知識點總結(jié)
知識點一 一次函數(shù)模型
形如 的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中 .
知識點二 二次函數(shù)模型
1．一般式： ．
2．頂點式： ．
3．兩點式： ．
知識點三 冪函數(shù)模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)．
2．單調(diào)性：其增長情況由xα中的α的取值而定．
知識點四 幾類已知函數(shù)模型
知識點五 應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程
1．審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；
2．建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
3．求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；
4．還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題．
典型例題分析
考向一 一次函數(shù)模型的應(yīng)用實例
例1 某報刊亭從報社買進報紙的價格是每份0.24元，賣出的價格是每份0.40元，賣不掉的報紙可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的報紙份數(shù)必須相同，試問報刊亭攤主應(yīng)該每天從報社買進多少份報紙，才能使每月所獲利潤最大．
反思感悟 一次函數(shù)模型的特點和求解方法
(1)一次函數(shù)模型的突出特點是其圖象是一條直線．
(2)解一次函數(shù)模型時，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，主要步驟是：設(shè)元、列式、求解．
考向二 二次函數(shù)模型的應(yīng)用實例
例2 牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際蓄養(yǎng)量不能達到最大蓄養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e率．已知羊群的年增長量y只和實際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(空閑率指空閑量與最大蓄養(yǎng)量的比值)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；
(2)求羊群年增長量的最大值；
(3)當(dāng)羊群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．
反思感悟 利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點
(1)方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．
(2)注意：取得最值的自變量與實際意義是否相符．
考向三 冪函數(shù)與分段函數(shù)模型
例3 (1)某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為y＝xα(α為常數(shù))，其中x不超過5萬元，已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預(yù)計今年藥品利潤為________萬元．
(2)手機上網(wǎng)每月使用量在500分鐘以下(包括500分鐘)、60分鐘以上(不包括60分鐘)按30元計費，超過500分鐘的部分按0.15元/分鐘計費，假如上網(wǎng)時間過短，使用量在1分鐘以下不計費，在1分鐘以上(包括1分鐘)按0.5元/分鐘計費，手機上網(wǎng)不收通話費和漫游費．
①12月份小王手機上網(wǎng)使用量20小時，要付多少錢？
②小舟10月份付了90元的手機上網(wǎng)費，那么他上網(wǎng)時間是多少？
③電腦上網(wǎng)費包月60元/月，根據(jù)時間長短，你會選擇哪種方式上網(wǎng)呢？
反思感悟 (1)處理冪函數(shù)模型的步驟
①閱讀理解、認真審題．
②用數(shù)學(xué)符號表示相關(guān)量，列出函數(shù)解析式．
③根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)運算，求得結(jié)果．
④轉(zhuǎn)化成具體問題，給出解答．
(2)應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點
①分段函數(shù)的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．
③分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．
考向四 指數(shù)型函數(shù)模型
例4 目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)計算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；
(3)計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬(精確到1年)．
反思感悟 在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．
考向五 對數(shù)型函數(shù)模型
例5 我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5lg2eq \f(O,10)，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)計算，當(dāng)燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？
(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？
反思感悟 有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入關(guān)系式求值，然后根據(jù)值回答其實際意義．
考向六 建立擬合函數(shù)模型解決實際問題
例3 某紀(jì)念章從2019年1月6日起開始上市．通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)結(jié)合散點圖，從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝algbx；
(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格．
反思感悟 建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個原則
(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．
(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結(jié)論．
(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．函數(shù)的零點是（ ）
A．2B．C．D．
2．函數(shù)的一個零點為，則它的另一個零點是（ ）
A．B．1C．D．2
3．函數(shù)在下列區(qū)間內(nèi)一定有零點的是
A．B．C．D．
4．方程的實數(shù)解的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如果關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．用二分法找函數(shù)在區(qū)間上的零點近似值，取區(qū)間中點，則下一個存在零點的區(qū)間為（ ）．
A．B．C．D．
8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到，則方程的根落在區(qū)間（ ）
A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能確定
9．設(shè)是函數(shù)的零點，若，則的值滿足（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
10．據(jù)統(tǒng)計，第x年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y（只）近似滿足.觀測發(fā)現(xiàn)第1年有越冬白鶴3000只，估計第7年有越冬白鶴（ ）
A．4000只B．5000只 C．6000只 D．7000只
11．某廠印刷某圖書總成本y（元）與圖書日印量x（本）的函數(shù)解析式為y=5x+3000，而圖書出廠價格為每本10元，則該廠為了不虧本，日印圖書至少為（ ）
A．200本B．400本C．600本D．800本
12．某商場出售一種商品，每天可賣1 000件，每件可獲利4元．據(jù)經(jīng)驗，若這種商品每件每降價0.1元，則比降價前每天可多賣出100件，為獲得最好的經(jīng)濟效益，每件售價應(yīng)降低的價格為( )
A．2元B．2.5元
C．1元D．1.5元
二、解答題
13．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園，已知院墻長為25米，籬笆長50米（籬笆全部用完），設(shè)籬笆的一面的長為米．
(1)當(dāng)?shù)拈L為多少米時，矩形花園的面積為300平方米？
(2)若圍成的矩形的面積為 S 平方米，當(dāng) x 為何值時， S 有最大值，最大值是多少？
14．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°（無水狀態(tài)不考慮）.
