知識點總結(jié)
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數(shù)集及記法
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集.
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
4.集合的運算性質(zhì)
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
常用結(jié)論
1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
典型例題分析
考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.設(shè)集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，則集合B為________.
感悟提升 1.研究集合問題時，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.
考點二 集合間的基本關(guān)系
典例二
1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(x－4,x＋5)≤0))，則集合A，B，C的關(guān)系為( )
A.B?A B.A＝B
C.C?B D.A?C
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________.
感悟提升 1.若B?A，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論.
2.已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩個集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進(jìn)行討論.求得參數(shù)后，一定要把端點值代入進(jìn)行驗證，否則易增解或漏解.
考向三 集合間的基本運算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝( )
A.? B.S C.T D.Z
2.設(shè)全集為R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝eq \r(x2－1)}，則A∩(?RB)＝( )
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.? D.{x|0＜x＜2}
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(?UN)＝?，則a的取值范圍是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
感悟提升 1.進(jìn)行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運算.
2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；
(2)連續(xù)型數(shù)集的運算，常借助數(shù)軸求解，運用數(shù)軸時要特別注意端點是實心還是空心.
考向四 Venn圖的應(yīng)用
在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到元素個數(shù)的問題，常用Venn圖表示兩個集合的交、并、補(bǔ)集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的個數(shù)，即Card(A)表示有限集A的元素個數(shù).
典例四
1.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
2.某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有________人.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合,,則
A．B．
C．D．
5．設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A，且，，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．對于集合A，B，“”不成立的含義是
A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一個元素不屬于BD．B中至少有一個元素不屬于A
二、多選題
7．下列關(guān)系式正確的為（ ）
A．B．
C．D．
8．（多選）若集合，，則集合或（ ）
A． B．
C．D．
三、填空題
9．已知實數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則__________．
10．設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為___________.
11．滿足，且的集合的個數(shù)是_____________.
12．若集合有且僅有2個子集，則滿足條件的實數(shù)的最小值是____.
四、解答題
13．已知集合，，若，求實數(shù)的值.
14．已知全集，,
(1)；
(2)求.
15．若，且A∪B=A，求由實數(shù)a的值組成的集合．
16．集合是由形如的數(shù)構(gòu)成的，試分別判斷，，與集合的關(guān)系.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．滿足條件的集合的個數(shù)為
A．6個B．7個C．8個D．9個
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},?UA={5,7},則a的值是( )
A．2B．8C．-2或8D．2或8
3．已知集合，，全集，則等于（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)集合,,若,則（ ）
A．-1B．1C．-1或1D．0
5．已知集合，，則
A．B．C．D．
6．設(shè)集合，，則（ ）．
A．B．C．D．
7．集合A，B，C滿足，則成立的等式是（ ）．
A．B．
C．D．
8．對于集合，，定義，，設(shè)，，則
A．B．
C．D．
9．已知集合，若且集合中恰有2個元素，則滿足條件的集合的個數(shù)為（ ）．
A．1B．3C．6D．10
10．若是一個非空集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足:（1）；（2）對于的任意子集，當(dāng)且時，有；（3）對于的任意子集當(dāng)且時，有，則稱是集合的一個“——集合類”例如:是集合的一個“——集合類”.已知，則所有含的“——集合類”的個數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
二、多選題
11．已知集合，．若，則實數(shù)m的值為（ ）
A．0B．1C．-3D．3
12．已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則
13．給定集合，若對于任意，，有，且，則稱集合A為閉集合，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．集合為閉集合；
B．集合為閉集合；
C．集合為閉集合；
D．若集合為閉集合，則為閉集合．
14．設(shè)非空集合滿足：當(dāng)時，有，給出如下四個命題，其中真命題是（ ）
A．若，則；B．若，則；
C．若，則；D．若，則
三、填空題
15．關(guān)于的方程的解集為______．
16．已知集合，，若，則由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為______.
17．定義有限數(shù)集中的最大元素與最小元素之差為的“長度”，如：集合的“長度”為3，集合的“長度”為0.已知集合，則的所有非空子集的“長度”之和為_________.
18．設(shè)集合是小于5的質(zhì)數(shù)，則的真子集的個數(shù)為______，的非空真子集的個數(shù)為______.
