解題大招一 整式加減的逆運(yùn)算
用A，B，C表示三個(gè)整式：若A+B=C，則B=C-A；若A-B=C，則A=B+C，B=A-C。
例1 一個(gè)多項(xiàng)式減去多項(xiàng)式5x2－3y2+6xy等于多項(xiàng)式x2－3xy+4y2，求這個(gè)多項(xiàng)式。
解：由題意可得，這個(gè)多項(xiàng)式是（5x2－3y2+6xy）+（x2－3xy+4y2）=5x2－3y2+6xy+x2－3xy+4y2=6x2+3xy+y2。
解題大招二 整式的加減的應(yīng)用——“取值無關(guān)”型求值題
解決這類題時(shí)看題意中與某個(gè)字母無關(guān)，就令含該字母的項(xiàng)的系數(shù)為0，再解題即可。
例2 已知一個(gè)多項(xiàng)式(3x2+ɑx－y+6)－(－6bx2－4x+5y－1)。若該多項(xiàng)式的值與字母x的取值無關(guān)，求ɑ，b的值。
分析：去括號(hào)，合并同類項(xiàng)后，令含x的項(xiàng)的系數(shù)為0，進(jìn)行求解即可。
解：(3x2+ɑx－y+6)－(－6bx2－4x+5y－1)=3x2+ɑx－y+6+6bx2+4x－5y+1=3x2+6bx2+ɑx+4x－y－5y+6+1=(3+6b)x2+(ɑ+4)x－6y+7。
因?yàn)樵摱囗?xiàng)式的值與字母x的取值無關(guān)，所以3+6b=0，ɑ+4=0，所以ɑ=－4，b=。
解題大招三 整式的加減的應(yīng)用——過程糾錯(cuò)題
解決這類問題主要是結(jié)合整式的加減中的常見失誤，如運(yùn)用分配律時(shí)漏乘其中的一項(xiàng)、去括號(hào)（括號(hào)前面是“-”）時(shí)忘記變號(hào)等。
例3 下面是小彬同學(xué)進(jìn)行整式計(jì)算的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)。
15x2y+4xy2－4(xy2+3x2y)
=15x2y+4xy2－(4xy2+12x2y) ……………………………………………………………………第一步
=15x2y+4xy2－4xy2+12x2y ………………………………………………………………………第二步
=27x2y。 …………………………………………………………………………………………第三步
任務(wù)1：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第一步的依據(jù)是 乘法對(duì)加法的分配律 ；
②以上化簡(jiǎn)步驟中，從第 二 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是 去括號(hào)時(shí)12x2y沒有變號(hào) 。
任務(wù)2：請(qǐng)寫出該整式正確的計(jì)算過程，并計(jì)算當(dāng)x=－2，y=3時(shí)該整式的值。
解：15x2y+4xy2－4(xy2+3x2y)=15x2y+4xy2－(4xy2+12x2y)=15x2y+4xy2－4xy2－12x2y=3x2y。
當(dāng)x=－2，y=3時(shí)，原式=3×(－2)2×3=36。
培優(yōu)點(diǎn) 整式加減的實(shí)際應(yīng)用
例 某國(guó)際化學(xué)校實(shí)行小班制教學(xué)，七年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生(6m－3n)人，（1）班有學(xué)生m人，（2）班學(xué)生人數(shù)比（1）班學(xué)生人數(shù)的2倍少n人，（3）班學(xué)生人數(shù)比（2）班學(xué)生人數(shù)的一半多12人。
（1）求（3）班的學(xué)生人數(shù)（用含m，n的式子表示）；
（2）求（4）班的學(xué)生人數(shù)（用含m，n的式子表示）；
（3）若四個(gè)班共有學(xué)生120人，求（2）班比（3）班多的學(xué)生人數(shù)。
分析：（1）直接利用已知中各班之間人數(shù)的關(guān)系表示出各班人數(shù)；（2）直接利用（1）中所求，結(jié)合整式的加減運(yùn)算法則得出答案；（3）直接利用四個(gè)班共有學(xué)生120人，進(jìn)而得出m，n之間的關(guān)系即可得出答案。
教學(xué)目標(biāo)
課題
第3課時(shí) 整式的加減
授課人
素養(yǎng)目標(biāo)
1掌握整式加減的運(yùn)算法則，提升運(yùn)算能力。
2.能說明整式加減運(yùn)算中的算理，發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言表達(dá)能力。
教學(xué)重點(diǎn)
整式加減的運(yùn)算法則。
教學(xué)難點(diǎn)
說明整式加減運(yùn)算中的算理。
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué)步驟
師生活動(dòng)
活動(dòng)一：回顧情境，引入新知
設(shè)計(jì)意圖