(1)試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數(shù)；
(2)當(dāng)水深為1.2m時，求橫斷面中水的面積.
15．某公司設(shè)計了某款新產(chǎn)品，為生產(chǎn)該產(chǎn)品需要引進新型設(shè)備.已知購買該新型設(shè)備需要3萬元，之后每生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，還需另外投入原料費及其他費用萬元，產(chǎn)量不同其費用也不同，且已知每件產(chǎn)品的售價為8元且生產(chǎn)的該產(chǎn)品可以全部賣出.
(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；
(2)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少萬件時，公司所獲年利潤最大？其最大利潤為多少萬元？
16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？
17．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，把每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）表示為養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù).當(dāng)時，v的值為2；當(dāng)時，v是關(guān)于x的一次函數(shù).當(dāng)x＝20時，因缺氧等原因，v的值為0.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的表達式；
(2)當(dāng)x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.
18．首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本 (元)與月處理量 (噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為 ，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？
19．為了加強“疫情防控”，某校決定在學(xué)校門口借助一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為4米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應(yīng)急室，由于此應(yīng)急室的后背靠墻，無需建造費用，公司甲給出的報價為：應(yīng)急室正面的報價為每平方米400元，左右兩側(cè)報價為每平方米300元，屋頂和地面報價共計9600元，設(shè)應(yīng)急室的左右兩側(cè)的長度均為x米（），公司甲的整體報價為y元．
(1)試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)現(xiàn)有公司乙也要參與此應(yīng)急室建造的競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若采用最低價中標(biāo)規(guī)則，哪家公司能競標(biāo)成功？請說明理由．
20．2016年4月16日00時25分日本九州發(fā)生7.3級地震．地震發(fā)生后，停水?dāng)嚯?，交通受阻．已知A地到B地的電話線路發(fā)生故障(假設(shè)線路只有一處發(fā)生故障)，這是一條10 km長的線路，每隔50 m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？
21．已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，證明a>0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有兩個實根．
22．已知函數(shù)在區(qū)間上有個零點.
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若，用二分法求方程在區(qū)間上的根.
23．某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸，若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
24．某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，總收益P（單位：元）與月產(chǎn)量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤）
（1）請將利潤y（單位：元）表示成關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？
25．牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養(yǎng)量不能達到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量,已知羊群的年增長量y（只）和實際畜養(yǎng)量x（只）與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為.
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）求羊群年增長量的最大值.
26．國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團人數(shù)在30人或30人以下，飛機票價格為900元；若旅行團人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，飛機票價格就減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75人為止.旅行團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.
