知識點(diǎn)總結(jié)
1.基本不等式
(1)如果a，b是正數(shù)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立).
我們把不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)稱為基本不等式.
(2)當(dāng)a，b∈R時(shí)，ab eq \f(a2＋b2,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立)，ab eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立).
2.兩個(gè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號.
3.利用基本不等式求最值
對于正數(shù)a，b，在運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意：
(1)和a＋b為定值時(shí)，積ab有最大值；積ab為定值時(shí)，和a＋b有最小值.
(2)取等號的條件eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，\r(ab)＝\f(a＋b,2))).
[常用結(jié)論]
1.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2).要根據(jù)兩數(shù)積、兩數(shù)和、兩數(shù)平方和選擇合適的形式.
2.在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
典型例題分析
考向一 利用基本不等式求最值
角度1 配湊法
例1 (1)若x＜eq \f(2,3)，則f(x)＝3x＋1＋eq \f(9,3x－2)有( )
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值－3 D.最小值－3
(2)已知0＜x＜eq \f(\r(2),2)，則xeq \r(1－2x2)的最大值為________.
(3)(2023·天津模擬)函數(shù)y＝eq \f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x＞－1)的最小值為________.
角度2 常數(shù)代換法
例2 (1)(2023·石家莊模擬)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，則2x＋4y的最小值為________，eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值為________.
(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，則eq \f(1,x)＋eq \f(4,1－x)的最小值是________.
角度3 消元法
例3 (2023·湖南省級示范校檢測)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq \f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值為________.
角度4 構(gòu)建不等式法
例4 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________.
感悟提升 1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.
2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的問題，先將eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.
3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.
考向二 利用基本不等式求參數(shù)或范圍
例5 (1)(2022·威海期末)關(guān)于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
(2)已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為________.
感悟提升 1.對于不等式恒成立問題可利用分離參數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值；
2.利用基本不等式確定等號成立的條件，也可得到參數(shù)的值或范圍.
考向三 利用基本不等式解決實(shí)際問題
例6 為了美化校園環(huán)境，園藝師在花園中規(guī)劃出一個(gè)平行四邊形，建成一個(gè)小花圃，如圖，計(jì)劃以相距6米的M，N兩點(diǎn)為?AMBN一組相對的頂點(diǎn)，當(dāng)?AMBN的周長恒為20米時(shí)，小花圃占地面積(單位：平方米)最大為( )
A.6 B.12
C.18 D.24
感悟提升 利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題的思路
(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).
(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.
(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.
訓(xùn)練3 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x＝________噸.
答案 20
解析 該公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買eq \f(400,x)次，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(400,x)·4＋4x))萬元，eq \f(400,x)·4＋4x≥160，當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(1 600,x)＝4x，即x＝20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小.
考向四 重要不等式鏈
若a＞0，b＞0，則eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2)).
其中eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))和eq \r(\f(a2＋b2,2))分別叫做a，b的調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù).要根據(jù)題目需要選擇合適的形式.
一、利用不等式鏈求最值
例1 (多選)設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則( )
A.eq \r(ab)有最大值eq \f(1,2)B.eq \f(1,a＋2b)＋eq \f(1,2a＋b)有最小值3
C.a2＋b2有最小值eq \f(1,2)D.eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2)
二、利用基本不等式鏈證明不等式
例2 已知a，b，c都是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(c2＋a2)≥eq \r(2)(a＋b＋c).
訓(xùn)練 當(dāng)－eq \f(1,2)＜x＜eq \f(5,2)時(shí)，函數(shù)y＝eq \r(2x－1)＋eq \r(5－2x)的最大值為________.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
2．已知，，則的最小值是
A．B．C．D．
3．設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
4．若a＞1，則的最小值是（ ）
A．2B．a(chǎn)
C． D．3
5．已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．（?∞，?1）∪（9，+∞）B．（?9，1）C．[?9，1]D．（?1，9）
6．已知，全集為R，集合，，，則有（ ）
A．（）B．（）
C．D．
二、多選題
7．在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（ ）
A．B．
C．D．
8．，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
9．已知正數(shù)a、b滿足a+b= 1，則a·b的最大值為_____．
10．已知x＜0，則的最大值等于________．
11．已知a>0，b>0，且a+2b=2，則的最小值為______
12．設(shè)、是不等于的正數(shù)，則的取值范圍是____________.