為整式加減運(yùn)算的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。
【回顧導(dǎo)入】
我們前面學(xué)習(xí)了合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則，請(qǐng)大家算一算：
（1）2ɑb2+3ɑb2； （2）2x+3y-3(x-y）。
（1）2ɑb2+3ɑb2=（2+3）ɑb2=5ɑb2；
（2）2x+3y-3(x-y）=2x+3y-3x+3y=（2x-3x）+（3y+3y）=-x+6y。
合并同類項(xiàng)和去括號(hào)是進(jìn)行整式加減運(yùn)算的基礎(chǔ)，利用它們就可以進(jìn)行整式的加減運(yùn)算。
【教學(xué)建議】
在完成兩個(gè)小題的過程中，老師帶領(lǐng)學(xué)生回顧合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則。
活動(dòng)二：交流討論，探究新知
設(shè)計(jì)意圖
使學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)量關(guān)系的過程，發(fā)展符號(hào)意識(shí)，體會(huì)整式加減運(yùn)算的必要性。
設(shè)計(jì)意圖
這里將步驟寫成框圖形式，目的是使學(xué)生體會(huì)程序、算法的思想。
探究點(diǎn) 整式的加減運(yùn)算
Ⅰ.整式的加法運(yùn)算
問題1 按教材P91的步驟再寫幾個(gè)兩位數(shù)重復(fù)上面的過程。這些和有什么規(guī)律？這個(gè)規(guī)律對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)都成立嗎？
可任意寫兩位數(shù)，如12，21，12+21=33；
23，32，23+32=55；62，26，62+26=88；……
發(fā)現(xiàn)這些和都是11的倍數(shù)。
猜想這個(gè)規(guī)律對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)都成立。
問題2 如果用ɑ，b分別表示一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，那么這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10ɑ+b。交換這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，得到的數(shù)是10b+ɑ。這兩個(gè)數(shù)相加：
（10ɑ+b)+(10b+ɑ)= 11（ɑ+b） 。
可見11（ɑ+b）是11的倍數(shù)。
教師總結(jié)：
任意一個(gè)兩位數(shù)，經(jīng)過上述運(yùn)算程序后的結(jié)果一定是11的倍數(shù)。因?yàn)椋?0ɑ+b）+(10b+ɑ)=10ɑ+b+10b+ɑ=11ɑ+11b=11(ɑ+b)。
Ⅱ.整式的減法運(yùn)算
【教學(xué)建議】
在教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般規(guī)律的探索和表達(dá)。教師可以通過提出“你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)都成立嗎”等問題加以引導(dǎo)，并重視同伴之間的相互啟發(fā)。在運(yùn)算過程中教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意每一步運(yùn)算使用的法則。
教學(xué)步驟
師生活動(dòng)
問題1 請(qǐng)你任意寫一個(gè)三位數(shù)，按照上面的步驟試一試，寫出結(jié)果。
123，321，123-321=-198；514，415，514-415=99；732，237，732-237=495；……
問題2 兩個(gè)數(shù)相減后的結(jié)果有什么規(guī)律？
兩個(gè)數(shù)相減后的結(jié)果都是99的倍數(shù)。
問題3 這個(gè)規(guī)律對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)都成立嗎？請(qǐng)說明理由。
猜想這個(gè)規(guī)律對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)都成立。理由如下：
設(shè)任意一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為ɑ，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為100ɑ+10b+c。交換這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字后，得到的數(shù)為100c+10b+ɑ。兩個(gè)數(shù)相減，得