(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；
(2)旅行團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？
27．下表表示的是某款車的車速與剎車距離的關(guān)系，試分別就，，三種函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并探討最佳模擬，根據(jù)最佳模擬求車速為120km/h時的剎車距離．
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y（元）與日產(chǎn)量x（套）之間的關(guān)系為y＝6x＋30 000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒（ ）
A．2 000套B．3 000套
C．4 000套D．5 000套
2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
A．B．
C．D．
3．某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷售中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量（件）與每件的售價（元）滿足一次函數(shù)：．若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價應(yīng)定為
A．30元B．42元C．54元D．越高越好
4．從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度（單位：）與小球運動時間（單位：）之間的關(guān)系式為，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是
A．B．C．D．
5．隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量與大氣壓強成正比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)時，，則與的函數(shù)關(guān)系式為
A．B．
C．D．
6．某地固定電話市話收費規(guī)定：前三分鐘元（不滿三分鐘按三分鐘計算），以后每加一分鐘增收元（不滿一分鐘按一分鐘計算），那么某人打市話用時550秒，應(yīng)支付電話費
A．元B．元C．元D．元
7．下面是一幅統(tǒng)計圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個數(shù)是（ ）
①這幾年生活水平逐年得到提高；
②生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2014年；
③生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年；
④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善．
A．1B．2
C．3D．4
8．若函數(shù)經(jīng)過點，則函數(shù)的零點是（ ）
A．0，2B．0，C．0，D．2，
9．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中增長速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
10．在某種新型材料的研制中，試驗人員獲得了下列一組試驗數(shù)據(jù).現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（ ）
A．y=2xB．y=lg2x
C．y=(x2-1)D．y=2.61x
11．函數(shù)在下列區(qū)間內(nèi)一定有零點的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)m不可能是（ ）
A．B．0C．1D．2
二、填空題
13．為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”．計費方法如表所示，若某戶居民某月交納水費60元，則該月用水量_______m3．
14．若成立，則的取值范圍是___________．
15．圖中折線是某電信局規(guī)定打長途電話所需要付的電話費（元）與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像，根據(jù)圖像判斷：通話，需付電話費______元；通話，需付電話費______元；如果，電話費（元）與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系式是_______．
16．把長為12cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形最小的面積之和是________．
17．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為_______．
18．函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)各有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.
19．函數(shù)零點的個數(shù)為___________.
20．已知函數(shù)f(x)＝有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_________．
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
反比例函數(shù)模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
指數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)
對數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)
冪函數(shù)型模型
f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
上市時間x天
4
10
36
市場價y元
90
51
90
車速/（km/h）
10
15
30
40
50
剎車距離/m
4
7
12
18
25
車速/（（km/h）
60
70
80
90
100
剎車距離/m
34
43
54
66
80
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
每戶每月用水量
水價
不超過12m3的部分
3元/m3
超過12m3但不超過18m3的部分
6元/m3
超過18m3的部分
9元/m3
2.7 函數(shù)模型及其應(yīng)用
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
知識點一 一次函數(shù)模型
形如y＝kx＋b的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中k≠0.
知識點二 二次函數(shù)模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)．
3．兩點式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
知識點三 冪函數(shù)模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)．
2．單調(diào)性：其增長情況由xα中的α的取值而定．
知識點四 幾類已知函數(shù)模型
知識點五 應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程
1．審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；
2．建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
3．求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；
4．還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題．
典型例題分析
考向一 一次函數(shù)模型的應(yīng)用實例
例1 某報刊亭從報社買進報紙的價格是每份0.24元，賣出的價格是每份0.40元，賣不掉的報紙可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的報紙份數(shù)必須相同，試問報刊亭攤主應(yīng)該每天從報社買進多少份報紙，才能使每月所獲利潤最大．
解 設(shè)每天從報社買進x份(250≤x≤400)報紙；
每月所獲利潤是y元，則每月售出報紙共(20x＋10×250)份；
每月退回報社報紙共10×(x－250)份．
依題意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化簡得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因為此一次函數(shù)(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一個單調(diào)增函數(shù)，再由250≤x≤400知，
當(dāng)x＝400時，y取得最大值，
此時y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以買進400份所獲利潤最大，獲利1 440元．
反思感悟 一次函數(shù)模型的特點和求解方法
(1)一次函數(shù)模型的突出特點是其圖象是一條直線．
(2)解一次函數(shù)模型時，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，主要步驟是：設(shè)元、列式、求解．
考向二 二次函數(shù)模型的應(yīng)用實例
例2 牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際蓄養(yǎng)量不能達到最大蓄養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e率．已知羊群的年增長量y只和實際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(空閑率指空閑量與最大蓄養(yǎng)量的比值)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；
(2)求羊群年增長量的最大值；
(3)當(dāng)羊群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．
解 (1)根據(jù)題意，由于最大蓄養(yǎng)量為m只，實際蓄養(yǎng)量為x只，
則蓄養(yǎng)率為eq \f(x,m)，故空閑率為1－eq \f(x,m)，
由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))(0c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，則a>0.
在區(qū)間[0,1]內(nèi)選取二等分點，
則f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a0，f(1)>0，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間和上各有一個零點．
又f(x)最多有兩個零點，從而f(x)＝0在[0,1]內(nèi)有兩個實根．
22．已知函數(shù)在區(qū)間上有個零點.
