(1)集合A,B及其對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A→B構(gòu)成的函數(shù)中,函數(shù)的值域C不是集合B,而是C?B.
(2)兩個(gè)函數(shù)的值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但兩個(gè)函數(shù)不一定相同,例如,函數(shù)f(x)=2x2,x∈[0,2]與函數(shù)f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有 、 和 .
3.分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi),對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù).
分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù),分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
與x軸垂直的直線與一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn).
典型例題分析
考向一 函數(shù)的定義域
典例一
1.函數(shù)f(x)=3xx-1+ln(2x-x2)的定義域?yàn)? B )
A.(2,+∞)B.(1,2)
C.(0,2)D.[1,2]
2.已知函數(shù)f(x)=33x-1ax2+ax-3的定義域是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( B )
A.(-12,0)B.(-12,0]
C.(13,+∞)D.(-∞,13]
3.已知函數(shù)f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0,則f(x)的定義域?yàn)? .
解題分析與總結(jié)
(1)若函數(shù)的解析式是由多個(gè)基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成,則函數(shù)的定義域是使構(gòu)成解析式的各部分都有意義的集合的交集.
(2)求抽象函數(shù)的定義域
①若y=f(x)的定義域?yàn)?a,b),則解不等式a1的x的取值范圍是 .
解題分析與總結(jié)
求解與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題,應(yīng)在定義域的限制之下,結(jié)合函數(shù)解析式分別解不等式,最后取各不等式的并集.
微考點(diǎn)4 分段函數(shù)的值域
設(shè)函數(shù)f(x)=1x,x>0,ex,x=0,若F(x)=f(x)+x,x∈R,則F(x)的值域?yàn)? )
A.(-∞,1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解題分析與總結(jié)
分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．下列各組函數(shù)中，是相等函數(shù)的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
2．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A．與B．與
C．，D．，
3．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
4．函數(shù)的值域?yàn)椋? ）．
A．B．C．D．
5．若函數(shù)在上的最大值為4，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．下列各函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與(且)
二、多選題
7．若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)，與函數(shù)，就是“同族函數(shù)”.下列可用來構(gòu)造同族函數(shù)的有（ ）
A．B．
C．D．
8．下列函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
三、填空題
9．已知為一個(gè)確定的區(qū)間，則a的取值范圍是________.
10．值域：與的值____的的值的集合.
11．表示不超過的最大整數(shù)，如，，，若，則的值域?yàn)開__________.
12．函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_______.
四、解答題
13．設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)求.
14．（1）已知函數(shù)，求的解析式；
（2）已知為二次函數(shù)，且，，求的解析式.
15．已知函數(shù).
（1）求，的值；
（2）求證是定值；
（3）求：的值.
16．已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知，則的值為（ ）
A．4B．C．16D．
2．函數(shù)的最大值是
A．-1B．1C．-2D．2
3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系下中的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
4．定義：若函數(shù)的圖象經(jīng)過變換后所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)與的值域相同，則稱變換是的同值變換，下面給出了四個(gè)函數(shù)與對(duì)應(yīng)的變換：
①將函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
②將函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
③將函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
④將函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
其中是的同值變換的有（ ）
A．①②B．①③④C．①④②D．①③
5．定義區(qū)間，，，的長(zhǎng)度均為，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，記，設(shè)，，若用表示不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度，則當(dāng)時(shí)有（ ）
A．B．C．D．
6．函數(shù)=，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．（－，1）B．（－，1]
C．（0，1）D．[0，+）
二、多選題
7．具有性質(zhì)：的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則的值可以是（ ）．
A．B．1C．D．2
三、填空題
9．設(shè)函數(shù)，則__________．
10．函數(shù)在區(qū)間上的值域是______.
11．定義，若，則使不等式成立的的取值范圍是____
12．函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
四、解答題
13．若函數(shù).
（1）求、；
（2）求函數(shù)的定義域.
14．給定函數(shù)，，.
(1)在所給坐標(biāo)系（1）中畫出函數(shù)，的大致圖象；（不需列表，直接畫出.）
(2)，用表示，中的較小者，記為，請(qǐng)分別用解析法和圖象法表示函數(shù).（的圖象畫在坐標(biāo)系（2）中）
(3)直接寫出函數(shù)的值域.
