知識點總結(jié)
1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
2.等比數(shù)列的前n項和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
典型例題分析
考向一 等比數(shù)列基本量的運算
1．(2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6＝( )
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：選D 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1?1－q3?,1－q)＝168，,a1q?1－q3?＝42，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，))所以a6＝a1q5＝3，故選D.
2．(2023·岳陽模擬)河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1 016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則lg2a4的值為( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：選C 根據(jù)題意，“浮雕像”從下到上構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)首項為a1，前n項和為Sn.于是S7＝eq \f(a1?1－27?,1－2)＝1 016?a1＝8，則a4＝8×23＝26?lg2a4＝lg226＝6.故選C.
3．(2023·瀘州模擬)記Sn為遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，S3＝eq \f(7,2)a2，則S4＝______.
解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S3＝eq \f(7,2)a2得，a1＋a2＋a3＝eq \f(7,2)a2，即1＋q2＝eq \f(5,2)q，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)，∵{an}是遞增數(shù)列，∴q＝2，∴S4＝eq \f(1－24,1－2)＝24－1＝15.
答案：15
方法總結(jié)
等比數(shù)列基本量運算的解題策略
(1)等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．
(2)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 等比數(shù)列的判定或證明
[典例] 已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)證明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，
∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，
∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，∴a2－a1＝eq \f(1,2)，
∴數(shù)列{an＋1－an}是以eq \f(1,2)為首項，4為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋1－an＝eq \f(1,2)×4n－1＝22n－3，
當(dāng)n≥2時，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2)?1－4n－1?,1－4)＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)
當(dāng)n＝1時，a1＝eq \f(1,3)(2－1＋1)＝eq \f(1,2)滿足上式．
所以，an＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)(n∈N*)．
[方法技巧] 等比數(shù)列的判定方法
考向三 等比數(shù)列的性質(zhì)
[典例] (1)(2023·沈陽模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2，a8為方程x2－4x＋π＝0的兩根，則a3a5a7的值為( )
A．πeq \r(π) B．－πeq \r(π) C．±πeq \r(π) D．π3
(2)(2023·遼寧撫順市第二中學(xué)模擬)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a10＝9，則lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝( )
A．6 B．5
C．4 D.eq \f(1＋lg35,2)
[解析] (1)在等比數(shù)列{an}中，因為a2，a8為方程x2－4x＋π＝0的兩根，所以a2a8＝π＝aeq \\al(2,5)，所以a5＝±eq \r(π)，所以a3a5a7＝aeq \\al(3,5)＝±πeq \r(π).故選C.
(2)lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝lg9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝lg995＝5.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
(2)巧用性質(zhì)，減少運算量，在解題中非常重要．
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，若，且{an}是等比數(shù)列，則m＝（ ）
A．0B．3C．4D．6
2．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個人走了里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了天后到達(dá)目的地.”則此人第天走了（ ）
A．里B．里C．里D．里
3．設(shè)是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為則“”是“對任意的正整數(shù)”的
A．充要條件B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件
4．已知數(shù)列的前項和，則確定的最大正整數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
5．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比的值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知數(shù)列的前項和為，其中，，，成等差數(shù)列，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．已知等比數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，設(shè)是其前項和，若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)，則( )
A．，，成等差數(shù)列B．，，成等差數(shù)列
C．，，成等比數(shù)列D．，，成等比數(shù)列
三、填空題
9．等比數(shù)列中，，，則__________
10．等比數(shù)列為非常數(shù)數(shù)列，其前項和是，當(dāng)時，則公比的值為_____．
11．在遞增的等比數(shù)列中，，，則________．
12．已知數(shù)列的前n項和為（其中t為常數(shù)），若為等比數(shù)列，則t=___________
四、解答題
13．已知等比數(shù)列的首項，公比，在中每相鄰兩項之間都插入3個正數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列前n項的乘積為，試問：是否有最大值？如果是，請求出此時n以及最大值；若不是，請說明理由.
14．已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：存在等比數(shù)列，使；
(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)．
15．已知等差數(shù)列的公差，且，的前項和為.
（1）若、、成等比數(shù)列，求的值.