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若，用二分法求方程在區(qū)間上的根.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）分別討論與的情況,利用零點存在性定理求解即可；
（2）當(dāng)時,,由可得函數(shù)的零點在區(qū)間上,進而求得,即可求得方程的根
【詳解】（1）若,則,與題意不符,∴,
若,則由題意可知,,則在上是單調(diào)函數(shù),故,
解得,
故的取值范圍為
（2）若,
則,
,,,
∴函數(shù)的零點在區(qū)間上,又,
∴方程在區(qū)間上的根為
【點睛】考查已知零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍,考查利用二分法求方程的根,考查運算能力
23．某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸，若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤，最大利潤是1660萬元.
【分析】利用收入減去總成本表示出年利潤，通過配方求出二次函數(shù)的對稱軸，因開口向下，對稱軸處取得最大值.
【詳解】解:設(shè)可獲得的總利潤為萬元，則
∵在上是增函數(shù)，
∴當(dāng)時，.
∴年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤，最大利潤是1660萬元.
【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值，可配方求最值，注意自變量的取值范圍.
24．某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，總收益P（單位：元）與月產(chǎn)量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤）
（1）請將利潤y（單位：元）表示成關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）；（2）月產(chǎn)量為300件時，最大利潤為25000元
【解析】（1）由題意可知總成本是，根據(jù)利潤=總收益-總成本，列分段函數(shù)；
（2）由（1）的分段函數(shù)，分別求每段函數(shù)的最大值，比較最大值就是最大利潤.
【詳解】（1）依題意，總成本是元，
所以，即
（2）由（1）知，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故當(dāng)月產(chǎn)量為300件時，利潤最大，最大利潤為25000元.
綜上可知當(dāng)月產(chǎn)量為300件時，利潤最大，最大利潤為25000元.
【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用問題，意在考查抽象和概括能力，屬于基礎(chǔ)題型.
25．牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養(yǎng)量不能達到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量,已知羊群的年增長量y（只）和實際畜養(yǎng)量x（只）與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為.
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）求羊群年增長量的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值
【解析】（1）由題意可知空閑率是，由題意列式；
（2）由（1）可知，求二次函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）根據(jù)題意，最大備養(yǎng)量為m只實際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為，故空閑率為，
由此可得.
（2）由（1）得.
所以當(dāng)時，y取得最大值.故羊群年增長量的最大值為
【點睛】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，意在考查分析問題，抽象和概括的能力，屬于基礎(chǔ)題型.
26．國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團人數(shù)在30人或30人以下，飛機票價格為900元；若旅行團人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，飛機票價格就減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75人為止.旅行團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.
(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；
(2)旅行團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？
【答案】(1)
(2)當(dāng)旅行團人數(shù)為60人時，旅行社獲得最大利潤21000元.
【分析】（1）根據(jù)題意直接可得；
（2）根據(jù)分段函數(shù)分別求各段的最值，然后可得.
【詳解】（1）記旅行團人數(shù)為x，飛機票價格為y，
則由題意可知，，
即
（2）記旅行社所獲利潤為M，
則
當(dāng)時，（元），
當(dāng)時，，
故當(dāng)時，（元）
綜上，當(dāng)旅行團人數(shù)為60人時，旅行社獲得最大利潤21000元.
27．下表表示的是某款車的車速與剎車距離的關(guān)系，試分別就，，三種函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并探討最佳模擬，根據(jù)最佳模擬求車速為120km/h時的剎車距離．
【答案】以為模擬函數(shù)，當(dāng)車速為120km/h時，停車距離為114m．
【分析】先求出，，解析式，再分別計算車速為90km/h，100km/h時的停車距離，確定函數(shù)模型，即可求得結(jié)論．
【詳解】解：若以為模擬函數(shù)，將，代入函數(shù)關(guān)系式，得，解得，，以此函數(shù)關(guān)系式計算車速為90km/h，100km/h時，停車距離分別為220.8m，364.5m，與實際數(shù)據(jù)相比，誤差較大．
若以為模擬函數(shù)，將，代入函數(shù)關(guān)系式，得，解得，，以此函數(shù)關(guān)系式計算車速為90km/h，100km/h時，停車距離分別為43.39m，48.65m，與實際情況誤差也較大．
若以為模擬函數(shù)，將，，代入函數(shù)關(guān)系式，得，解得，，
以此函數(shù)關(guān)系式計算車速為90km/h，100km/h時，停車距離分別為68m，82m，與前兩個函數(shù)相比，此函數(shù)更符合實際情況．
當(dāng)時，，即當(dāng)車速為120km/h時，停車距離為114m．
【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，考查學(xué)生的計算能力，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y（元）與日產(chǎn)量x（套）之間的關(guān)系為y＝6x＋30 000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒（ ）
A．2 000套B．3 000套
C．4 000套D．5 000套
【答案】D
【解析】列出利潤的表達式再求解的解即可.
