬于基礎(chǔ)題
4．若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)奇偶數(shù)對(duì)n討論，再分離參數(shù)a，轉(zhuǎn)化函數(shù)最值問題即得解.
【詳解】（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，即轉(zhuǎn)化為恒成立，
而數(shù)列是遞增數(shù)列，故時(shí)，，故；
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，恒成立，即，轉(zhuǎn)化為恒成立，
而數(shù)列是遞增數(shù)列，n為奇數(shù)時(shí)，，故；
綜上可得a的范圍為.
故選：B.
5．已知滿足，且，則的最小值為
A．B．C．D．10
【答案】C
【詳解】滿足，即，
∴
.
則，
令,則,
在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.
.
∴n=6時(shí),f(x)取得最小值,因此的最小值為.
故選C.
6．已知數(shù)列中，，且，若存在正整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得；分別在和時(shí)解不等式得到和，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可知，，，從而得到所求范圍.
【詳解】由題意得：
即：
①當(dāng)時(shí)，
則由得：
此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，
則由得：
此時(shí)；
綜上所述：
本題正確選項(xiàng)：
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列性質(zhì)與不等式能成立問題的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過遞推關(guān)系式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性特點(diǎn)可得到不等式的解集，從而確定解集上下限的最值，進(jìn)而得到結(jié)果.
二、多選題
7．“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”．例如：取第一項(xiàng)為，將其外觀描述為“個(gè)”，則第二項(xiàng)為；將描述為“個(gè)”，則第三項(xiàng)為；將描述為“個(gè)，個(gè)”，則第四項(xiàng)為；將描述為“個(gè)，個(gè)，個(gè)”，則第五項(xiàng)為，…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng)．對(duì)于外觀數(shù)列，下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則的最后一個(gè)數(shù)字為6D．若，則中沒有數(shù)字
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題干中的遞推規(guī)律，依次分析各項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，即“個(gè)”，，即“個(gè)，個(gè)”，，即“個(gè)，個(gè)”，故，故A項(xiàng)錯(cuò)；
對(duì)于B項(xiàng)，，即“2個(gè)2”， ，即“2個(gè)2”，以此類推，該數(shù)列的各項(xiàng)均為22，則，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，，即“1個(gè)6”， ，即“1個(gè)1，1個(gè)6”， ，即“3個(gè)1，1個(gè)6”，故，即“1個(gè)3，2個(gè)1，1個(gè)6”，以此類推可知，的最后一個(gè)數(shù)字均為6，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，，則，，，，
若數(shù)列中，中為第一次出現(xiàn)數(shù)字，則中必出現(xiàn)了個(gè)連續(xù)的相同數(shù)字，
如，則在的描述中必包含“個(gè)，個(gè)”，
即，顯然的描述是不合乎要求的，
若或，同理可知均不合乎題意，
故不包含數(shù)字，故D項(xiàng)正確.
故選：BCD.
8．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意，分別求得，得到數(shù)列構(gòu)成以為周期的周期數(shù)列，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意，數(shù)列滿足，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，
歸納可得數(shù)列構(gòu)成以為周期的周期數(shù)列，所以，A正確，B不正確；
又由，所以C不正確；
因?yàn)?，所以，所以D正確.
故選：AD.
三、填空題
9．在數(shù)列中，，，，則______．
【答案】/
【分析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算可得.
【詳解】解：因?yàn)?，，?br>所以，，；
故答案為：
10．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【分析】先寫出,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為，從而可求2，0，2，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式.
【詳解】解：,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為，
故2，0，2，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
故答案為:.
11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和，，則正整數(shù)的最大值為_________.