四、解答題
13．設(shè)，求函數(shù)的最大值.
14．（1）當(dāng)且時(shí)，求函數(shù)的最小值.
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.
15．（1）若，求的最小值；
（2）若，，，比較、的大小.
16．定義:記為這個(gè)實(shí)數(shù)中的最小值，記為這個(gè)實(shí)數(shù)中的最大值，例如:.
（1）求證:；
（2）已知，求的最小值；
（3）若，求的最小值.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．若命題“對任意的，恒成立”為假命題，則m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，，設(shè)，則
A．有最大值2B．有最小值1C．有最大值1D．沒有最大值和最小值
3．若，則的最小值為
A．8B．6C．4D．2
4．若，，則“”是“”的（ ）.
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知，則的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．下列說法中正確的是（ ）
A．不等式恒成立B．當(dāng)時(shí)，的最小值是2
C．設(shè)，，且，則的最小值是D．，使得不等式成立
8．已知，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．的最小值為D．
三、填空題
9．已知，比較兩數(shù)的大小：______9．
10．某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元．設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使達(dá)到最小值的隔熱層的厚度h＝______厘米．
11．已知,且,若 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．當(dāng) 取到最大值時(shí) ．
12．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______.
四、解答題
13．已知，求的最小值，并說明x為何值時(shí)y取得最小值．
14．若，，且，求與的最小值．
15．已知滿足，求的解析式.
16．選修4-5：不等式選講
（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若正實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.
7.2 基本不等式
思維導(dǎo)圖
知識點(diǎn)總結(jié)
1.基本不等式
(1)如果a，b是正數(shù)，那么eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立).
我們把不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)稱為基本不等式.
(2)當(dāng)a，b∈R時(shí)，ab≤eq \f(a2＋b2,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立)，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立).
2.兩個(gè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號.
3.利用基本不等式求最值
對于正數(shù)a，b，在運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意：
(1)和a＋b為定值時(shí)，積ab有最大值；積ab為定值時(shí)，和a＋b有最小值.
(2)取等號的條件eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，\r(ab)＝\f(a＋b,2))).
[常用結(jié)論]
1.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2).要根據(jù)兩數(shù)積、兩數(shù)和、兩數(shù)平方和選擇合適的形式.
2.在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
典型例題分析
考向一 利用基本不等式求最值
角度1 配湊法
例1 (1)若x＜eq \f(2,3)，則f(x)＝3x＋1＋eq \f(9,3x－2)有( )
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值－3 D.最小值－3
答案 C
解析 ∵x＜eq \f(2,3)，∴3x－2＜0，
f(x)＝3x－2＋eq \f(9,3x－2)＋3＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（2－3x）＋\f(9,2－3x)))＋3
≤－2eq \r(（2－3x）·\f(9,2－3x))＋3＝－3.
當(dāng)且僅當(dāng)2－3x＝eq \f(9,2－3x)，
即x＝－eq \f(1,3)時(shí)取“＝”.
(2)已知0＜x＜eq \f(\r(2),2)，則xeq \r(1－2x2)的最大值為________.
答案 eq \f(\r(2),4)
解析 ∵0＜x＜eq \f(\r(2),2)，∴1－2x2＞0，
xeq \r(1－2x2)＝eq \f(\r(2),2)·eq \r(2x2)eq \r(1－2x2)≤eq \f(\r(2),2)·eq \f(2x2＋1－2x2,2)＝eq \f(\r(2),4).
