知識點總結
知識點一 冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
知識點二 五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．在同一平面直角坐標系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．
2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)
知識點三 一般冪函數(shù)的圖象特征
1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點 ．
2．當α>0時，冪函數(shù)的圖象通過 ，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當α>1時，冪函數(shù)的圖象 ；當01)．其中冪函數(shù)的個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知是冪函數(shù)，求m，n的值．
反思感悟 判斷函數(shù)為冪函數(shù)的方法
(1)自變量x前的系數(shù)為1.
(2)底數(shù)為自變量x.
(3)指數(shù)為常數(shù)．
考向二 冪函數(shù)的圖象及應用
例2 (1)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．
反思感悟 (1)冪函數(shù)圖象的畫法
①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象．
②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．
(2)解決與冪函數(shù)有關的綜合性問題的方法
首先要考慮冪函數(shù)的概念，對于冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應用．
考向三 比較冪值的大小
例3 比較下列各組數(shù)的大?。?br>(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
(3)與.
反思感悟 此類題在構建函數(shù)模型時要注意冪函數(shù)的特點：指數(shù)不變．比較大小的問題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應用“搭橋”法進行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量．
考向四 冪函數(shù)性質(zhì)的應用
例4 已知冪函數(shù)y＝x3m－9 (m∈N*)的圖象關于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足
的a的取值范圍．
通過具體事例抽象出冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，并應用單調(diào)性求解，所以，本典例體現(xiàn)了數(shù)學中數(shù)學抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)．
基礎題型訓練
一、單選題
1．已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(，且)的圖象所過定點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．和
3．已知冪函數(shù)y＝ (m∈Z)的圖象與x軸和y軸沒有交點，且關于y軸對稱，則m等于（ ）
A．1B．0，2C．－1，1，3D．0，1，2
4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，若，，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．下列比較大小中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
7．關于冪函數(shù)是常數(shù)），結論正確的是（ ）
A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點
B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點
C．冪函數(shù)圖象有可能關于軸對稱
D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限
8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（ ）
A．的圖象經(jīng)過點（2，4）B．的圖象關于原點對稱
C．在上單調(diào)遞減D．在內(nèi)的值域為
三、填空題
9．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m＝______．
10．已知是奇函數(shù)，且當時，.若，則__________.
11．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為__________．
12．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則的值為_________．
四、解答題
13．在同一坐標系內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象，并加以比較：
（1），；
（2），.
14．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在的值域.
15．已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關于y軸對稱，且在上是嚴格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．
16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中
求的值；
求使不等式成立的的取值范圍.
提升題型訓練
一、單選題
1．冪函數(shù)f（x）的圖象過點，則f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）
2．數(shù)學學習的最終目標：讓學習者會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界.“雙11”就要到了，電商的優(yōu)惠活動很多，某同學借助于已學數(shù)學知識對“雙11”相關優(yōu)惠活動進行研究.已知2019年“雙11”期間某商品原價為元，商家準備在節(jié)前連續(xù)2次對該商品進行提價且每次提價，然后在“雙11”活動期間連續(xù)2次對該商品進行降價且每次降價.該同學得到結論：最后該商品的價格與原來價格元相比.
A．相等B．略有提高C．略有降低D．無法確定
3．已知是冪函數(shù)，且、，都有，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
4．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關于函數(shù)的下列四個結論中正確的是（ ）
A．的圖象關于原點對稱B．的值域為
C．在上單調(diào)遞減D．
5．定義在R上的偶函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則方程＝的所有實數(shù)根的和為( )
A．1B．2C．3D．4
6．下列命題中，正確的有（ ）個
①對應：是映射，也是函數(shù)；
②若函數(shù)的定義域是（1,2），則函數(shù)的定義域為；
③冪函數(shù)與圖像有且只有兩個交點；
④當時，方程恒有兩個實根.
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
7．已知函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點（，2），則（ ）
A．f（x）的圖象經(jīng)過點（2，4）B．f（x）的圖象關于原點對稱
C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增D．f（x）在（0，+∞）內(nèi)的值域為（0，+∞）
8．設函數(shù)，則（ ）
A．存在實數(shù)，使的定義域為R
B．函數(shù)一定有最小值
C．對任意的負實數(shù)，的值域為
D．若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則
三、填空題
9．已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(4,2),則a=_______
10．實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值集合為__________.
11．已知冪函數(shù)的圖像關于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，則關于的不等式的解集為______．
12．設函數(shù)，則使成立的的取值范圍是___________.
四、解答題
13．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，求這個冪函數(shù)的解析式.
14．已知冪函數(shù)圖像不經(jīng)過第三象限；
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的值域.
15．已知函數(shù).
（1）若是實數(shù)集上的奇函數(shù)，求的值；
（2）用定義證明在實數(shù)集上的單調(diào)遞增；
（3）若的值域為，且[，求的取值范圍.
16．已知冪函數(shù)滿足．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(3)若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定義域
R
R
R
[0，＋∞)

值域
R

R

奇偶性


奇


單調(diào)性
增
在[0，＋∞) ，
在(－∞，0] 上


在(0，＋∞)上 ，
在(－∞，0)上
2.6 冪函數(shù)
思維導圖
知識點總結
知識點一 冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
知識點二 五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．在同一平面直角坐標系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．
2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)
知識點三 一般冪函數(shù)的圖象特征
1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．
2．當α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當0eq \f(1,3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5.
(2)因為冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，
又－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
(3)因為在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，
所以＝1，
又在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，
所以＝1，所以.
反思感悟 此類題在構建函數(shù)模型時要注意冪函數(shù)的特點：指數(shù)不變．比較大小的問題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應用“搭橋”法進行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量．
考向四 冪函數(shù)性質(zhì)的應用
例4 已知冪函數(shù)y＝x3m－9 (m∈N*)的圖象關于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足
的a的取值范圍．
考點 冪函數(shù)的性質(zhì)
題點 利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式
解 因為函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3m－90或3－2a

相關試卷

高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破7.1不等式的性質(zhì)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破7.1不等式的性質(zhì)(原卷版+解析)，共28頁。試卷主要包含了兩個實數(shù)比較大小的方法，不等式的性質(zhì)，1 不等式的性質(zhì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破6.4數(shù)列的綜合應用(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破6.4數(shù)列的綜合應用(原卷版+解析)，共32頁。試卷主要包含了　求通項公式，求和公式及其應用，求參數(shù)問題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破6.3等比數(shù)列(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破6.3等比數(shù)列(原卷版+解析)，共33頁。試卷主要包含了等比數(shù)列的有關概念，已知函數(shù)，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破6.2等差數(shù)列(原卷版+解析)

高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破6.2等差數(shù)列(原卷版+解析)
高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破6.1數(shù)列的概念及通項公式(原卷版+解析)

高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破6.1數(shù)列的概念及通項公式(原卷版+解析)
高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破4.6正、余弦定理及其應用舉例(原卷版+解析)

高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破4.6正、余弦定理及其應用舉例(原卷版+解析)
高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破4.4函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)(原卷版+解析)

高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破4.4函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部