15．已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合?
(1)求集合和；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16．設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，．
（）求的值，試證明是偶函數(shù)．
（）證明在上單調(diào)遞減．
（）若，，求的取值范圍．
2.1 函數(shù)及其表示
思維導(dǎo)圖
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
(1)集合A,B及其對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A→B構(gòu)成的函數(shù)中,函數(shù)的值域C不是集合B,而是C?B.
(2)兩個(gè)函數(shù)的值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但兩個(gè)函數(shù)不一定相同,例如,函數(shù)f(x)=2x2,x∈[0,2]與函數(shù)f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、列表法和圖象法.
3.分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi),對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù).
分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù),分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
與x軸垂直的直線與一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn).
典型例題分析
考向一 函數(shù)的定義域
典例一
1.函數(shù)f(x)=3xx-1+ln(2x-x2)的定義域?yàn)? B )
A.(2,+∞)B.(1,2)
C.(0,2)D.[1,2]
解析:要使函數(shù)有意義則x-1>0,2x-x2>0,解得11;
當(dāng)x≤0時(shí),f(x)+f(x-12)=x+1+(x-12)+1=2x+32,
所以f(x)+f(x-12)>1?2x+32>1?x>-14,即-140,ex,x=0,若F(x)=f(x)+x,x∈R,則F(x)的值域?yàn)? )
A.(-∞,1]
B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
解析:當(dāng)x>0時(shí),F(x)=1x+x≥21x·x=2,當(dāng)且僅當(dāng)1x=x,即x=1時(shí)取等號(hào);當(dāng)x≤0時(shí),F(x)=ex+x,根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性得F(x)是增函數(shù),F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域?yàn)?-∞,1]∪[2,+∞).故選C.
解題分析與總結(jié)
分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．下列各組函數(shù)中，是相等函數(shù)的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】D
【分析】依據(jù)各選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可.
【詳解】對(duì)于A，，對(duì)應(yīng)法則不一致，故兩個(gè)函數(shù)不是相等的函數(shù)，故A錯(cuò).
對(duì)于B，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致，
故它們不是相同的函數(shù)，故B錯(cuò).
對(duì)于C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?br>故兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，兩個(gè)函數(shù)的定義域均為，且，故D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)相等的判斷，一般依據(jù)函數(shù)三要素來判斷，本題屬于基礎(chǔ)題.
2．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A．與B．與
C．，D．，
【答案】B
【分析】由相同函數(shù)有相同定義域及相同解析式判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】相同函數(shù)有相同定義域及相同解析式.
對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：函數(shù)與函數(shù) 的定義域都是，
又，則兩函數(shù)解析式也相同，則為同一函數(shù)，故B正確.
對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤．
故選：B
3．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先研究四個(gè)選項(xiàng)中圖象的特征，再對(duì)照小明上學(xué)路上的運(yùn)動(dòng)特征，兩者對(duì)應(yīng)即可選出正確選項(xiàng).
【詳解】考查四個(gè)選項(xiàng)，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示的是離開學(xué)校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；
再由小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，故此時(shí)有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，
之后為了趕時(shí)間加快速度行駛，此一段時(shí)間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的度量與小明上學(xué)的運(yùn)動(dòng)特征，屬于基礎(chǔ)題.
4．函數(shù)的值域?yàn)椋? ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函數(shù)，可得，兩邊平方，即可求解．
【詳解】解：函數(shù)，可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，可知函數(shù)是遞增函數(shù)，可得
當(dāng)時(shí)，可得，
兩邊平方，
，
即；
，
可得：，
．得．
由，
．
可得：
綜上可得．
函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．
5．若函數(shù)在上的最大值為4，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】畫出分段函數(shù)的圖象，并計(jì)算得出，，觀察圖象可得結(jié)果.
【詳解】可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，且，，畫出函數(shù)圖象，
觀察圖象可知，要使在上的最大值為4，需滿足．
故選：C.
6．下列各函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與(且)
【答案】D
【解析】本題可依次判斷四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域是否相同，即可得出結(jié)果.