當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝1－2x2，
即x＝eq \f(1,2)時(shí)等號成立.
(3)(2023·天津模擬)函數(shù)y＝eq \f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x＞－1)的最小值為________.
答案 9
解析 因?yàn)閤＞－1，則x＋1＞0，
所以y＝eq \f([（x＋1）＋4][（x＋1）＋1],x＋1)
＝eq \f(（x＋1）2＋5（x＋1）＋4,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(4,x＋1)＋5
≥2eq \r(（x＋1）·\f(4,x＋1))＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq \f(4,x＋1)，
即x＝1時(shí)等號成立，
所以函數(shù)的最小值為9.
角度2 常數(shù)代換法
例2 (1)(2023·石家莊模擬)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，則2x＋4y的最小值為________，eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值為________.
答案 4 eq \f(9,2)
解析 2x＋4y≥2eq \r(2x＋2y)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝1時(shí)取等號，所以2x＋4y的最小值是4；
因?yàn)閤＞0，y＞0，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))(x＋2y)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(x,y)))))≥eq \f(9,2)，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq \f(2,3)時(shí)取等號，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值是eq \f(9,2).
(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，則eq \f(1,x)＋eq \f(4,1－x)的最小值是________.
答案 9
解析 由0＜x＜1，得1－x＞0.
eq \f(1,x)＋eq \f(4,1－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,1－x)))[x＋(1－x)]＝5＋eq \f(1－x,x)＋eq \f(4x,1－x)≥5＋2eq \r(\f(1－x,x)·\f(4x,1－x))＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(1－x,x)＝eq \f(4x,1－x)時(shí)取等號，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(4,1－x)的最小值是9.
角度3 消元法
例3 (2023·湖南省級示范校檢測)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq \f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值為________.
答案 1
解析 由x2－3xy＋4y2－z＝0得
z＝x2－3xy＋4y2，
故eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,2\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3)＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(x,y)＝eq \f(4y,x)，即x＝2y時(shí)，eq \f(xy,z)取得最大值，
此時(shí)z＝2y2，
則eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝eq \f(2,y)－eq \f(1,y2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－1))eq \s\up12(2)＋1≤1，
當(dāng)y＝1時(shí)，等號成立，
故當(dāng)eq \f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值為1.
角度4 構(gòu)建不等式法
例4 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________.
答案 6
解析 由已知得xy＝9－(x＋3y)，
因?yàn)閤>0，y>0，
所以x＋3y≥2eq \r(3xy)，
所以3xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3y,2)))eq \s\up12(2)，
所以eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3y,2)))eq \s\up12(2)≥9－(x＋3y)，
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
則x＋3y≤－18(舍去)或x＋3y≥6
(當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y，即x＝3，y＝1時(shí)取等號)，
故x＋3y的最小值為6.
感悟提升 1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.
2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的問題，先將eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.
3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.
考向二 利用基本不等式求參數(shù)或范圍
例5 (1)(2022·威海期末)關(guān)于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞))
解析 不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，
即對于?x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，
即a≥eq \f(|x|,x2＋2).
當(dāng)x＝0時(shí)，a≥0；
當(dāng)x≠0時(shí)，a≥eq \f(|x|,x2＋2)＝eq \f(1,|x|＋\f(2,|x|))，
因?yàn)閑q \f(1,|x|＋\f(2,|x|))≤eq \f(1,2\r(|x|·\f(2,|x|)))＝eq \f(\r(2),4)，
當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝eq \r(2)時(shí)取“＝”，所以a≥eq \f(\r(2),4).
綜上所述a∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，＋∞)).
(2)已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為________.
答案 4
解析 已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，只需求(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值大于或等于9，
∵(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq \f(y,x)＋eq \f(ax,y)≥a＋2eq \r(a)＋1＝(eq \r(a)＋1)2，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝eq \r(a)x時(shí)，等號成立，
∴(eq \r(a)＋1)2≥9，∴a≥4，
即正實(shí)數(shù)a的最小值為4.