名稱
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
記法
N
N*或N＋
Z
Q
R
集合的并集
集合的交集
集合的補(bǔ)集
符號表示
A∪B
A∩B
若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA
圖形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
專題1.1 集合的概念與運算
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數(shù)集及記法
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集.
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
4.集合的運算性質(zhì)
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
常用結(jié)論
1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
典型例題分析
考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案 C
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.
2.設(shè)集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，則集合B為________.
答案 {0，1，2}
解析 由題意知，∵0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝{0，1，2}.
3.設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，則a2 023＋b2 024＝________.
答案 0
解析 由題意知a≠0，
因為{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b)).
所以a＋b＝0，則eq \f(b,a)＝－1，
所以a＝－1，b＝1.
故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0.
感悟提升 1.研究集合問題時，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.
考點二 集合間的基本關(guān)系
典例二
1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(x－4,x＋5)≤0))，則集合A，B，C的關(guān)系為( )
A.B?A B.A＝B
C.C?B D.A?C
答案 D
解析 因為x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤3，則A＝[－1，3]；
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，則B＝[－2，4]；
因為eq \f(x－4,x＋5)≤0，所以－5＜x≤4，則C＝(－5，4]，所以A?B，A?C，B?C.故選D.
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________.
答案 (－∞，3]
解析 ∵B?A，
∴若B＝?，則2m－1＜m＋1，解得m＜2；
若B≠?，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.
故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3].
感悟提升 1.若B?A，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論.
2.已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩個集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進(jìn)行討論.求得參數(shù)后，一定要把端點值代入進(jìn)行驗證，否則易增解或漏解.
考向三 集合間的基本運算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝( )
A.? B.S C.T D.Z
答案 C
解析 法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，則t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T?S，所以S∩T＝T，故選C.
法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，觀察可知，T?S，所以S∩T＝T，故選C.
2.設(shè)全集為R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝eq \r(x2－1)}，則A∩(?RB)＝( )
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.? D.{x|0＜x＜2}
答案 B
解析 由題意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1或x≥1}，所以?RB＝{x|－1＜x＜1}，所以A∩(?RB)＝{x|0＜x＜1}，故選B.
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(?UN)＝?，則a的取值范圍是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案 B
解析 易得M＝{x|2x2－x－1＜0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(1,2)＜x＜1)).
∵N＝{x|2x＋a＞0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＞－\f(a,2)))，
∴?UN＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－\f(a,2))).
由M∩(?UN)＝?，則－eq \f(a,2)≤－eq \f(1,2)，得a≥1.
感悟提升 1.進(jìn)行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運算.
2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；
(2)連續(xù)型數(shù)集的運算，常借助數(shù)軸求解，運用數(shù)軸時要特別注意端點是實心還是空心.
考向四 Venn圖的應(yīng)用
在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到元素個數(shù)的問題，常用Venn圖表示兩個集合的交、并、補(bǔ)集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的個數(shù)，即Card(A)表示有限集A的元素個數(shù).
典例四
1.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案 C
解析 用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生所占比例之間的關(guān)系如圖，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故選C.
2.某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有________人.
答案 8
解析 設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人構(gòu)成的集合分別為A，B，C，同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖.
由全班共36名同學(xué)可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)交集的定義計算可得．
【詳解】解：，，
．
故選：A．
2．已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)定義域求出，由得到a的取值范圍.
【詳解】由題意得，解得，故，
因為，所以.
故選：A
3．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用并集和交集的定義對選項求解判斷即可
【詳解】∵，集合表示小于等于1的所有整數(shù)，∴，.
故選D
【點睛】本題考查了并集和交集的定義與計算問題，屬于基礎(chǔ)題．
4．已知集合,,則
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解不等式求出集合B，然后再求出即可．
【詳解】由題意得，
所以=．
故選D．
【點睛】本題考查集合的交集運算，解題的關(guān)鍵是正確求出集合，屬于簡單題．
5．設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A，且，，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意結(jié)合元素與集合的關(guān)系可得、，解不等式即可得解.
【詳解】由，得，即，
解得或；
由，得，即，解得；
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】本題考查了通過元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，考查了運算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.
6．對于集合A，B，“”不成立的含義是
A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一個元素不屬于BD．B中至少有一個元素不屬于A
【答案】C
【分析】根據(jù)子集的定義可知，“”不成立即A中至少有一個元素不在集合B中.