（2）令，求數(shù)列的前項和．
16．已知是遞增的等差數(shù)列，，，，分別為等比數(shù)列的前三項.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)刪去數(shù)列中的第項（其中 ），將剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知等比數(shù)列的前項和為，，且，則（ ）
A．40B．120C．121D．363
2．記等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（ ）
A．180B．160C．210D．250
3．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，則S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前n項和，若，，則（ ）
A．40B．60C．32D．50
5．已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的奇數(shù)項所組成的新數(shù)列的前項和為（ ）
A．B．C．D．
6．已知為等比數(shù)列，若，且與的等差中項為，則的值為（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
二、多選題
7．記為數(shù)列的前n項和，若，且，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．為等差數(shù)列B．
C．，，成等比數(shù)列D．有最大值，無最小值
8．以下關(guān)于數(shù)列的結(jié)論正確的是（ ）
A．若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為等差數(shù)列
B．若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為等比數(shù)列
C．若數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列
D．若數(shù)列滿足．則數(shù)列為等比數(shù)列
三、填空題
9．若等比數(shù)列的前n項的和為，且滿足，，則=__________.
10．已知為等比數(shù)列的前項和，，，則的值為______．
11．正項等比數(shù)列的前項和為，若，則________.
12．已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的的值為___________.
四、解答題
13．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，，既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
14．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，公比，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和為.
15．在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，.
（1）求數(shù)列及的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和.
16．已知等差數(shù)列的前n項和為，，．?dāng)?shù)列滿足．
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和．
6.3 等比數(shù)列
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
2.等比數(shù)列的前n項和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
典型例題分析
考向一 等比數(shù)列基本量的運算
1．(2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6＝( )
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：選D 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1?1－q3?,1－q)＝168，,a1q?1－q3?＝42，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，))所以a6＝a1q5＝3，故選D.
2．(2023·岳陽模擬)河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1 016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則lg2a4的值為( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：選C 根據(jù)題意，“浮雕像”從下到上構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)首項為a1，前n項和為Sn.于是S7＝eq \f(a1?1－27?,1－2)＝1 016?a1＝8，則a4＝8×23＝26?lg2a4＝lg226＝6.故選C.
3．(2023·瀘州模擬)記Sn為遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，S3＝eq \f(7,2)a2，則S4＝______.
解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S3＝eq \f(7,2)a2得，a1＋a2＋a3＝eq \f(7,2)a2，即1＋q2＝eq \f(5,2)q，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)，∵{an}是遞增數(shù)列，∴q＝2，∴S4＝eq \f(1－24,1－2)＝24－1＝15.
答案：15
方法總結(jié)
等比數(shù)列基本量運算的解題策略
(1)等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．
(2)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 等比數(shù)列的判定或證明
[典例] 已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)證明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，
∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，
∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，∴a2－a1＝eq \f(1,2)，
∴數(shù)列{an＋1－an}是以eq \f(1,2)為首項，4為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋1－an＝eq \f(1,2)×4n－1＝22n－3，
當(dāng)n≥2時，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2)?1－4n－1?,1－4)＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)
當(dāng)n＝1時，a1＝eq \f(1,3)(2－1＋1)＝eq \f(1,2)滿足上式．
所以，an＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)(n∈N*)．
[方法技巧] 等比數(shù)列的判定方法
考向三 等比數(shù)列的性質(zhì)
[典例] (1)(2023·沈陽模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2，a8為方程x2－4x＋π＝0的兩根，則a3a5a7的值為( )
A．πeq \r(π) B．－πeq \r(π) C．±πeq \r(π) D．π3
(2)(2023·遼寧撫順市第二中學(xué)模擬)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a10＝9，則lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝( )
A．6 B．5
C．4 D.eq \f(1＋lg35,2)
[解析] (1)在等比數(shù)列{an}中，因為a2，a8為方程x2－4x＋π＝0的兩根，所以a2a8＝π＝aeq \\al(2,5)，所以a5＝±eq \r(π)，所以a3a5a7＝aeq \\al(3,5)＝±πeq \r(π).故選C.