【答案】3
【分析】運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得an，Sn，再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，以及數(shù)列的單調(diào)性，解不等式可得所求最大值．
【詳解】Sn＝2﹣1，可得＝S1＝2﹣1，解得＝1；
n≥2時(shí)，＝Sn﹣Sn﹣1＝2﹣1﹣2 +1，
則＝2，可得為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
可得＝2n﹣1，Sn＝2n﹣1，
Sn1＝2n﹣1+（）n﹣1+1＝2n+（）n﹣1，
Tn＝（2+4+…+2n）+（1（）n﹣1）
2n+1﹣（）n﹣1，
可得Tn是一個(gè)增函數(shù)（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），隨著n的增大而增大，T3，
由，可得n≤3，即n的最大值為3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的分組求和，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．
12．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和______．
【答案】
【分析】先根據(jù)，并利用累加法求得，再根據(jù)求得，最后根據(jù)的特點(diǎn)利用等差、等比數(shù)列的求和公式求即可．
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以當(dāng)時(shí)，，又也滿足上式，所以，
所以，所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，解題方法如下：方法技巧一般地，遞推公式形如（其中可求）的數(shù)列的通項(xiàng)公式往往可以運(yùn)用累加法求解，如本題中求的過程；遞推公式形如（其中可求）的數(shù)列的通項(xiàng)公式往往可以運(yùn)用累乘法求解．
四、解答題
13．已知.若是常數(shù)數(shù)列，求的值.
【答案】0或1.
【分析】由是常數(shù)數(shù)列，得出，解方程即可得到結(jié)果.
【詳解】∵是常數(shù)數(shù)列，
∴，∴或，
∴或1.
14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－21n＋20.
（1）n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；
（2）數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)，若沒有說明理由．
【答案】（1）n＝10或n＝11時(shí)，其最小值為－90；（2）沒有最大項(xiàng)，詳見解析.
【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得；
（2）利用通項(xiàng)公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>可知對(duì)稱軸方程為，
又因n∈N＋，故n＝10或n＝11時(shí)，an有最小值，其最小值為102－21×10＋20＝－90.
（2）由（1）知，對(duì)于數(shù)列{an}有：，
故數(shù)列{an}沒有最大項(xiàng).
15．已知函數(shù)，.
（1）求證：對(duì)任意，.
（2）試判斷數(shù)列是否是遞增數(shù)列，或是遞減數(shù)列？
【答案】（1）證明見解析；（2）是遞增數(shù)列.
【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，分離常數(shù)證得結(jié)果；
（2）利用隨的增大，式子的變化趨勢，得到其為遞增數(shù)量.
【詳解】（1），
（2）∵，
當(dāng)變大時(shí)，變大，變小，變大，
∴是遞增數(shù)列.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)數(shù)量的通項(xiàng)公式，判斷項(xiàng)的范圍和數(shù)列的單調(diào)性，屬于簡單題目.
16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由得到，兩式相減，然后再利用累積法求解.
（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消法求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
整理得．
故．
當(dāng)時(shí)，滿足上式，故．
（2），
，
．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法
(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；
(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．
(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．
(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．
(5)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.
(6)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
概念
含義
數(shù)列
按照 排列的一列數(shù)
數(shù)列的項(xiàng)
數(shù)列中的 數(shù)
數(shù)列的通項(xiàng)
數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an
通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
前n項(xiàng)和
把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝
列表法
列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系
圖象法
把點(diǎn) 畫在平面直角坐標(biāo)系中
公式法
通項(xiàng)公式
把數(shù)列的通項(xiàng)使用an＝f(n)表示的方法
遞推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法
分類標(biāo)準(zhǔn)
名稱
含義
按項(xiàng)的個(gè)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù) 的數(shù)列
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù) 的數(shù)列
按項(xiàng)的變化趨勢
遞增數(shù)列
從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都 它的前一項(xiàng)的數(shù)列?anan＋1
常數(shù)列
的數(shù)列?an＝an＋1
擺動(dòng)數(shù)列
從第 項(xiàng)起，有些項(xiàng) 它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng) 它的前一項(xiàng)的數(shù)列
x
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概念
含義
數(shù)列
按照確定的順序排列的一列數(shù)
數(shù)列的項(xiàng)
數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)
數(shù)列的通項(xiàng)
數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an
通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
前n項(xiàng)和
把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
列表法
列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系
圖象法
把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中
公式法
通項(xiàng)公式
把數(shù)列的通項(xiàng)使用an＝f(n)表示的方法
遞推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法
分類標(biāo)準(zhǔn)
名稱
含義
按項(xiàng)的個(gè)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列
按項(xiàng)的變化趨勢
遞增數(shù)列
從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列?anan＋1
常數(shù)列
各項(xiàng)都相等的數(shù)列?an＝an＋1
擺動(dòng)數(shù)列
從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
x
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