【詳解】“”成立的含義是集合A中的任何一個元素都是B的元素，
不成立的含義是A中至少有一個元素不屬于B，
故選C．
【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系，考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．
二、多選題
7．下列關(guān)系式正確的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合間的關(guān)系判斷.
【詳解】對于A.元素與集合間是屬于與不屬于的關(guān)系，故A錯誤；
對于B.含有一個元素0，不是空集，故B錯誤；
對于C.集合的元素具有無序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正確；
對于D.空集是任何集合的子集，故D正確.
故選：CD．
8．（多選）若集合，，則集合或（ ）
A． B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)選項分別求解，再判斷.
【詳解】因為集合，，所以，，
或， 所以或，.
故選 ：BC
三、填空題
9．已知實數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則__________．
【答案】-3
【分析】根據(jù)題意求元素的關(guān)系．
【詳解】解：因為實數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，
所以（無解）或者，
解得：．
故答案為：-3．
【點睛】本題考查集合元素的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
10．設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為___________.
【答案】
【分析】化簡集合N，并求出N的補(bǔ)集，寫出韋恩圖的陰影部分表示的集合并求解即得.
【詳解】依題意，，則，而，又韋恩圖表示的集合為，于是得，
所以圖中陰影部分表示的集合為.
故答案為：
11．滿足，且的集合的個數(shù)是_____________.
【答案】12
【分析】根據(jù)題設(shè)條件，利用交集的性質(zhì)，由列舉法寫出滿足條件的集合所有，從而可得結(jié)果.
【詳解】集合，且，
滿足條件的集合為
共有12個，故答案為12.
【點睛】本題主要考查已知集合間的關(guān)系求集合的個數(shù)問題，考查學(xué)生對子集，交集概念的理解，是一道中檔題.
12．若集合有且僅有2個子集，則滿足條件的實數(shù)的最小值是____.
【答案】-2
【分析】根據(jù)題意可知，集合只有一個元素，從而時，滿足條件，而時，可得到，求出，找到最小的即可.
【詳解】只有2個子集；
只有一個元素；
時，，滿足條件；
②時，；
解得或2；
綜上，滿足條件的實數(shù)的最小值為﹣2.
故答案為﹣2.
【點睛】考查子集的概念，描述法和列舉法表示集合的定義，以及一元二次方程實根個數(shù)和判別式的關(guān)系.
四、解答題
13．已知集合，，若，求實數(shù)的值.
【答案】
【分析】由可知，從而可得關(guān)于的方程組，進(jìn)而可求出的值.
【詳解】解：由，，所以.解方程組，得.
【點睛】本題考查了集合的運算，考查了復(fù)數(shù)的概念.
14．已知全集，,
(1)；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由集合的交并補(bǔ)運算直接求解.
(1)
（1），故；
(2)
（2），則.
15．若，且A∪B=A，求由實數(shù)a的值組成的集合．
【答案】
【詳解】試題分析：由，得到，所以討論和兩種情況求的取值．第一步，先求解集合，所以集合:，，．
試題解析：，，即
，
故B是單元素集合或
當(dāng)，由得
當(dāng)，由得
當(dāng)，由得
所以由實數(shù)a形成的集合為
考點：1．集合與集合的關(guān)系；2．空集．
16．集合是由形如的數(shù)構(gòu)成的，試分別判斷，，與集合的關(guān)系.
【答案】，，
【分析】考慮是否可以寫成的形式，若可以則是屬于關(guān)系，反之則是不屬于關(guān)系.
【詳解】∵，而0， ， ，∵∴；∵，而13，，∴.
【點睛】本題考查元素與集合關(guān)系的判定，難度一般.當(dāng)集合是一個特殊的數(shù)集時，判斷元素是否屬于集合，則需要考慮是否能通過一定的化簡手段將元素能寫成特殊數(shù)集的形式.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．滿足條件的集合的個數(shù)為
A．6個B．7個C．8個D．9個
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意得，當(dāng)集合中含有兩個元素時，；當(dāng)集合中含有三個元素時，；當(dāng)集合中含有四個元素時，；當(dāng)集合中含有五個元素時，，綜上所述集合的個數(shù)為個，故選C.