(2)lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝lg9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝lg995＝5.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
(2)巧用性質(zhì)，減少運算量，在解題中非常重要．
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，若，且{an}是等比數(shù)列，則m＝（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】利用算出通項，再結(jié)合該數(shù)列為等比數(shù)列可求.
【詳解】因為，故，
因為為等比數(shù)列，故即，故，
此時即，即為等比數(shù)列.
故選：D.
2．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個人走了里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了天后到達(dá)目的地.”則此人第天走了（ ）
A．里B．里C．里D．里
【答案】D
【分析】由題意可知，每天走的里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由求出首項，再由等比數(shù)列通項公式可求得結(jié)果
【詳解】解：記每天走的路程里數(shù)為，可知是以公比的等比數(shù)列，
因為，所以，解得，
所以，
故選：D
【點睛】此題考查函數(shù)模型的選擇及等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用
3．設(shè)是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為則“”是“對任意的正整數(shù)”的
A．充要條件B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意得，，故是必要不充分條件，故選C.
【考點】充要關(guān)系
【名師點睛】充分、必要條件的三種判斷方法：
①定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．
②等價法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．
③集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．
4．已知數(shù)列的前項和，則確定的最大正整數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用得到并求出，再利用等比數(shù)列的通項公式得到，代入，即可得到滿足不等式的最大正整數(shù)的值.
【詳解】，當(dāng)時，，
兩式相減得，
整理得，
是公比為的等比數(shù)列，
又，解得，
故，
則由，即，滿足要求的，所以最大正整數(shù)的值為.
故選：C.
5．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等比數(shù)列通項公式，結(jié)合可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】，，
由，得：，即，解得：.
故選：B.
6．已知數(shù)列的前項和為，其中，，，成等差數(shù)列，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解.
【詳解】由已知，，則，
∴，
∴，
∴是等比數(shù)列．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B
二、多選題
7．已知等比數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，設(shè)是其前項和，若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和前項和求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則有，解得或，
當(dāng)時數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，所以，
所以，故A錯誤；
，故B正確；
，故C錯誤；
，
，
所以成立，故D正確.
故選:BD.
8．已知函數(shù)，則( )
A．，，成等差數(shù)列B．，，成等差數(shù)列
C．，，成等比數(shù)列D．，，成等比數(shù)列
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求出選項對應(yīng)的函數(shù)值，結(jié)合等差數(shù)列的等差中項和等比數(shù)列的等比中項的應(yīng)用依次判斷選項即可.
【詳解】A：，，
則，由等差中項的應(yīng)用知，
成等差數(shù)列，所以A正確；
B：，，，
則，由等差中項的應(yīng)用知，
成等差數(shù)列，所以B正確；
C：，，
則，，成等差數(shù)列，又，所以C錯誤；
D：，，，
則，由等比中項的應(yīng)用知，
成等比數(shù)列，所以D正確.
故選：ABD.
三、填空題
9．等比數(shù)列中，，，則__________
【答案】4
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解
【詳解】由題意得，而，故只能?。?br>故答案為：4
10．等比數(shù)列為非常數(shù)數(shù)列，其前項和是，當(dāng)時，則公比的值為_____．
【答案】
【分析】由用表示后可求得．
【詳解】，則，0，則，
又?jǐn)?shù)列不是常數(shù)列，即，∴．
故答案為：.
【點睛】本題考查等比數(shù)列的前項和與通項公式，屬于基礎(chǔ)題．
11．在遞增的等比數(shù)列中，，，則________．
【答案】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，先通過條件得，再利用得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，
，
，
解得或（舍去），
.
故答案為：.
12．已知數(shù)列的前n項和為（其中t為常數(shù)），若為等比數(shù)列，則t=___________
【答案】
【分析】由等比數(shù)列的前n項和，可得數(shù)列的前三項，再根據(jù)等比數(shù)列的定義可得，由此可得結(jié)果．
【詳解】由等比數(shù)列的前n項和，可得首項，
，
，
再由等比數(shù)列的定義可得，解得t=?1，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，也滿足，故
經(jīng)檢驗符合題意.
故答案為：?1.