（100ɑ+10b+c）-（100c+10b+ɑ）
=100ɑ+10b+c-100c-10b-ɑ
=99ɑ-99c
=99(ɑ-c)。
因?yàn)?ɑ-c，且ɑ-c為整數(shù)，
所以這個(gè)規(guī)律對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)都成立。
教師總結(jié)：
任意一個(gè)三位數(shù)，經(jīng)過上述運(yùn)算程序后的結(jié)果一定是99的倍數(shù)。因?yàn)椋?00ɑ+10b+c）-(100c+10b+ɑ)=99(ɑ-c)。
追問 在上面的問題中，涉及整式的什么運(yùn)算？說一說你是如何運(yùn)算的，并與同伴進(jìn)行交流。
涉及整式的加減運(yùn)算。讓學(xué)生自由交流。教師最后進(jìn)行總結(jié)。
教師總結(jié)：
進(jìn)行整式的加減運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)要先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。
【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】
教材P92隨堂練習(xí)。
【教學(xué)建議】
讓學(xué)生獨(dú)立總結(jié)出整式的加減運(yùn)算的方法，并運(yùn)用自己的語(yǔ)言表述清楚，不必強(qiáng)求統(tǒng)一的說法。
活動(dòng)三：熟練運(yùn)用，鞏固提升
設(shè)計(jì)意圖
鞏固整式加減運(yùn)算的能力。
例 （教材P92例4）計(jì)算：
（1）2x2－3x+1與－3x2+5x－7的和；
（2）－x2+3xy－y2與－x2+4xy－y2的差。
解：（1）(2x2－3x+1)+(－3x2+5x－7)
=2x2－3x+1－3x2+5x－7
=2x2－3x2－3x+5x+1－7
=－x2+2x－6；
【教學(xué)建議】
先讓學(xué)生自己嘗試解決本例，教師巡堂，觀察學(xué)生的求解過程，對(duì)于發(fā)現(xiàn)的問題可以通過讓學(xué)生表達(dá)算理等方法鼓勵(lì)學(xué)生自己糾正。
教學(xué)步驟
師生活動(dòng)
【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】
1.求3x2-6x+5與4x2+7x-6的差。
解：(3x2-6x+5)-(4x2+7x-6)
＝3x2-6x+5-4x2-7x+6
=3x2-4x2-6x-7x+5+6
＝-x2-13x+11。
2.已知A＝3ɑ2-2ɑ+1，B＝5ɑ2-3ɑ+2，則2A-3B等于多少？
解：2(3ɑ2-2ɑ+1)-3(5ɑ2-3ɑ+2)
＝(6ɑ2-4ɑ+2)-(15ɑ2-9ɑ+6)
＝6ɑ2-4ɑ+2-15ɑ2+9ɑ-6
＝6ɑ2-15ɑ2-4ɑ+9ɑ+2-6
＝-9ɑ2+5ɑ-4。
【教學(xué)建議】
提醒學(xué)生：運(yùn)算的結(jié)果按某一字母的降冪排列；幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來，再用加減號(hào)連接。第2小題去括號(hào)時(shí)要注意符號(hào)問題。
活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)
【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：
1.整式的加減運(yùn)算主要用到哪兩個(gè)法則？
2.你是如何進(jìn)行整式的加減運(yùn)算的？
【知識(shí)結(jié)構(gòu)】
【作業(yè)布置】
1.教材P93~95習(xí)題3.2第6，11，12題。
板書設(shè)計(jì)
第3課時(shí) 整式的加減
整式的加減：去括號(hào)，合并同類項(xiàng)。
教學(xué)反思
本節(jié)通過兩個(gè)數(shù)字游戲，讓學(xué)生體會(huì)進(jìn)行整式的加減的必要性，并由此歸納總結(jié)出整式的加減的一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納和概括的能力，通過這個(gè)教學(xué)，了解了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，理解了整式加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)。教學(xué)過程中應(yīng)注意由學(xué)生小組討論概括出整式的加減的一般步驟，然后出示例題，由學(xué)生自主解答，教師點(diǎn)評(píng)。

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2 整式的加減

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)（2024）

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