【詳解】A項(xiàng)：函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)椋珹錯(cuò)誤；
B項(xiàng)：函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)?，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)：函數(shù)值域?yàn)?，函?shù)值域?yàn)?，C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)：函數(shù)與函數(shù)(且)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，首先可以判斷函數(shù)的定義域是否相同，然后判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及值域是否相同即可，考查函數(shù)定義域和值域的求法，是中檔題.
二、多選題
7．若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)，與函數(shù)，就是“同族函數(shù)”.下列可用來構(gòu)造同族函數(shù)的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】函數(shù)與是偶函數(shù)可判斷出是同族函數(shù)，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，在的左右兩邊函數(shù)值相等，所以也可構(gòu)成同族函數(shù)，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以不能構(gòu)成同族函數(shù).
【詳解】函數(shù)與是偶函數(shù)，所以可構(gòu)造“同族函數(shù)”，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，所以不滿足“同族函數(shù)”，函數(shù)，與函數(shù)，的值域相同，所以是同族函數(shù).
故選：ACD.
8．下列函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】BD
【解析】判斷每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否都相同，都相同的為同一個(gè)函數(shù)，否則不是同一個(gè)函數(shù).
【詳解】A中的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；
B中，的定義域都是R，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，表示同一個(gè)函數(shù)；
C中的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；
D中定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)镽，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，表示同一個(gè)函數(shù).
故選：BD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷兩函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)的方法:看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否都相同，當(dāng)二者都相同時(shí)，函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)，否則不是同一個(gè)函數(shù).
三、填空題
9．已知為一個(gè)確定的區(qū)間，則a的取值范圍是________.
【答案】.
【解析】利用區(qū)間的定義：右端點(diǎn)大于左端點(diǎn)即可求解.
【詳解】解析由為一個(gè)確定的區(qū)間知，解得，
因此a的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查區(qū)間的定義，需掌握區(qū)間的定義，屬于基礎(chǔ)題.
10．值域：與的值____的的值的集合.
【答案】相對(duì)應(yīng)
【分析】值域的定義
【詳解】值域就是自變量經(jīng)過對(duì)應(yīng)法則計(jì)算之后所對(duì)應(yīng)的的值的集合
故答案為：相對(duì)應(yīng)
11．表示不超過的最大整數(shù)，如，，，若，則的值域?yàn)開__________.
【答案】
【解析】利用分離常數(shù)法可求得的值域，根據(jù)新定義運(yùn)算可化簡(jiǎn)為，從而利用的值域求得結(jié)果.
【詳解】由題意得：，
，，，
，，，，
，又，，即的值域?yàn)?
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域的求解問題，涉及到分離常數(shù)法求解函數(shù)值域、函數(shù)新定義運(yùn)算問題的求解等；解題關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確理解新定義運(yùn)算的含義，從而將所求函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn).
12．函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_______.
【答案】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求的定義域即可.
【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則函數(shù)中，所以，即的定義域?yàn)?
故答案為：.
四、解答題
13．設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)定義域的定義，即可求解；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，分別代入，即可求解的值.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?
（2）解：由，
所以.
14．（1）已知函數(shù)，求的解析式；
（2）已知為二次函數(shù)，且，，求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用換元法可求得函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，由可求得的值，即可的函數(shù)的解析式.
【詳解】（1）設(shè)，可得，則，
故；
（2）因?yàn)椋稍O(shè)，
則，解得，因此，.
15．已知函數(shù).
（1）求，的值；
（2）求證是定值；
（3）求：的值.
【答案】（1）1；1；（2）1；（3）.
【分析】（1）由，將代入計(jì)算求解.
（2）由，將代入計(jì)算求解.
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，由原式的規(guī)律和的個(gè)數(shù)計(jì)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，；
（2）；
（3）由，
所以，
，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是論證的值.
16．已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的解析式，可計(jì)算出；
（2）分別求出函數(shù)在、、時(shí)的值域，取并集即可得出函數(shù)在區(qū)間上的值域.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，所以；
（2）①當(dāng)時(shí)，，所以；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是.
