典型例題分析
考向一 求通項公式
(2019課標Ⅱ理,19,12分)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}和{bn}的通項公式.
思路分析 (1)將兩遞推關系式左、右兩邊相加可得an+1+bn+1=12(an+bn),從而證得數(shù)列{an+bn}為等比數(shù)列;將兩遞推關系式左、右兩邊相減可得an+1-bn+1=an-bn+2,從而證得數(shù)列{an-bn}為等差數(shù)列.(2)由(1)可求出{an+bn},{an-bn}的通項公式,從而得an,bn.
考向二 求和公式及其應用
(2016課標Ⅰ文,17,12分)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求{bn}的前n項和.
考向三 求參數(shù)問題
已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(2)若S5=3132,求λ.
思路分析 (1)先由題設利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關鍵是看an+1與an之比是否為一常數(shù),其中說明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結論解方程求出λ.
考向四 構造法在數(shù)列中的應用
數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)設bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項公式.
評析 本題著重考查等差數(shù)列的定義、前n項和公式及“累加法”求數(shù)列的通項等基礎知識,同時考查運算變形的能力.
考向五 數(shù)列求和的綜合問題
(2021全國乙文,19,12分)設{an}是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和.證明:Tn

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