考點：子集的概念及應(yīng)用.
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},?UA={5,7},則a的值是( )
A．2B．8C．-2或8D．2或8
【答案】D
【詳解】由由已知得；故選D.
3．已知集合，，全集，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的定義域的求法化簡集合A，利用根式函數(shù)的定義域的求法化簡集合B，然后再利用補(bǔ)集和交集運算求解.
【詳解】因為，
即或，
所以，
所以，
故選：D.
【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.
4．設(shè)集合,,若,則（ ）
A．-1B．1C．-1或1D．0
【答案】A
【分析】由集合的包含關(guān)系得的方程組，求解即可
【詳解】，由集合元素互異性得 則 或
解得或
故選 A
【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系，考查元素的互異性，是基礎(chǔ)題
5．已知集合，，則
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，，再利用集合交集的運算，即可求解.
【詳解】由題意，集合，，
所以.
故選D.
【點睛】本題主要考查了集合交集的運算，其中解答中正確求解集合，再根據(jù)集合的交集的概念及運算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
6．設(shè)集合，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解不等式確定集合中的元素，然后由交集定義求解．
【詳解】由已知可得，
，
所以.
故選：D．
【點睛】本題考查集合的交集運算，一元二次不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7．集合A，B，C滿足，則成立的等式是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，可知集合B，C關(guān)系，根據(jù)補(bǔ)集概念可得集合A的補(bǔ)集與集合B,C無公共元素，即可求解.
【詳解】因為，
所以且，而集合不一定相等，
所以選項A,C,D錯誤；
又由可知，故B做正確.
故選：B
【點睛】本題主要考查了集合的交、并、補(bǔ)集的定義，子集的概念，考查了推理能力，屬于中檔題.
8．對于集合，，定義，，設(shè)，，則
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由根據(jù)定義先求出集合和集合，再求這兩個集合的并集可得，得解.
【詳解】因為，， ,,
所以
故選C．
【點睛】本題考查集合的交、并、補(bǔ)集的運算，解題時注意理解和的含義，屬于基礎(chǔ)題.
9．已知集合，若且集合中恰有2個元素，則滿足條件的集合的個數(shù)為（ ）．
A．1B．3C．6D．10
【答案】B
【分析】將方程平方整理得，再根據(jù)判別式得，故，再依次檢驗得，最后根據(jù)集合關(guān)系即可得答案.
【詳解】解:根據(jù)題意將兩邊平方得，
繼續(xù)平方整理得：，故該方程有解.
所以，即，解得，
因為，故，
當(dāng)時，,易得方程無解，當(dāng)時，，有解，滿足條件；
當(dāng)時，，方程有解，滿足條件；
當(dāng)時，，方程有解，滿足條件；
故，因為且集合中恰有2個元素，
所以集合可以是，，.
故選：B.
【點睛】本題考查集合的元素，集合關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于將方程平方轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合判別式得，進(jìn)而求出集合.考查運算求解能力，化歸轉(zhuǎn)化能力，是中檔題.
10．若是一個非空集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足:（1）；（2）對于的任意子集，當(dāng)且時，有；（3）對于的任意子集當(dāng)且時，有，則稱是集合的一個“——集合類”例如:是集合的一個“——集合類”.已知，則所有含的“——集合類”的個數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)題意知一定包含，對剩余分類討論得到答案.
【詳解】的子集有：.
根據(jù)題意：一定包含，剩余.
當(dāng)5個都不取時，，1個；
當(dāng)只取1個時，，，
滿足，3個；
當(dāng)只取2個時，，，
滿足，3個；
當(dāng)只取3個時，，
，，
滿足，4個；
當(dāng)只取4個時，不滿足；
當(dāng)取5個時，滿足，1個；共12個.
故選：.
【點睛】本題考查了集合的新定義問題，分類討論是解題的關(guān)鍵.
二、多選題
11．已知集合，．若，則實數(shù)m的值為（ ）
A．0B．1C．-3D．3
【答案】AD
【分析】根據(jù)并集結(jié)果得到，從而討論得到或或，根據(jù)集合中元素的互異性排除不合要求的結(jié)果.