感悟提升 1.對于不等式恒成立問題可利用分離參數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值；
2.利用基本不等式確定等號成立的條件，也可得到參數(shù)的值或范圍.
考向三 利用基本不等式解決實(shí)際問題
例6 為了美化校園環(huán)境，園藝師在花園中規(guī)劃出一個(gè)平行四邊形，建成一個(gè)小花圃，如圖，計(jì)劃以相距6米的M，N兩點(diǎn)為?AMBN一組相對的頂點(diǎn)，當(dāng)?AMBN的周長恒為20米時(shí)，小花圃占地面積(單位：平方米)最大為( )
A.6 B.12
C.18 D.24
答案 D
解析 設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，
則由已知可得x＋y＝10，
在△MAN中，MN＝6，
由余弦定理可得，
cs A＝eq \f(x2＋y2－62,2xy)＝eq \f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq \f(32,xy)－1≥eq \f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq \f(32,25)－1＝eq \f(7,25)，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝5時(shí)等號成立，此時(shí)(cs A)min＝eq \f(7,25)，
所以(sin A)max＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,25)))\s\up12(2))＝eq \f(24,25)，
所以四邊形AMBN的最大面積為2×eq \f(1,2)×5×5×eq \f(24,25)＝24(平方米)，
此時(shí)四邊形AMBN是邊長為5米的菱形.
感悟提升 利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題的思路
(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).
(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.
(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.
訓(xùn)練3 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x＝________噸.
答案 20
解析 該公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買eq \f(400,x)次，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(400,x)·4＋4x))萬元，eq \f(400,x)·4＋4x≥160，當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(1 600,x)＝4x，即x＝20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小.
考向四 重要不等式鏈
若a＞0，b＞0，則eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2)).
其中eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))和eq \r(\f(a2＋b2,2))分別叫做a，b的調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù).要根據(jù)題目需要選擇合適的形式.
一、利用不等式鏈求最值
例1 (多選)設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則( )
A.eq \r(ab)有最大值eq \f(1,2)B.eq \f(1,a＋2b)＋eq \f(1,2a＋b)有最小值3
C.a2＋b2有最小值eq \f(1,2)D.eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2)
答案 ACD
解析 對于A，由基本不等式可得eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝eq \f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq \f(1,2)時(shí)，等號成立，A正確；
對于B，由eq \f(2,\f(1,a＋2b)＋\f(1,2a＋b))≤eq \f(（a＋2b）＋（2a＋b）,2)＝eq \f(3（a＋b）,2)＝eq \f(3,2)，得eq \f(1,a＋2b)＋eq \f(1,2a＋b)≥eq \f(4,3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝eq \f(1,2)時(shí)等號成立，B錯(cuò)誤；
對于C，由eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)＝eq \f(1,2)，得a2＋b2≥eq \f(1,2)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq \f(1,2)時(shí)等號成立，C正確；
對于D，由eq \f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq \r(\f(a＋b,2))＝eq \r(\f(1,2))，得eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq \f(1,2)時(shí)等號成立，D正確.
二、利用基本不等式鏈證明不等式
例2 已知a，b，c都是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(c2＋a2)≥eq \r(2)(a＋b＋c).
證明 ∵eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2).
即eq \r(a2＋b2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)，
同理，eq \r(b2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(b＋c)，eq \r(c2＋a2)≥eq \f(\r(2),2)(c＋a)，
相加可得eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(c2＋a2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)＋eq \f(\r(2),2)(b＋c)＋eq \f(\r(2),2)(c＋a)＝eq \r(2)(a＋b＋c)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立.
訓(xùn)練 當(dāng)－eq \f(1,2)＜x＜eq \f(5,2)時(shí)，函數(shù)y＝eq \r(2x－1)＋eq \r(5－2x)的最大值為________.