【詳解】因利潤z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生產(chǎn)文具盒5 000套.
故選：D
【點睛】本題主要考查了實際應(yīng)用中的利潤問題,屬于基礎(chǔ)題.
2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性寫出單調(diào)區(qū)間即可．
【詳解】由，得或，
定義域為，
的單調(diào)遞減區(qū)間為．
故選A
【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，必須先求出函數(shù)的定義域．
3．某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷售中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量（件）與每件的售價（元）滿足一次函數(shù)：．若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價應(yīng)定為
A．30元B．42元C．54元D．越高越好
【答案】B
【分析】先建立二次函數(shù)，再利用配方法求出取得最大值時的銷售定價．
【詳解】設(shè)每天的銷售利潤為元，則，，將上式配方后得，當(dāng)時，取得最大值.故每件商品的售價定為42元時，每天才能獲得最大的銷售利潤.
【點睛】本題考查二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系：“每天的銷售利潤=（銷售價—進價）每天的銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式，另外要熟練掌握二次函數(shù)求最值方法，屬于基礎(chǔ)題．
4．從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度（單位：）與小球運動時間（單位：）之間的關(guān)系式為，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，令，解出，即可得到答案．
【詳解】由于小球的高度（單位：）與小球運動時間（單位：）之間的關(guān)系式為所以令，得（舍）或.
故小球從拋出至回落到地面所需要的時間是
故答案選A
【點睛】本題考查運動函數(shù)方程，是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量與大氣壓強成正比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)時，，則與的函數(shù)關(guān)系式為
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，將代人解析式中，計算出值，即可得到答案．
【詳解】由題意設(shè)，將代人解析式可得，故，考慮到含氧量不可能為負，可知.
【點睛】本題考查正比例函數(shù)的解析式 ，屬于基礎(chǔ)題．
6．某地固定電話市話收費規(guī)定：前三分鐘元（不滿三分鐘按三分鐘計算），以后每加一分鐘增收元（不滿一分鐘按一分鐘計算），那么某人打市話用時550秒，應(yīng)支付電話費
A．元B．元C．元D．元
【答案】B
【分析】設(shè)所用時間為分鐘，應(yīng)支付電話費為元，根據(jù)題意求出當(dāng)時，與的函數(shù)關(guān)系式，代值計算即可得答案．
【詳解】設(shè)所用時間為分鐘，應(yīng)支付電話費為元，
則（是不小于的最小整數(shù)，），令，故，則.
故答案選B
【點睛】本題考查實際問題中求函數(shù)的解析式以及函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．
7．下面是一幅統(tǒng)計圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個數(shù)是（ ）
①這幾年生活水平逐年得到提高；
②生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2014年；
③生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年；
④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善．
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【分析】認真觀察圖形就可以判斷.
【詳解】由圖知，“生活費收入指數(shù)”減去“生活價格指數(shù)”的差是逐年增大的，故①正確；
“生活費收入指數(shù)”在2014～2015年最陡；故②正確；
“生活價格指數(shù)”在2015～2016年最平緩，故③不正確；
“生活價格指數(shù)”略呈下降，而“生活費收入指數(shù)”呈上升趨勢，故④正確．
故選：C.
8．若函數(shù)經(jīng)過點，則函數(shù)的零點是（ ）
A．0，2B．0，C．0，D．2，
【答案】C
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，解方程即可得解.
【詳解】函數(shù)經(jīng)過點，，∴，
∴，
令，則
所以函數(shù)的零點是0和．
故選：C.
9．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中增長速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的特點即可判斷出增長速度.
【詳解】因為指數(shù)函數(shù)是幾何級數(shù)增長，當(dāng)x越來越大時，增長速度最快.
故選：B．
10．在某種新型材料的研制中，試驗人員獲得了下列一組試驗數(shù)據(jù).現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（ ）
A．y=2xB．y=lg2x
C．y=(x2-1)D．y=2.61x
【答案】B
【分析】結(jié)合表中數(shù)據(jù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.
【詳解】對于A，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，增長速度很快，且在時，時，代入值偏差較大，不符合要求；
對于B，函數(shù)，是對數(shù)函數(shù)，增長速度緩慢，且在時，時，基本符合要求；
對于C，函數(shù)是二次函數(shù)，且當(dāng)時，時，代入值偏差較大，不符合要求；
對于D，函數(shù)，當(dāng)時，不符合要求，
故選：B.