四、解答題
13．已知等比數(shù)列的首項，公比，在中每相鄰兩項之間都插入3個正數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列前n項的乘積為，試問：是否有最大值？如果是，請求出此時n以及最大值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)當(dāng)或時，有最大值.
【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式求解即可；
（2）求出數(shù)列的前n項的乘積為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.
【詳解】（1）由已知得，數(shù)列的首項， ，
設(shè)數(shù)列的公比為，即 ∴
即，
（2）
，
即當(dāng)或5時，有最大值.
14．已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：存在等比數(shù)列，使；
(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，得到，即可得到，從而得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項公式，即可得證；
（2）由（1）可得，利用分組求和法求出，即可得到不等式，解得的取值范圍，即可得解.
【詳解】（1）證明：因為，所以，
則，又，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
所以當(dāng)時，此時，即為以為首項，為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知，則，
所以，
因為，所以，則，則，
因為為正整數(shù)，所以的最大值為.
15．已知等差數(shù)列的公差，且，的前項和為.
（1）若、、成等比數(shù)列，求的值.
（2）令，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先求出等差數(shù)列的首項，可求出其通項公式和前項和公式，再列方程可求出的值；
（2）將代入，可知數(shù)列是等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的前項和公式可求出.
【詳解】（1）因為，解得，因此，；
，
又，，因為、、成等比數(shù)列，所以，
即，整理得，，解得.
（2）∵
【點睛】此題考查的是等差數(shù)和等比數(shù)列的基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.
16．已知是遞增的等差數(shù)列，，，，分別為等比數(shù)列的前三項.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)刪去數(shù)列中的第項（其中 ），將剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可列出方程組，求得等差數(shù)列的公差，繼而求得等比數(shù)列的首項和公比，即得答案;
（2）刪去數(shù)列中的第項（其中 ）后，求和時討論n的奇偶性，并且分組求和，即可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為q，
由已知得，解得， ，所以；
所以，，所以.
（2）由題意可知新數(shù)列為：，，，，…，
則當(dāng)n為偶數(shù)時
，
則當(dāng)n為奇數(shù)時,
，
綜上： .
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知等比數(shù)列的前項和為，，且，則（ ）
A．40B．120C．121D．363
【答案】C
【分析】由題目條件求出公比和首項，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.
【詳解】設(shè)公比為，由，可得，
所以，所以，
由，可得，即，所以，
所以.
故選：C.
2．記等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（ ）
A．180B．160C．210D．250
【答案】C
【解析】首先根據(jù)題意得到，，構(gòu)成等比數(shù)列，再利用等比中項的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】因為為等比數(shù)列，所以，，構(gòu)成等比數(shù)列.
所以，解得.
故選：C
3．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，則S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，分析可得S6﹣S3＝16，進(jìn)而由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即S9﹣S6＝128，變形可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，
則S6﹣S3＝18﹣2＝16，
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6構(gòu)成等比數(shù)列，
故，即S9﹣S6＝128，
故S9＝S6+128＝146，
故選：C．
4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前n項和，若，，則（ ）
A．40B．60C．32D．50
【答案】B
【分析】運用等比數(shù)列的性質(zhì)，成等比數(shù)列.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列是等比數(shù)列，即數(shù)列4，8，是等比數(shù)列，因此．
故選:B.
5．已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的奇數(shù)項所組成的新數(shù)列的前項和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件可得新數(shù)列是首項為2，公比為9的等比數(shù)列，再用等比數(shù)列前n項和公式計算作答.
【詳解】等比數(shù)列中，，則，，
因此，等比數(shù)列的奇數(shù)項所組成的新數(shù)列是首項為2，公比為9的等比數(shù)列，
所以新數(shù)列的前n項和有：.
故選：C
6．已知為等比數(shù)列，若，且與的等差中項為，則的值為（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
【答案】D
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)已知求出，求出即得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因為，所以，解得，
因為與的等差中項為，則有，
即，解得，
所以，故，
則，，，，
所以．
故選：D．
二、多選題
7．記為數(shù)列的前n項和，若，且，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．為等差數(shù)列B．
C．，，成等比數(shù)列D．有最大值，無最小值
【答案】AC
【分析】先根據(jù)遞推公式求出數(shù)列 的通項公式，再根據(jù)條件求出 ，然后逐項分析.