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)值的計(jì)算，同時(shí)也考查了分段函數(shù)值域的計(jì)算，解題時(shí)要對(duì)自變量的取值進(jìn)行分類討論，并選擇合適的解析式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知，則的值為（ ）
A．4B．C．16D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)解析,先求得的值,再代入即可求解.
【詳解】根據(jù)題意令
解得
所以
故選:C
【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)函數(shù)值的求法,屬于基礎(chǔ)題.
2．函數(shù)的最大值是
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】D
【解析】利用換元法,可設(shè),則,代回可得,由二次函數(shù)的性質(zhì)解得最值即可
【詳解】設(shè),則,
所以,
則當(dāng)時(shí),,
故選:D
【點(diǎn)睛】本題考查換元法求函數(shù)最值,使用換元法時(shí)要注意新元的取值范圍
3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系下中的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由拋物線開口向下，可得，可排除A，C，根據(jù)拋物線過點(diǎn)得，可知過原點(diǎn)可排除B，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向下，所以，
所以的圖象必在二四象限，可排除選項(xiàng)A，C
因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，所以，
所以即過點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確，選項(xiàng)D正確；
故選：D.
4．定義：若函數(shù)的圖象經(jīng)過變換后所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)與的值域相同，則稱變換是的同值變換，下面給出了四個(gè)函數(shù)與對(duì)應(yīng)的變換：
①將函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
②將函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
③將函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
④將函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
其中是的同值變換的有（ ）
A．①②B．①③④C．①④②D．①③
【答案】B
【解析】根據(jù)同值變換的定義，先求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，求出相應(yīng)的值域，結(jié)合值域關(guān)系進(jìn)行判斷即可.
【詳解】解：①的值域?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱得到的值域?yàn)椋涤蛳嗤峭底儞Q.
②，值域?yàn)椋瑢⒑瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱得到，即，兩個(gè)函數(shù)的值域不相同，不是同值變換.
③，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)值域?yàn)椋瑢⒑瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后函數(shù)是自身，滿足值域相同，是同值變換
④的值域?yàn)椋瑒t的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后的值域仍然為，則兩個(gè)函數(shù)的值域相同，是同值變換.
故是的同值變換的有①③④，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象變換以及函數(shù)值域的求解判斷，結(jié)合新定義求出函數(shù)的解析式以及值域是解決本題的關(guān)鍵.
5．定義區(qū)間，，，的長(zhǎng)度均為，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，記，設(shè)，，若用表示不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度，則當(dāng)時(shí)有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)，再分類討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，最后根據(jù)討論的結(jié)果求出區(qū)間長(zhǎng)度即可.
【詳解】，
由得，即，
當(dāng)時(shí)，，不等式為，即，則為；
當(dāng)時(shí)，，不等式為，則為；
當(dāng)時(shí)，，不等式為，則為，
此時(shí)區(qū)間的長(zhǎng)度為.
故選：.
6．函數(shù)=，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．（－，1）B．（－，1]
C．（0，1）D．[0，+）
【答案】A
【解析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)，畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)和的圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，來求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，，故.以此類推，當(dāng)時(shí)，.由此畫出函數(shù)和的圖像如下圖所示，由圖可知的取值范圍是時(shí)，和的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).即方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故本小題選A.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)解析式的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.
二、多選題
7．具有性質(zhì)：的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)“倒負(fù)”變換的函數(shù)的定義依次判斷即可得答案.
【詳解】解：對(duì)于A，，，滿足題意；
對(duì)于B，，則，不滿足；
對(duì)于C，，，不滿足；
對(duì)于D， ，即，則滿足“倒負(fù)”變換.
故選：AD.
8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則的值可以是（ ）．
A．B．1C．D．2
【答案】CD
【分析】根據(jù)得，進(jìn)一步求出其他區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合圖形和不等式即可求解.
【詳解】由得，則.
當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，所以.
當(dāng)時(shí)，，其最大值為1，同理當(dāng)時(shí)，,依此類推，可知當(dāng)時(shí)，恒成立.
又時(shí)，，當(dāng)時(shí)，得或，
結(jié)合圖象，知.
所以恒成立時(shí)，故選項(xiàng)C，D正確.