11．函數(shù)在下列區(qū)間內(nèi)一定有零點的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】直接利用零點存在定理判斷.
【詳解】因為函數(shù)連續(xù)，
且，
所以在區(qū)間內(nèi)一定有零點，
故選：C
12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)m不可能是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】依題意畫出函數(shù)圖象，函數(shù)的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點，數(shù)形結(jié)合即可求出參數(shù)的取值范圍；
【詳解】解：因為，畫出函數(shù)圖象如下所示，
函數(shù)的有兩個零點，即方程有兩個實數(shù)根，即，即函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，由函數(shù)圖象可得或，
故選：D
【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
二、填空題
13．為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”．計費方法如表所示，若某戶居民某月交納水費60元，則該月用水量_______m3．
【答案】16
【解析】由表格列出分段函數(shù)，再將水費代入求解對應(yīng)用水量即可
【詳解】設(shè)用數(shù)量為，交納水費為，由題可知，當(dāng)時，解得，
故答案為：16
【點睛】本題考查實際問題中函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題
14．若成立，則的取值范圍是___________．
【答案】
【詳解】如圖所示，分別畫出函數(shù)與的圖象，由于兩函數(shù)的圖象都過點（1，1），
由圖象可知不等式的解集為.
15．圖中折線是某電信局規(guī)定打長途電話所需要付的電話費（元）與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像，根據(jù)圖像判斷：通話，需付電話費______元；通話，需付電話費______元；如果，電話費（元）與通話時間之間的函數(shù)關(guān)系式是_______．
【答案】 6
【分析】（1）根據(jù)圖像可知通話3分鐘以內(nèi)收費為3.6元，（2）根據(jù)時的函數(shù)值解答，（3）設(shè)與的關(guān)系式為，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式．
【詳解】由題圖知，通話3分鐘以內(nèi)收費為3.6元，所以通話，需付電話費元，
根據(jù)圖像可知，分鐘，元，所以通話，需付電話費6元.
當(dāng)時，設(shè)與的關(guān)系式為設(shè)，
由于圖像過點，，則有
解得.
故答案為3.6，6，
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確識圖確定函數(shù)圖像經(jīng)過的點的坐標(biāo)，并理解射線的意義是解題的關(guān)鍵．
16．把長為12cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形最小的面積之和是________．
【答案】2 cm2．
【詳解】試題分析：設(shè)一個三角形的邊長為x cm，則另一個三角形的邊長為（4﹣x）cm，則可得到這兩個正三角形面積之和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最小值．
解：設(shè)一個三角形的邊長為x cm，則另一個三角形的邊長為（4﹣x）cm，兩個三角形的面積和為
S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．
令S′=x﹣2=0，則x=2，所以Smin=2．
故答案為2 cm2．
點評：本題考查等邊三角形的面積的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)及最小值的求法．
17．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為_______．
【答案】或
【分析】根據(jù)函數(shù)兩個不同的零點，由方程有兩個不同的實數(shù)根求解.
【詳解】因為函數(shù)有兩個不同的零點，
所以方程有兩個不同的實數(shù)根.
所以，
解得或.
故答案為：或.
18．函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)各有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】由二次函數(shù)的特點和零點存在定理可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.
【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)，
，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
19．函數(shù)零點的個數(shù)為___________.
【答案】2
【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式，令，結(jié)合一元二次方程和對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解.
【詳解】當(dāng)時，令，即，解得或（舍去）；
當(dāng)時，令，即，解得，
所以函數(shù)有兩個零點.
故答案為：2.
20．已知函數(shù)f(x)＝有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_________．
【答案】（，1）
【解析】通過函數(shù)圖像可以判斷出a＞0且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2個零點，從而解出答案.
【詳解】∵函數(shù)f(x)＝有3個零點，
當(dāng)a=0時，函數(shù)只有1個零點，當(dāng)a0且a≠1)
對數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)
冪函數(shù)型模型
f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
上市時間x天
4
10
36
市場價y元
90
51
90
車速/（km/h）
10
15
30
40
50
剎車距離/m
4
7
12
18
25
車速/（（km/h）
60
70
80
90
100
剎車距離/m
34
43
54
66
80
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
每戶每月用水量
水價
不超過12m3的部分
3元/m3
超過12m3但不超過18m3的部分
6元/m3
超過18m3的部分
9元/m3

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