【詳解】由題意 ，
得： ，
， 是首項為 ，公差為1的等差數(shù)列，
，
由于 成等比數(shù)列， ， ，解得 ；
對于A，正確；
對于B，錯誤；
對于C， ，正確；
對于D， ，是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以在 或13處取得最小值，無最大值，錯誤；
故選：AC.
8．以下關(guān)于數(shù)列的結(jié)論正確的是（ ）
A．若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為等差數(shù)列
B．若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為等比數(shù)列
C．若數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列
D．若數(shù)列滿足．則數(shù)列為等比數(shù)列
【答案】AC
【分析】利用、等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識求得正確答案.
【詳解】A．，時，，
時，，，
當(dāng)時，上式也符合，所以成立，A選項正確.
B．，時，，
時，，，
所以，數(shù)列不是等不數(shù)列，B選項錯誤.
C．由等差中項定義知C選項成立；
D．若，則不成立，D選項錯誤.
故選：AC
三、填空題
9．若等比數(shù)列的前n項的和為，且滿足，，則=__________.
【答案】32
【分析】根據(jù)題意可得：，解方程組即可得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，
根據(jù)，，
可得：，
解得：，
所以，
故答案為：.
【點睛】本題考查了等比數(shù)列的基本量的運算，主要方法是列方程組求解，屬于基礎(chǔ)題.
10．已知為等比數(shù)列的前項和，，，則的值為______．
【答案】40
【分析】可結(jié)合等比推論也成等比數(shù)列直接求解
【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，
即也成等比數(shù)列，解得，，
即
故答案為：40
11．正項等比數(shù)列的前項和為，若，則________.
【答案】63
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式以及前項和公式，求出與，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列公比為，且.
由，得，則，解得，即，
因為，所以，因此.
故答案為：63.
12．已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的的值為___________.
【答案】8
【分析】先由遞推關(guān)系式證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而得數(shù)列的通項公式，再證明數(shù)列為遞減數(shù)列，從而由得，，，進(jìn)一步得，再根據(jù)，得.
【詳解】由得，，
因為，，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
有，.
因為，
所以數(shù)列為遞減數(shù)列，
若，則有，
由得，，
又，所以.
故答案為：8.
四、解答題
13．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，，既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通過題目所給條件列出關(guān)于 的兩個方程，解出，即可寫出數(shù)列的通項公式
（2）先寫出數(shù)列 的通項公式，再根據(jù)通項公式的特征進(jìn)行裂項相消求和
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，，既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，
所以，，均相等且不為0，
所以即
解之得，，滿足條件．
故．
（2）由（1）得，，
所以．
故
14．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，公比，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和為.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分組求和即可求解.
【詳解】（1）解：，解得，
；
（2）

.
15．在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，.
（1）求數(shù)列及的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）由，得，利用可得答案；
（2）由，然后利用錯位相減可得答案.
【詳解】（1）依題意，，
設(shè)數(shù)列的公比為q，由，可知，
由，得，又，則，
故，又由，得.
（2）依題意，
，①
則，②
①-②得，
即，故.
【點睛】數(shù)列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．
(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．
(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．
(4) 裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數(shù)列求和.
16．已知等差數(shù)列的前n項和為，，．?dāng)?shù)列滿足．
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）本題先求，再求，；
（2）先求出，再利用錯位相減法求即可解題.
【詳解】解：（1）由題意知：，解得
所以，
（2）由（1）知．所以
∴
所以．
【點睛】本題考查利用基本量法求等差數(shù)列的通項公式、利用錯位相減法求前項和，是中檔題.
定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列
通項公式
設(shè){an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則通項公式an＝a1qn－1.推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*)
等比中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．此時，G2＝ab
定義法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
中項公式法
若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
通項公式法
若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
前n項和公式法
若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列
注意
(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．
(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可
定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列
通項公式
設(shè){an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則通項公式an＝a1qn－1.推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*)
等比中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．此時，G2＝ab
定義法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
中項公式法
若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
通項公式法
若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
前n項和公式法
若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列
注意
(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．
(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可

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