故選：CD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是通過迭代求函數(shù)的最值，然后再結(jié)合圖形解不等式.
三、填空題
9．設(shè)函數(shù)，則__________．
【答案】-2
【分析】直接代入解析式求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且
所以，故答案為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.
10．函數(shù)在區(qū)間上的值域是______.
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域即可．
【詳解】在區(qū)間單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，
故值域?yàn)?br>故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，考查求函數(shù)的值域問題，是一道基礎(chǔ)題．
11．定義，若，則使不等式成立的的取值范圍是____
【答案】
【分析】首先利用題中所給函數(shù)的條件，確定出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，從圖象中判斷出自變量離1越近，函數(shù)值越大，得到等價(jià)的不等式，求解即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
畫出函數(shù)圖象如圖所示：
不等式等價(jià)于如下不等式：，
即，解得或，
所以不等式的解集為，
即答案是：.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用函數(shù)值的大小確定自變量大小的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有新函數(shù)的定義，在解題的過程中，注意應(yīng)用函數(shù)的圖象，解決利用函數(shù)值的大小得自變量大小的問題，屬于簡(jiǎn)單題目.
12．函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】由題意可得恒成立，分和兩種情況分別考慮，解不等式即可得到所求范圍．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?R，所以的解為R，
即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，故成立；
（2）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則，解得.
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域問題，注意運(yùn)用分母不為，以及二次不等式恒成立問題解法，屬于中檔題．
四、解答題
13．若函數(shù).
（1）求、；
（2）求函數(shù)的定義域.
【答案】（1）,；（2）.
【解析】（1）利用函數(shù)的解析式可求得、的值；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，進(jìn)而可求得函數(shù)的定義域.
【詳解】（1），，；
（2）對(duì)于函數(shù)，則有，解得且.
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，同時(shí)也考查了函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
14．給定函數(shù)，，.
(1)在所給坐標(biāo)系（1）中畫出函數(shù)，的大致圖象；（不需列表，直接畫出.）
(2)，用表示，中的較小者，記為，請(qǐng)分別用解析法和圖象法表示函數(shù).（的圖象畫在坐標(biāo)系（2）中）
(3)直接寫出函數(shù)的值域.
【答案】(1)圖象見解析.
(2)，圖象見解析.
(3).
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，在坐標(biāo)系中分別描出5個(gè)點(diǎn)，再將各點(diǎn)連接起來，即可得，的大致圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義，結(jié)合（1）所得圖象寫出解析式，進(jìn)而畫出的圖象.
（3）由（2）所得圖象直接寫出的值域.
【詳解】（1）
∴函數(shù)，的大致圖象如下圖示：
（2）由，可得或，結(jié)合（1）的圖象知：
，則的圖象如下：
（3）由（2）所得圖象知：的值域?yàn)?
15．已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合?
(1)求集合和；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，或
(2)或.
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域 ，結(jié)合集合 ，進(jìn)而結(jié)合集合交集，并集，補(bǔ)集的定義，可得答案．
（2）若 ，則 ，分 和 ，兩種情況討論滿足條件的實(shí)數(shù)的取值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．
（1）
由，得：，∴，
或 或，
（2）
由已知得：，
①若，則，∴，符合題意；
②若，則，解得：
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
16．設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，．
（）求的值，試證明是偶函數(shù)．
（）證明在上單調(diào)遞減．
（）若，，求的取值范圍．
【答案】(1) ；證明見解析.
(2) 證明見解析.
(3) .
【詳解】分析：（1）先求得，再求得，令，則，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，，，，∵，則，即，從而可得結(jié)果；(3)求得，
可得，化為，從而可得結(jié)果.
詳解：（）∵
令得
∴．
令，，，，
令，則．
即是定義在上的偶函數(shù)．
（）∵，
∴，
設(shè)，，，
，
∵，
則，
即，
即在上單調(diào)遞減．
（）∵，
∴，
∴，
∵為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
∴，
綜上，的取值范圍為．
點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題. 利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任?。唬?）作差；（3）判斷的符號(hào)（往往先分解因式，再判斷各因式的符號(hào)）， 可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)， 可得在已知區(qū)間上是減函數(shù).
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