高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(新高考專用)4.4函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

圖
知識點(diǎn)總結(jié)
1.用“五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的變換：向左平移eq \f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度.
典型例題分析
考向一公式的逆用及變形
角度1 公式的活用
例1 (1)(2023·濮陽一模)cs 40°sin 70°－sin 40°·sin 160°＝( )
A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)若α＋β＝－eq \f(3π,4)，則(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
角度2 輔助角公式的運(yùn)用
例2 化簡：(1)sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)；(2)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),sin 80°).
感悟提升三角函數(shù)公式活用技巧
(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.應(yīng)注重公式的逆用和變形使用.
考向二三角函數(shù)式的化簡
例3 (1)化簡：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
(2)化簡：(eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan \f(α,2)))＝________.
感悟提升 1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.
2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).
考向三三角函數(shù)求值問題
角度1 給角求值
例4 (1)sin 40°(tan 10°－eq \r(3))等于( )
A.2 B.－2
C.1 D.－1
(2)cs 20°·cs 40°·cs 100°＝________.
角度2 給值求值
例5 (1)(2023·安徽名校聯(lián)考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4)，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(5π,6)))＝( )
A.－eq \f(1,8) B.eq \f(1,8)
C.－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
(2)(2023·鐵嶺質(zhì)檢)已知eq \f(1,cs θ)＋tan θ＝2，則tan eq \f(θ,2)的值為( )
A.3 B.eq \f(1,3)或－1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
角度3 給值求角
例6 已知α，β均為銳角，cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，則cs 2α＝________
2α－β＝________.
感悟提升 1.給值(角)求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.
2.給值(角)求值問題的一般步驟
(1)化簡條件式子或待求式子；
(2)觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值.
考向四三角恒等變換的應(yīng)用
例7 設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x＋cs x(x∈R).
(1)求函數(shù)y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)的最小正周期；
(2)求函數(shù)y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值.
感悟提升三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.
考向五函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
例8已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－eq \f(π,2)0，|φ|0，φ>0)的變換：向左平移eq \f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度.
典型例題分析
考向一公式的逆用及變形
角度1 公式的活用
例1 (1)(2023·濮陽一模)cs 40°sin 70°－sin 40°·sin 160°＝( )
A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 cs 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝cs 40°cs 20°－sin 40°sin 20°
＝cs(40°＋20°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).故選B.
(2)若α＋β＝－eq \f(3π,4)，則(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
答案 2
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，
所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
則1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
角度2 輔助角公式的運(yùn)用
例2 化簡：(1)sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)；(2)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),sin 80°).
解 (1)法一原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)sin \f(π,12)－cs \f(π,6)cs \f(π,12)))＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2cs eq \f(π,4)＝－eq \r(2).
法二原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)sin \f(π,12)－sin \f(π,3)cs \f(π,12)))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝－2sin eq \f(π,4)＝－eq \r(2).
(2)原式＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4（sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°）,2sin 10°cs 10°)＝eq \f(4sin（30°－10°）,sin 20°)＝4.
感悟提升三角函數(shù)公式活用技巧
(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.應(yīng)注重公式的逆用和變形使用.
考向二三角函數(shù)式的化簡
例3 (1)化簡：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
答案 eq \f(1,2)cs 2x
解析原式＝eq \f(\f(1,2)（4cs4x－4cs2x＋1）,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))·cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(（2cs2x－1）2,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(cs22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(cs22x,2cs 2x)＝eq \f(1,2)cs 2x.
(2)化簡：(eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan \f(α,2)))＝________.
答案 eq \f(2,sin α)
解析 (eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2))·(1＋tan α·tan eq \f(α,2))＝(eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))－eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))·(1＋eq \f(sin α,cs α)·eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))
＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2))·eq \f(cs αcs\f(α,2)＋sin αsin \f(α,2),cs αcs\f(α,2))＝eq \f(2cs α,sin α)·eq \f(cs\f(α,2),cs αcs\f(α,2))＝eq \f(2,sin α).
感悟提升 1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.
2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).