答案 2eq \r(2)
解析 由eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，得a＋b≤2eq \r(\f(a2＋b2,2))，
則y＝eq \r(2x－1)＋eq \r(5－2x)≤2eq \r(\f(2x－1＋5－2x,2))＝2eq \r(2)，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \r(2x－1)＝eq \r(5－2x)，即x＝eq \f(3,2)時(shí)等號成立.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得，然后解不等式即可.
【詳解】，，均為正數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
且，所以，
的最大值為.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，注意在利用基本不等式時(shí)，需驗(yàn)證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.
2．已知，，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，所以時(shí)等號成立．
考點(diǎn)：均值定理
3．設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)得0＞a＞b，取特殊值可判斷ABC，根據(jù)基本不等式即可判斷D.
【詳解】∵，∴0＞a＞b，取a＝－1，b＝－2，
則，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
∵，∴，∵a≠b，所以等號取不到，故，故D正確.
故選：D.
4．若a＞1，則的最小值是（ ）
A．2B．a(chǎn)
C． D．3
【答案】D
【分析】原式可化為形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等號成立為a＝2
【詳解】由a＞1，有a－1＞0
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)， 即a＝2時(shí)取等號.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，使用時(shí)注意“一正二定三相等”的條件，屬于簡單題
5．已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．（?∞，?1）∪（9，+∞）B．（?9，1）C．[?9，1]D．（?1，9）
【答案】A
【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以結(jié)合基本不等式求出的最小值，再解關(guān)于的不等式即可
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)的最小值為9，
因?yàn)橛薪?，所以，即?br>解得或，
故選：A
6．已知，全集為R，集合，，，則有（ ）
A．（）B．（）
C．D．
【答案】A
【分析】首先分析得出，根據(jù)集合的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由題意，因?yàn)?，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式，可得，
可得或，所以，
即
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算，以及基本不等式的應(yīng)用，其中解答中結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求得是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
二、多選題
7．在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】選項(xiàng)A先由基本不等式可得，再判斷當(dāng)x＝1或時(shí)，等號成立，最后判斷選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B先由基本不等式可得，再判斷當(dāng)時(shí)，等號成立，但，最后判斷選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C先由基本不等式可得，再判斷當(dāng)時(shí)，等號成立，顯然不可能取到，最后判斷選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D先由基本不等式可得，再判斷當(dāng)x＝lg32時(shí)，等號成立，最后判斷選項(xiàng)D正確．
【詳解】對于選項(xiàng)A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1或時(shí)，等號成立，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B：∵，∴0＜＜1，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，但是取不到1，所以等號不能成立，故選項(xiàng)B不正確；
對于選項(xiàng)C：由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，顯然不可能取到，故選項(xiàng)C不正確；
對于選項(xiàng)D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝lg32時(shí)，等號成立，故選項(xiàng)D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，是基礎(chǔ)題.
8．，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)題干條件，得到，選項(xiàng)A中與1的大小不確定，不能判斷；選項(xiàng)B是基本不等式；選項(xiàng)C是作差法比大?。贿x項(xiàng)D可以舉反例證明不正確即可
【詳解】解：因?yàn)?，∴，；選項(xiàng)A中，與1無法知大小關(guān)系，所以不能判斷，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B中，根據(jù)基本不等式得：（無法取等），選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C中，，∴，選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D中，取，，，選項(xiàng)D錯(cuò)，
故選：BC．
三、填空題
9．已知正數(shù)a、b滿足a+b= 1，則a·b的最大值為_____．
【答案】
【詳解】
故答案為：
10．已知x＜0，則的最大值等于________．
【答案】
【詳解】試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，取得最小值
考點(diǎn)：均值不等式求最值
11．已知a>0，b>0，且a+2b=2，則的最小值為______
【答案】
【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)閍>0，b>0，且a+2b=2，所以有：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)取等號，
故答案為：
12．設(shè)、是不等于的正數(shù)，則的取值范圍是____________.