【詳解】因為，所以．
因為，，所以或，
解得或或；
當(dāng)時，，，符合題意；
當(dāng)時，集合不滿足集合元素的互異性，不符合題意；
當(dāng)時，，，符合題意；
綜上，或.
故選：AD
12．已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)集合滿足的條件對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】（1）由①，則由②，，，由③得，故A正確；
（2）由（1）可知，故B錯誤；
（3）由①知，，，，，
即，故C正確；
（4），則，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知當(dāng)，，，
當(dāng)，可得，，
故D正確．
故答案為：ACD
13．給定集合，若對于任意，，有，且，則稱集合A為閉集合，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．集合為閉集合；
B．集合為閉集合；
C．集合為閉集合；
D．若集合為閉集合，則為閉集合．
【答案】AC
【分析】根據(jù)閉集合的定義和集合知識綜合的問題,分別判斷,且是否滿足即可得到結(jié)論.
【詳解】對于A：按照閉集合的定義，故A正確;
對于B：當(dāng)時,.故不是閉集合.故B錯誤;
對于C：由于任意兩個3的倍數(shù),它們的和、差仍是3的倍數(shù),故是閉集合.故C正確;
對于D：假設(shè),.不妨取,但是, ,則不是閉集合.故D錯誤.
故選：AC
14．設(shè)非空集合滿足：當(dāng)時，有，給出如下四個命題，其中真命題是（ ）
A．若，則；B．若，則；
C．若，則；D．若，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)各選項對應(yīng)m、l參數(shù)值，討論另一個參數(shù)可能取值情況，根據(jù)非空集合的定義求出它們的范圍.
【詳解】當(dāng)時，此時，
若，顯然，滿足；
若，則，而，不滿足；
綜上，有，A正確；
當(dāng)時，此時，
若，則，此時，滿足；
若，則，而，不滿足；
綜上，時有，B正確；
當(dāng)時，此時，
此時，需保證，則，
綜上，，C正確；
當(dāng)時，此時或，
若，需保證，則；
若有，滿足；
綜上，，D錯誤.
故選：ABC
三、填空題
15．關(guān)于的方程的解集為______．
【答案】
【分析】直接解方程，再將結(jié)果表示成集合形式即可
【詳解】由，解得，故解集為：
故答案為：
16．已知集合，，若，則由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為______.
【答案】
【分析】由于集合B是集合A的子集，分別討論集合B為空集和不是空集的情況，當(dāng)集合B不是空集時，集合B的元素必為或者，即可求解.
【詳解】因為集合，，，
若為空集，則方程無解，解得；
若不為空集，則；由解得，所以或，解得或，
綜上，由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為.
【點睛】本題主要考查了集合間的基本關(guān)系以及含參一元一次方程的解法，要注意集合B是集合A的子集時，集合B有可能是空集.
17．定義有限數(shù)集中的最大元素與最小元素之差為的“長度”，如：集合的“長度”為3，集合的“長度”為0.已知集合，則的所有非空子集的“長度”之和為_________.
【答案】201
【分析】根據(jù)集合“長度”的定義，可將集合的非空子集分六類，分別計算可求出答案.
【詳解】集合有6個元素,非空子集有個，
①集合“長度”為0的子集有：；
②集合“長度”為1的子集有：；
③集合“長度”為2的子集有：；
④集合“長度”為3的子集有：；
⑤集合“長度”為4的子集有：；
⑥集合“長度”為5的子集有：,,,,,,,,,,.
的所有非空子集的“長度”之和為.
故答案為：201.
【點睛】本題考查新定義，要求讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行計算、推理、遷移，新定義問題要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情境的變化，通過思考，合理進(jìn)行思想方法的遷移.
18．設(shè)集合是小于5的質(zhì)數(shù)，則的真子集的個數(shù)為______，的非空真子集的個數(shù)為______.
【答案】 3 2
【分析】質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)，指在一個大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，沒法被其他自然數(shù)整除的數(shù)，可求出集合，再根據(jù)真子集的定義可求出所求．
【詳解】小于5的質(zhì)數(shù)有2，3，即，故的真子集的個數(shù)為，非空真子集的個數(shù)為.
名稱
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
記法
N
N*或N＋
Z
Q
R
集合的并集
集合的交集
集合的補(bǔ)集
符號表示
A∪B
A∩B
若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA
圖形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}

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