考向三三角函數(shù)求值問題
角度1 給角求值
例4 (1)sin 40°(tan 10°－eq \r(3))等于( )
A.2 B.－2
C.1 D.－1
答案 D
解析 sin 40°·(tan 10°－eq \r(3))＝sin 40°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin 10°,cs 10°)－\r(3)))
＝sin 40°·eq \f(sin 10°－\r(3)cs 10°,cs 10°)＝sin 40°·eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 10°－\f(\r(3),2)cs 10°)),cs 10°)
＝sin 40°·eq \f(2（cs 60°·sin 10°－sin 60°·cs 10°）,cs 10°)＝sin 40°·eq \f(2sin（10°－60°）,cs 10°)
＝sin 40°·eq \f(－2sin 50°,cs 10°)＝eq \f(－2sin 40°·cs 40°,cs 10°)＝eq \f(－sin 80°,cs 10°)＝－1.
(2)cs 20°·cs 40°·cs 100°＝________.
答案－eq \f(1,8)
解析 cs 20°·cs 40°·cs 100°＝－cs 20°·cs 40°·cs 80°
＝－eq \f(sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,sin 20°)＝－eq \f(\f(1,2)sin 40°·cs 40°·cs 80°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,4)sin 80°·cs 80°,sin 20°)＝－eq \f(\f(1,8)sin 160°,sin 20°)＝－eq \f(\f(1,8)sin 20°,sin 20°)＝－eq \f(1,8).
角度2 給值求值
例5 (1)(2023·安徽名校聯(lián)考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4)，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(5π,6)))＝( )
A.－eq \f(1,8) B.eq \f(1,8)
C.－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
答案 B
解析因?yàn)閏seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(5π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(1,8).故選B.
(2)(2023·鐵嶺質(zhì)檢)已知eq \f(1,cs θ)＋tan θ＝2，則tan eq \f(θ,2)的值為( )
A.3 B.eq \f(1,3)或－1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 D
解析由eq \f(1,cs θ)＋tan θ＝eq \f(cs2\f(θ,2)＋sin2\f(θ,2),cs2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2))＋eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq \f(1＋tan2\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＋eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝2，
整理得3tan2eq \f(θ,2)＋2tan eq \f(θ,2)－1＝0，
解得tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1,3)或tan eq \f(θ,2)＝－1.
因?yàn)閏s θ≠0，所以θ≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
所以eq \f(θ,2)≠eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
所以tan eq \f(θ,2)≠－1，故tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1,3).故選D.
角度3 給值求角
例6 已知α，β均為銳角，cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，則cs 2α＝________
2α－β＝________.
答案 eq \f(1,7) eq \f(π,3)
解析因?yàn)閏s α＝eq \f(2\r(7),7)，
所以cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,7).
又因?yàn)棣?，β均為銳角，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，
所以sin α＝eq \f(\r(21),7)，cs β＝eq \f(13,14)，
因此sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2).
因?yàn)棣翞殇J角，所以0＜2α＜π.
又cs 2α＞0，所以0＜2α＜eq \f(π,2)，
又β為銳角，所以－eq \f(π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2)，
又sin(2α－β)＝eq \f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq \f(π,3).
感悟提升 1.給值(角)求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.
2.給值(角)求值問題的一般步驟
(1)化簡條件式子或待求式子；
(2)觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值.
考向四三角恒等變換的應(yīng)用
例7 設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x＋cs x(x∈R).
(1)求函數(shù)y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)的最小正周期；
(2)求函數(shù)y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值.
解 (1)因?yàn)閒(x)＝sin x＋cs x，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x－sin x，
所以y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)＝(cs x－sin x)2＝1－sin 2x.
所以函數(shù)y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \r(2)sin x，
所以y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \r(2)sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x))
＝eq \r(2)(sin xcs x＋sin2x)＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2x－\f(1,2)cs 2x＋\f(1,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(\r(2),2).
當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時，2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以當(dāng)2x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(3π,8)時，
函數(shù)y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上取得最大值，且ymax＝1＋eq \f(\r(2),2).
感悟提升三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.
考向五函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
例8已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－eq \f(π,2)

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