【答案】
【分析】由題意得出，利用換底公式得到，可得出，再分和，利用基本不等式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】、是不等于的正數(shù)，或.
由換底公式得，.
①當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立；
②當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立.
因此，的取值范圍是，
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求取值范圍，同時(shí)也考查了對數(shù)換底公式的應(yīng)用，在利用基本不等式求解最值時(shí)，要注意條件“一正、二定、三相等”條件的成立，當(dāng)所考查的變量為負(fù)數(shù)時(shí)，可適當(dāng)?shù)靥碡?fù)號變?yōu)檎龜?shù)進(jìn)行計(jì)算，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.
四、解答題
13．設(shè)，求函數(shù)的最大值.
【答案】4
【分析】根據(jù)題意,設(shè),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得當(dāng)時(shí),有最大值16,進(jìn)而分析可得的最大值,即可得答案.
【詳解】解: 根據(jù)題意,設(shè)
則,
分析可得當(dāng)時(shí),有最大值16,
則此時(shí)有最大值;
故函數(shù)的最大值為4.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的計(jì)算,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思路,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值.
14．（1）當(dāng)且時(shí)，求函數(shù)的最小值.
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.
【答案】(1);(2)
【分析】(1)利用“1”的妙用和基本不等式求解；(2)利用基本不等式求解.
【詳解】(1) ,
當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)取得等號.
所以的最小值為.
(2) ,
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
所以，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)，解得時(shí)取得等號，
所以函數(shù)的最大值為.
15．（1）若，求的最小值；
（2）若，，，比較、的大小.
【答案】（1）最小值為12；（2）.
【解析】（1）設(shè)，，然后利用基本不等式可求出答案；
（2）利用作差法比較出的大小即可.
【詳解】（1）設(shè)，則，
所以，
當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以的最小值為12.
（2）因?yàn)椋?br>所以
所以，由題意可知，，所以
16．定義:記為這個(gè)實(shí)數(shù)中的最小值，記為這個(gè)實(shí)數(shù)中的最大值，例如:.
（1）求證:；
（2）已知，求的最小值；
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）見解析（2）1（3）2
【分析】（1）作差比較的大小，再根據(jù)定義得結(jié)果；
（2）根據(jù)定義化簡為一個(gè)分段函數(shù)，再分別求各段最小值，即得的最小值；
（3）先根據(jù)基本不等式得
【詳解】（1）
因此；
（2）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以，的最小值為1；
（3）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）
因此當(dāng)，即時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）
當(dāng)或，即或時(shí)，不妨設(shè)
綜上，的最小值為2.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義、函數(shù)最值以及利用基本不等式求最值，考查綜合分析論證與求解能力，屬較難題.
提升題型訓(xùn)練
_
一、單選題
1．若命題“對任意的，恒成立”為假命題，則m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)原命題為真可得，即可得出命題為假命題時(shí)m的取值范圍．
【詳解】當(dāng)原命題為真時(shí)，恒成立，即，由命題為假命題，則．
故選：A.
2．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，，設(shè)，則
A．有最大值2B．有最小值1C．有最大值1D．沒有最大值和最小值
【答案】C
【分析】由在線段上運(yùn)動(dòng)，可得滿足，根據(jù)基本不等式計(jì)算最值即可得到的最值.
【詳解】由已知點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，
即點(diǎn)滿足，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以有最大值.
故選：C．
3．若，則的最小值為
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【詳解】分析：
利用對數(shù)運(yùn)算法則，得，從而有，再利用基本不等式得，化簡可得，從而得所求最小值．
詳解：
∵，∴，∴，
∵，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
故選C．
點(diǎn)睛：
在用基本不等式求最值時(shí)，要注意其三個(gè)條件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值時(shí)，如果幾次用到不等式進(jìn)行放縮，那么一定要探索每個(gè)不等號中等號成立的條件是否是同一個(gè)，否則最后的等號不能取到．
4．若，，則“”是“”的（ ）.
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，討論“”和“”的推出關(guān)系即可．
【詳解】依題意，對于正數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，故充分性成立，
若無法推出，如當(dāng)，時(shí)，而，
故必要性不成立．
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了充分性和必要性的判斷，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．已知，則的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】化簡為，利用均值不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
而，
由均值不等式，得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以的最小值為3，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了均值不等式的應(yīng)用，分式的變形化簡，屬于中檔題.
6．已知，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由條件可得，則，由均值不等式可得答案.
【詳解】由，，，可得
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號.
故選：A
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方
二、多選題
7．下列說法中正確的是（ ）
A．不等式恒成立B．當(dāng)時(shí)，的最小值是2
C．設(shè)，，且，則的最小值是D．，使得不等式成立
【答案】CD
【分析】結(jié)合基本不等式的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式不成立，所以A錯(cuò)誤.
，
但無解，所以等號不成立.所以B錯(cuò)誤.
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以C正確.
當(dāng)時(shí)，，所以D正確.
故選：CD
8．已知，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．的最小值為D．
【答案】ABCD
【分析】利用基本不等式逐一計(jì)算判斷即可.
【詳解】對于A：，，即
，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，A正確；
對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
又，即，成立，B正確；
對于C：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，C正確；
對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，D正確；
故選：ABCD．
三、填空題
9．已知，比較兩數(shù)的大?。篲_____9．
【答案】
【分析】利用基本不等式進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)取等號，
故答案為：
10．某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元．設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使達(dá)到最小值的隔熱層的厚度h＝______厘米．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)，利用基本不等式求解.
【詳解】由題意及，可得，即，
∴．
隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和（萬元），
當(dāng)且僅當(dāng)，即（厘米）時(shí)達(dá)到最小值．
故答案為: .
11．已知,且,若 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．當(dāng) 取到最大值時(shí) ．
【答案】，
【詳解】試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因?yàn)楹愠闪?，所?br>考點(diǎn)：基本不等式求最值
【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.
12．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______.
【答案】.
【分析】由，可得，即可得到.
【詳解】由，可得，
即，解得，
所以的最小值為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用基本不等式的變形，求代數(shù)式的最值問題，屬于簡單題目.
四、解答題
13．已知，求的最小值，并說明x為何值時(shí)y取得最小值．
【答案】時(shí)，y取得最小值2
【解析】根據(jù)基本不等式，求得的最小值，根據(jù)基本不等式等號成立的條件，求得此時(shí)的值.
【詳解】因?yàn)?，所以根?jù)均值不等式有，
其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得或（舍）．
因此時(shí)，y取得最小值2．
【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎(chǔ)題.
14．若，，且，求與的最小值．
【答案】的最小值為9，的最小值為6.
【分析】把條件變形為，然后把所求的與分別變形為和，結(jié)合基本不等式求最值即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x＝3時(shí)等號成立；
x＋y＝x＋＋1＝，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝3時(shí)等號成立．
15．已知滿足，求的解析式.
【答案】
【分析】根據(jù)題意，用代替，得到新的方程，與條件的方程構(gòu)成方程組，解出.
【詳解】解：由，可知.
兩式聯(lián)立，消去可得，，
即.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，考查分析能力，屬于中檔題.
16．選修4-5：不等式選講
（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若正實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.
【答案】(1) 或.
（2）.
【詳解】分析：(1)先根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)得恒成立，再根據(jù)絕對值三角不等式得 最小值，最后解不等式得實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)利用1得代換得，再根據(jù)基本不等式求最值得結(jié)果.
詳解：（1）由題意知恒成立
因?yàn)?br>所以，
解得或
（2）因?yàn)?br>所以
即的取值范圍是.
點(diǎn)睛：含絕對值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．

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